Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
El Cambio más Simple… Representación Matemática
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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De la lección
El Contexto Real del Movimiento
Hablaremos del movimiento en línea recta más simple de todos, y de la manera de representarle matemáticamente. Queremos conectar esta situación real con las diferentes representaciones matemáticas y desarrollar tu habilidad para transitar entre ellas.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
you estamos claros de que vamos a abordar el problema de predecir el valor de una
magnitud que está cambiando y esa magnitud ¿cuál va a ser?
La posición en un movimiento. ¿ Y en qué movimiento?
En el más simple de todos, en el movimiento en lÃnea recta.
De todos los movimientos posibles en lÃnea recta todavÃa vamos a considerar el
más sencillo. Los invito a que veamos en esta filmina
la situación. Es un movimiento en lÃnea recta con una
velocidad constante. Consideran conmigo que eso es lo más
simple de todo. Entonces tendrÃamos nosotros a nuestra
partÃcula que está con una posición inicial de dos metros y se mueve con una
velocidad constante de tres metros por segundo.
Estaremos de acuerdo también en que nos es posible que mi partÃcula esté como se
la estoy mostrando ahorita. Parada en esa posición inicial y que
empiece en movimiento. Si asà fuera su velocidad inicial serÃa
cero. Entonces en este tipo de situación
tenemos que tener claridad en que el fenómeno estaba ocurriendo eternamente,
es decir esta partÃcula venÃa desde menos infinito pasó por aquà y luego siguió
hacia infinito. Lo que pasa es que cuando yo se las
muestro como lo tengo ahora en la pantalla es digamos como una foto.
Cuando ahà iba pasando por la posición inicial dos, yo le tomo la foto, yo
inicio con mi conómetro a medir el tiempo y es entonces el momento en el que
empieza el estudio de este fenómeno, de esta situación real.
Entonces estando claros de esto, vamos a ponernos a analizar que podrÃamos a hacer
para predecir valores de la posición de esta partÃcula.
El mismo lenguaje nos dice que si su velocidad es tres metros por segundo cada
segundo estarÃa avanzando tres metros. Entonces, esto you lo hemos visto con
muchso estudiantes. Vamos a tomar en un segundo.
Vamos a poner aquà que en un segundo, la partÃcula you se movió.
En un segundo está en posición, ¿en cuál serÃa la posición?
A lo mejor ustedes you lo están pensando igual que yo.
La posición serÃa cinco metros, ¿cierto? ¿ Por qué?
Pues porque estaba en la posición dos, pasó un segundo, se movió a tres y you
llegó al cinco. Vamos a poner aquà el cinco, you llegó la
partÃcula, ¿ok? De esta misma manera si discursivamente
podrÃamos decir que en dos segundos, a los dos segundos, está en la posición,
¿en cuál? La posición serÃa ocho, ¿no?
Ocho metros y si nos vamos asà segundo a segundo, a los tres segundos la posición
serÃa once. Y a los cuatro segundos la posición serÃa
once y tres son catorce, ¿no? ¿ Qué estamos viendo?
Aquà hay una variación de tres unidades cada vez que avanzamos en el tiempo una
unidad, ¿de acuerdo? Bueno, esta manera de hacerlo es una
manera que hemos observado que puede estar en nuestra mente de esta forma.
Puede ser que yo esté imaginando, un momento que voy a cambiarle aquà el
color, puede ser que yo esté imaginando a la partÃcula que está aquà en la posición
digamos dos la inicial y después you cambió a la cinco y después you cambió a
la ocho. Después you cambió a la once y asà nos
vamos. Puede ser que esté viendo la secuencia en
ese sentido que cada vez le agrego tres. Pero puede ser que tenga una alternativa
distinta. Esta alternativa que les voy a mostrar es
una tal que me va a permitir que después yo pueda accionar un pensamiento muy
matemático de generalizar. ¿ A qué me refiero?
A que podamos hacer las cosas de una manera en donde no tengamos que hacer la
anterior parte para hacer la siguiente, ¿ok?
Sino que podamos hacerla desde un pensamiento inicial.
Voy a retomar aquà con un color distinto. Vamos a poner aquà este verde.
Piensen en lo siguiente, este valor inicial.
Después cuando pasó un segundo, llegué a éste que está aquÃ, al cinco.
O sea, al dos que tenÃa antes le sumé tres metros por segundo multiplicado por
un segundo. Este tres multiplica, está significando
la velocidad constante multiplicada por el tiempo transcurrido.
Llegamos asà al cinco. Ahora para irme del cinco al ocho, o sea
esto es lo que voy a prescindir, más bien voy a ir del cinco al ocho.
Lo que voy a hacer es irme desde el dos hasta el ocho.
Si me voy desde el dos hasta el ocho pensarÃa que al número dos inicial le
estoy sumando los metros que se movió. Y los metros que se movió la partÃcula
son seis, ¿ por qué? Porque se movÃa tres metros cada segundo
y esto lo hizo durante dos segundos. Entonces tendrÃa la expresión dos más
tres por dos. Nuevamente, en lugar de irme del ocho al
once lo que voy a hacer ahora es provocar este tipo de acción, irme desde el dos
hasta el once. Si hacemos este tipo de razonamiento
entonces tendrÃamos que al dos, el valor inicial, le vamos a sumar ¿cuántos?
Tres, seis, nueve. Pero ese nueve vienen siendo el valor de
la velocidad que es constante que se mantiene durante tres segundos.
Entonces me queda dos más tres por tres es nueve.
De la misma manera llegará este catorce que tenemos acá que serÃa: al dos que
tenÃamos originalmente le vamos a sumar la velocidad constante multiplicada por
el tiempo transcurrido que es un cuatro, ¿no?
Esta manera de razonar, la que tengo en el tono verde, no la que tengo en el tono
rojo. La del tono verde es una tal que sà me
permite hacer cuestiones de generalización.
O sea, si estoy pensando de esta manera, yo los invito en esta secuencia a que
ustedes vean a que en el paréntesis un valor de tiempo que está cambiando.
Si ahorita tomo un color distinto, digamos un rojo.
Aquà les puedo poner en el número uno un resaltador rojo, en el número dos un
resaltador rojo, en el número tres, en este tres que está en el paréntesis, ¿s�
Y en el número cuatro y entonces me puedo preguntar ¿qué va a pasar a los cinco
segundos? A los cinco segundos you mentalmente
estarÃa diciendo dos más tres por cinco, ¿no?
A los seis segundos dos más tres por seis donde el tres por seis está haciendo la
multiplicación de la velocidad constante por el tiempo transcurrido y asà podrÃa
seguir en mi secuencia mental de tal manera que diga a los t segundos, en este
momento me he atrevido a representar con una letra estos números rojos que están
aquÃ. En lugar de uno, dos, tres, cuatro,
cinco, seis, siete, simplemente voy a decir t y eso, como les digo es una
acción bien matemática, es una generalización, una forma de simbolizar
que voy a dejar en mi mente que esa letra tenga distintos valores numéricos.
De esta manera pudiera llegar a la expresión dos más tres por t.
Si yo soy fiel a lo que he hecho antes, entonces tendrÃa que poner este
paréntesis, ¿lo notan? Este paréntesis, aquà estaba, aquÃ
estaba, aquà estaba. Ese paréntesis era necesario en las
anotaciones con los números porque si no lo escribiéramos, entenderÃa como que
aquà serÃa dos más treinta y cuatro. Es necesario meter este paréntesis para
indicar la multiplicación. Cuando la expresión se escribe you con
letras es como que la simbologÃa matemática, precindamos del paréntesis y
escribámoslo asÃ, como si fuera una palabra: dos más tres t.
Es más, uno you no dice dos más tres por t, realmente economiza en el lenguaje y
dice dos más tres t. Esto es muy importante de hacer notar
porque cuando nuestro pensamiento es en reverso, ahorita yo les invitarÃa a decir
pues que la posición x, que x signifique posición y entonces lo que tendrÃamos
nosotros es que x es igual a dos más tres t.
Pero más que esto nosotros quisiéramos con ustedes compartir una anotación
matemática. O sea, acuérdense que la simbologÃa
matemática es algo en lo que tenemos que poner mucha atención.
Entonces, de una vez me gustarÃa que adoptemos esta anotación x paréntesis t.
Este paréntesis que está aquÃ, no es una multiplicación, x evaluado en t, o x
depende de t. Es una manera de nosotros decir, mi
posición depende del tiempo transcurrido y la expresión de esta posición es dos
más tres t. A lo que hemos arribado nosotros ahorita
con ustedes es a una representación algebraica, una representación algebraica
que me permite expresar lo que ocurre en el fenómeno con la situación cualquier,
en cualquier instante t. En cualquier valor numérico que
sustituyamos aquà para la variable t. Tenemos esta representación algebraica,
tenemos aquà en esta zona estas representaciones numéricas que hemos
visto, que seguramente ustedes estén familiarizados con ella, comúnmente lo
que se hace es una tabla de valores donde se pone aquà la t y aquà x, el valor de
la x, entonces aquà tendrÃamos nuestros números representados como cero vale dos,
uno vale ¿qué dijimos?, cinco. Dos vale ocho y asà nos vamos.
Ãsa serÃa nuestra representación numérica aquà hay números presentes, aquà hay una
formula you matemática, algebraica por accionar, es decir en esta fórmula cada
vez que yo quiera calcular el valor de x en cuatro como el de acá, lo que tendrÃa
es x de cuatro igual a dos más tres por cuatro y entonces ahà tendrÃamos
exactamente el valor catorce que estamos esperando.
Entonces estas dos anotaciones numérica, o sea la numérica y la algebraica you es
parte de nuestro arsenal de recursos para tratar con las situaciones reales.
Una representación numérica, una representación algebraica y los invito a
que terminemos con esta cápsula viendo una representación pero gráfica.
Una representación visual del fenómeno. Tengo una animación que me gustarÃa
preparar y pasársela en este momento. Tenemos entonces ahorita en la pantalla
nuestra partÃcula p, en matemáticas vamos a verla en vivo y a todo color.
Vamos a ver esta partÃcula. Vean ustedes, me muevo sobre una lÃnea
recta, con velocidad constante. Ahora sÃ, esta animación está preparada
para que la partÃcula venÃa, ¿no? desde menos infinito y va a irse hasta
más infinito. O sea, éste es el fenómeno digamos, ésta
es la situación real que estamos analizando.
Claro que cuando el hombre empieza a analizar estas situaciones, empieza a
meter sus instrumentos. Uno es el tiempo, ahà tenemos un
cronómetro que está accionándose a la vez que estamos viendo el fenómeno, la
situación real. Entonces, vean ustedes como ahorita está
interviniendo otra magnitud. No es solamente la posición de la
partÃcula sino también el tiempo que está transcurriendo.
Este eje que apareció ahorita. Lo que estamos haciendo es pensar en el
tiempo transcurriendo en un horizontal. Esto lo veo asà como desdoblar el tiempo,
con esa idea del tiempo en un reloj. El eje real que you conocemos nos va a
servir ahora para representar el tiempo transcurrido y en ese sentido no es nada
más que cero, un segundo, dos segundos. Vemos que puede ser medio segundo, un
tercio de segundo, raÃz de dos segundos, etc.
Aquà está lleno de nuestros números reales.
Cuando está ese eje en la horizontal y observamos la posición de la partÃcula,
lo que tenemos es dos rectas horizontales.
Pero una recta es la que está significando la posición de la partÃcula
y la otra es la que significa el tiempo. En esa rectas horizontales puede haber
una confusión en cuanto al paso del tiempo y el movimiento.
Ahora que vemos el movimiento en acción, vean ustedes como por un lado tengo a la
partÃcula que se mueve sobre la lÃnea recta y por otro lado vieron ustedes una
partÃcula que estaba subiendo, como si las partÃculas se fueran al cielo.
No piensen que las partÃculas se van al cielo, lo que pasa es que nuestra
representación del movimiento, nuestra representación matemática, exige que este
eje horizontal donde se movÃa la partÃcula quede ahora en una vertical.
De una manera que el movimiento que veÃamos en horizontal tenemos que
interpretarlo en la vertical. Si tomamos una siguiente escena aquà en
la animación. Aquà tenemos la interpretación gráfica,
vean ustedes que pasa la partÃcula y al mismo tiempo que pasa el tiempo con este
cuadrito blanco, la partÃcula está yendo hacia arriba y se producen puntos que nos
hacen esta recta. Esta recta con cierta inclinación.
Esa recta nos está representando la variación de las dos magnitudes, pero you
integrada, por un lado está el tiempo, por otro lado está la posición.
Tengo dato de tiempo, dato de posición que junto en una imagen gráfica, de esta
manera por ejemplo en un instante en particular nosotros tendrÃamos lo que
vamos a ver a continuación. Vean ustedes, nos regresamos la
partÃcula, pensemos en su interpretación aquà sobre el eje vertical y entonces
para ella tenemos un valor de tiempo transcurrido, aquà se ve que es como un
siete. Y aquà tendrÃamos un valor de la
posición. La posición vendrÃa estando representada
en este segmento vertical que coincide con el valor numérico que está justamente
por aquÃ. Me da la impresión que fuera un
veintitres. A lo mejor es un veintitres, seguramente
ahora que trabajemos con la representación algebraica en nuestra
siguiente sesión podremos comprobarlo. Ahorita, lo que querÃa es que tuvieran
esta imagen visual del comportamiento de la partÃcula donde hemos obtenido una
recta para representar ese movimiento. Este nuevo objeto matemático que estoy
recorriendo con el cursor es un objeto que nos servirá para interpretar el
movimiento de nuestra partÃcula. Lo retomaremos en la siguiente sesión
pero me gustarÃa que comenzáramos en ella con una sÃntesis de las diferentes
representaciones matemáticas del fenómeno que estamos estudiando.
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