you estamos claros de que vamos a abordar el problema de predecir el valor de una magnitud que estÃ¡ cambiando y esa magnitud Â¿cuÃ¡l va a ser? La posiciÃ³n en un movimiento. Â¿ Y en quÃ© movimiento? En el mÃ¡s simple de todos, en el movimiento en lÃnea recta. De todos los movimientos posibles en lÃnea recta todavÃa vamos a considerar el mÃ¡s sencillo. Los invito a que veamos en esta filmina la situaciÃ³n. Es un movimiento en lÃnea recta con una velocidad constante. Consideran conmigo que eso es lo mÃ¡s simple de todo. Entonces tendrÃamos nosotros a nuestra partÃcula que estÃ¡ con una posiciÃ³n inicial de dos metros y se mueve con una velocidad constante de tres metros por segundo. Estaremos de acuerdo tambiÃ©n en que nos es posible que mi partÃcula estÃ© como se la estoy mostrando ahorita. Parada en esa posiciÃ³n inicial y que empiece en movimiento. Si asÃ fuera su velocidad inicial serÃa cero. Entonces en este tipo de situaciÃ³n tenemos que tener claridad en que el fenÃ³meno estaba ocurriendo eternamente, es decir esta partÃcula venÃa desde menos infinito pasÃ³ por aquÃ y luego siguiÃ³ hacia infinito. Lo que pasa es que cuando yo se las muestro como lo tengo ahora en la pantalla es digamos como una foto. Cuando ahÃ iba pasando por la posiciÃ³n inicial dos, yo le tomo la foto, yo inicio con mi conÃ³metro a medir el tiempo y es entonces el momento en el que empieza el estudio de este fenÃ³meno, de esta situaciÃ³n real. Entonces estando claros de esto, vamos a ponernos a analizar que podrÃamos a hacer para predecir valores de la posiciÃ³n de esta partÃcula. El mismo lenguaje nos dice que si su velocidad es tres metros por segundo cada segundo estarÃa avanzando tres metros. Entonces, esto you lo hemos visto con muchso estudiantes. Vamos a tomar en un segundo. Vamos a poner aquÃ que en un segundo, la partÃcula you se moviÃ³. En un segundo estÃ¡ en posiciÃ³n, Â¿en cuÃ¡l serÃa la posiciÃ³n? A lo mejor ustedes you lo estÃ¡n pensando igual que yo. La posiciÃ³n serÃa cinco metros, Â¿cierto? Â¿ Por quÃ©? Pues porque estaba en la posiciÃ³n dos, pasÃ³ un segundo, se moviÃ³ a tres y you llegÃ³ al cinco. Vamos a poner aquÃ el cinco, you llegÃ³ la partÃcula, Â¿ok? De esta misma manera si discursivamente podrÃamos decir que en dos segundos, a los dos segundos, estÃ¡ en la posiciÃ³n, Â¿en cuÃ¡l? La posiciÃ³n serÃa ocho, Â¿no? Ocho metros y si nos vamos asÃ segundo a segundo, a los tres segundos la posiciÃ³n serÃa once. Y a los cuatro segundos la posiciÃ³n serÃa once y tres son catorce, Â¿no? Â¿ QuÃ© estamos viendo? AquÃ hay una variaciÃ³n de tres unidades cada vez que avanzamos en el tiempo una unidad, Â¿de acuerdo? Bueno, esta manera de hacerlo es una manera que hemos observado que puede estar en nuestra mente de esta forma. Puede ser que yo estÃ© imaginando, un momento que voy a cambiarle aquÃ el color, puede ser que yo estÃ© imaginando a la partÃcula que estÃ¡ aquÃ en la posiciÃ³n digamos dos la inicial y despuÃ©s you cambiÃ³ a la cinco y despuÃ©s you cambiÃ³ a la ocho. DespuÃ©s you cambiÃ³ a la once y asÃ nos vamos. Puede ser que estÃ© viendo la secuencia en ese sentido que cada vez le agrego tres. Pero puede ser que tenga una alternativa distinta. Esta alternativa que les voy a mostrar es una tal que me va a permitir que despuÃ©s yo pueda accionar un pensamiento muy matemÃ¡tico de generalizar. Â¿ A quÃ© me refiero? A que podamos hacer las cosas de una manera en donde no tengamos que hacer la anterior parte para hacer la siguiente, Â¿ok? Sino que podamos hacerla desde un pensamiento inicial. Voy a retomar aquÃ con un color distinto. Vamos a poner aquÃ este verde. Piensen en lo siguiente, este valor inicial. DespuÃ©s cuando pasÃ³ un segundo, lleguÃ© a Ã©ste que estÃ¡ aquÃ, al cinco. O sea, al dos que tenÃa antes le sumÃ© tres metros por segundo multiplicado por un segundo. Este tres multiplica, estÃ¡ significando la velocidad constante multiplicada por el tiempo transcurrido. Llegamos asÃ al cinco. Ahora para irme del cinco al ocho, o sea esto es lo que voy a prescindir, mÃ¡s bien voy a ir del cinco al ocho. Lo que voy a hacer es irme desde el dos hasta el ocho. Si me voy desde el dos hasta el ocho pensarÃa que al nÃºmero dos inicial le estoy sumando los metros que se moviÃ³. Y los metros que se moviÃ³ la partÃcula son seis, Â¿ por quÃ©? Porque se movÃa tres metros cada segundo y esto lo hizo durante dos segundos. Entonces tendrÃa la expresiÃ³n dos mÃ¡s tres por dos. Nuevamente, en lugar de irme del ocho al once lo que voy a hacer ahora es provocar este tipo de acciÃ³n, irme desde el dos hasta el once. Si hacemos este tipo de razonamiento entonces tendrÃamos que al dos, el valor inicial, le vamos a sumar Â¿cuÃ¡ntos? Tres, seis, nueve. Pero ese nueve vienen siendo el valor de la velocidad que es constante que se mantiene durante tres segundos. Entonces me queda dos mÃ¡s tres por tres es nueve. De la misma manera llegarÃ¡ este catorce que tenemos acÃ¡ que serÃa: al dos que tenÃamos originalmente le vamos a sumar la velocidad constante multiplicada por el tiempo transcurrido que es un cuatro, Â¿no? Esta manera de razonar, la que tengo en el tono verde, no la que tengo en el tono rojo. La del tono verde es una tal que sÃ me permite hacer cuestiones de generalizaciÃ³n. O sea, si estoy pensando de esta manera, yo los invito en esta secuencia a que ustedes vean a que en el parÃ©ntesis un valor de tiempo que estÃ¡ cambiando. Si ahorita tomo un color distinto, digamos un rojo. AquÃ les puedo poner en el nÃºmero uno un resaltador rojo, en el nÃºmero dos un resaltador rojo, en el nÃºmero tres, en este tres que estÃ¡ en el parÃ©ntesis, Â¿sÃ? Y en el nÃºmero cuatro y entonces me puedo preguntar Â¿quÃ© va a pasar a los cinco segundos? A los cinco segundos you mentalmente estarÃa diciendo dos mÃ¡s tres por cinco, Â¿no? A los seis segundos dos mÃ¡s tres por seis donde el tres por seis estÃ¡ haciendo la multiplicaciÃ³n de la velocidad constante por el tiempo transcurrido y asÃ podrÃa seguir en mi secuencia mental de tal manera que diga a los t segundos, en este momento me he atrevido a representar con una letra estos nÃºmeros rojos que estÃ¡n aquÃ. En lugar de uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, simplemente voy a decir t y eso, como les digo es una acciÃ³n bien matemÃ¡tica, es una generalizaciÃ³n, una forma de simbolizar que voy a dejar en mi mente que esa letra tenga distintos valores numÃ©ricos. De esta manera pudiera llegar a la expresiÃ³n dos mÃ¡s tres por t. Si yo soy fiel a lo que he hecho antes, entonces tendrÃa que poner este parÃ©ntesis, Â¿lo notan? Este parÃ©ntesis, aquÃ estaba, aquÃ estaba, aquÃ estaba. Ese parÃ©ntesis era necesario en las anotaciones con los nÃºmeros porque si no lo escribiÃ©ramos, entenderÃa como que aquÃ serÃa dos mÃ¡s treinta y cuatro. Es necesario meter este parÃ©ntesis para indicar la multiplicaciÃ³n. Cuando la expresiÃ³n se escribe you con letras es como que la simbologÃa matemÃ¡tica, precindamos del parÃ©ntesis y escribÃ¡moslo asÃ, como si fuera una palabra: dos mÃ¡s tres t. Es mÃ¡s, uno you no dice dos mÃ¡s tres por t, realmente economiza en el lenguaje y dice dos mÃ¡s tres t. Esto es muy importante de hacer notar porque cuando nuestro pensamiento es en reverso, ahorita yo les invitarÃa a decir pues que la posiciÃ³n x, que x signifique posiciÃ³n y entonces lo que tendrÃamos nosotros es que x es igual a dos mÃ¡s tres t. Pero mÃ¡s que esto nosotros quisiÃ©ramos con ustedes compartir una anotaciÃ³n matemÃ¡tica. O sea, acuÃ©rdense que la simbologÃa matemÃ¡tica es algo en lo que tenemos que poner mucha atenciÃ³n. Entonces, de una vez me gustarÃa que adoptemos esta anotaciÃ³n x parÃ©ntesis t. Este parÃ©ntesis que estÃ¡ aquÃ, no es una multiplicaciÃ³n, x evaluado en t, o x depende de t. Es una manera de nosotros decir, mi posiciÃ³n depende del tiempo transcurrido y la expresiÃ³n de esta posiciÃ³n es dos mÃ¡s tres t. A lo que hemos arribado nosotros ahorita con ustedes es a una representaciÃ³n algebraica, una representaciÃ³n algebraica que me permite expresar lo que ocurre en el fenÃ³meno con la situaciÃ³n cualquier, en cualquier instante t. En cualquier valor numÃ©rico que sustituyamos aquÃ para la variable t. Tenemos esta representaciÃ³n algebraica, tenemos aquÃ en esta zona estas representaciones numÃ©ricas que hemos visto, que seguramente ustedes estÃ©n familiarizados con ella, comÃºnmente lo que se hace es una tabla de valores donde se pone aquÃ la t y aquÃ x, el valor de la x, entonces aquÃ tendrÃamos nuestros nÃºmeros representados como cero vale dos, uno vale Â¿quÃ© dijimos?, cinco. Dos vale ocho y asÃ nos vamos. Ãsa serÃa nuestra representaciÃ³n numÃ©rica aquÃ hay nÃºmeros presentes, aquÃ hay una formula you matemÃ¡tica, algebraica por accionar, es decir en esta fÃ³rmula cada vez que yo quiera calcular el valor de x en cuatro como el de acÃ¡, lo que tendrÃa es x de cuatro igual a dos mÃ¡s tres por cuatro y entonces ahÃ tendrÃamos exactamente el valor catorce que estamos esperando. Entonces estas dos anotaciones numÃ©rica, o sea la numÃ©rica y la algebraica you es parte de nuestro arsenal de recursos para tratar con las situaciones reales. Una representaciÃ³n numÃ©rica, una representaciÃ³n algebraica y los invito a que terminemos con esta cÃ¡psula viendo una representaciÃ³n pero grÃ¡fica. Una representaciÃ³n visual del fenÃ³meno. Tengo una animaciÃ³n que me gustarÃa preparar y pasÃ¡rsela en este momento. Tenemos entonces ahorita en la pantalla nuestra partÃcula p, en matemÃ¡ticas vamos a verla en vivo y a todo color. Vamos a ver esta partÃcula. Vean ustedes, me muevo sobre una lÃnea recta, con velocidad constante. Ahora sÃ, esta animaciÃ³n estÃ¡ preparada para que la partÃcula venÃa, Â¿no? desde menos infinito y va a irse hasta mÃ¡s infinito. O sea, Ã©ste es el fenÃ³meno digamos, Ã©sta es la situaciÃ³n real que estamos analizando. Claro que cuando el hombre empieza a analizar estas situaciones, empieza a meter sus instrumentos. Uno es el tiempo, ahÃ tenemos un cronÃ³metro que estÃ¡ accionÃ¡ndose a la vez que estamos viendo el fenÃ³meno, la situaciÃ³n real. Entonces, vean ustedes como ahorita estÃ¡ interviniendo otra magnitud. No es solamente la posiciÃ³n de la partÃcula sino tambiÃ©n el tiempo que estÃ¡ transcurriendo. Este eje que apareciÃ³ ahorita. Lo que estamos haciendo es pensar en el tiempo transcurriendo en un horizontal. Esto lo veo asÃ como desdoblar el tiempo, con esa idea del tiempo en un reloj. El eje real que you conocemos nos va a servir ahora para representar el tiempo transcurrido y en ese sentido no es nada mÃ¡s que cero, un segundo, dos segundos. Vemos que puede ser medio segundo, un tercio de segundo, raÃz de dos segundos, etc. AquÃ estÃ¡ lleno de nuestros nÃºmeros reales. Cuando estÃ¡ ese eje en la horizontal y observamos la posiciÃ³n de la partÃcula, lo que tenemos es dos rectas horizontales. Pero una recta es la que estÃ¡ significando la posiciÃ³n de la partÃcula y la otra es la que significa el tiempo. En esa rectas horizontales puede haber una confusiÃ³n en cuanto al paso del tiempo y el movimiento. Ahora que vemos el movimiento en acciÃ³n, vean ustedes como por un lado tengo a la partÃcula que se mueve sobre la lÃnea recta y por otro lado vieron ustedes una partÃcula que estaba subiendo, como si las partÃculas se fueran al cielo. No piensen que las partÃculas se van al cielo, lo que pasa es que nuestra representaciÃ³n del movimiento, nuestra representaciÃ³n matemÃ¡tica, exige que este eje horizontal donde se movÃa la partÃcula quede ahora en una vertical. De una manera que el movimiento que veÃamos en horizontal tenemos que interpretarlo en la vertical. Si tomamos una siguiente escena aquÃ en la animaciÃ³n. AquÃ tenemos la interpretaciÃ³n grÃ¡fica, vean ustedes que pasa la partÃcula y al mismo tiempo que pasa el tiempo con este cuadrito blanco, la partÃcula estÃ¡ yendo hacia arriba y se producen puntos que nos hacen esta recta. Esta recta con cierta inclinaciÃ³n. Esa recta nos estÃ¡ representando la variaciÃ³n de las dos magnitudes, pero you integrada, por un lado estÃ¡ el tiempo, por otro lado estÃ¡ la posiciÃ³n. Tengo dato de tiempo, dato de posiciÃ³n que junto en una imagen grÃ¡fica, de esta manera por ejemplo en un instante en particular nosotros tendrÃamos lo que vamos a ver a continuaciÃ³n. Vean ustedes, nos regresamos la partÃcula, pensemos en su interpretaciÃ³n aquÃ sobre el eje vertical y entonces para ella tenemos un valor de tiempo transcurrido, aquÃ se ve que es como un siete. Y aquÃ tendrÃamos un valor de la posiciÃ³n. La posiciÃ³n vendrÃa estando representada en este segmento vertical que coincide con el valor numÃ©rico que estÃ¡ justamente por aquÃ. Me da la impresiÃ³n que fuera un veintitres. A lo mejor es un veintitres, seguramente ahora que trabajemos con la representaciÃ³n algebraica en nuestra siguiente sesiÃ³n podremos comprobarlo. Ahorita, lo que querÃa es que tuvieran esta imagen visual del comportamiento de la partÃcula donde hemos obtenido una recta para representar ese movimiento. Este nuevo objeto matemÃ¡tico que estoy recorriendo con el cursor es un objeto que nos servirÃ¡ para interpretar el movimiento de nuestra partÃcula. Lo retomaremos en la siguiente sesiÃ³n pero me gustarÃa que comenzÃ¡ramos en ella con una sÃntesis de las diferentes representaciones matemÃ¡ticas del fenÃ³meno que estamos estudiando.

El Cambio más Simple… Representación Matemática

1.- El Cálculo - Modelo Lineal

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