В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Вычисление основных динамических характеристик для системы двух точек
Loading...
Del curso dictado por Instituto de Física y Tecnología de Moscú
Динамика
9 ratings
De la lección
Основные определения и динамические характеристики механических систем
Conoce a los instructores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
На примере следующей задачи познакомимся с основными динамическими характеристиками.
Задача следующая.
Есть стержень длины l невесомый,
на концах его точки 1 и 2, обладающие каждая массой m.
Стержень может скользить по сторонам прямого угла x, y.
Что задано?
Задана скорость первой точки касания нижней,
и равна она V, и зависит от угла φ.
Угол φ тоже известен в каждый момент времени.
Необходимо найти импульс всей системы, момент импульса относительно центра масс,
центр масс в данном случае — это середина стержня,
и найти кинетическую энергию системы.
Давайте делать это последовательно.
Начнем с импульса.
По определению, импульс для системы материальных
точек — это сумма импульсов в каждой точке.
Так как точек у нас две — первая и вторая, то импульс — это масса
i-той точки умножить на скорость i-той точки.
И для нашего конкретного случая это масса первой
точки умножить на скорость первой точки
плюс масса
второй точки умножить на скорость второй точки.
Скорость V1 нам известна, а скорость V2 можно найти из условия того, что проекции
скоростей на прямую, их соединяющую в твердом теле, должны быть равны.
Поэтому импульс в компонентах, в проекциях на оси x,
y записывается следующим образом: масса на заданную
скорость первой точки и минус
масса умножить на скорость V и на
котангенс угла φ, на O и z проекция равна 0.
Импульс мы, таким образом, нашли.
Следующим шагом вычислим момент импульса относительно центра масс.
По определению момент импульса — это следующая вещь.
Это для системы материальных точек
радиус-вектор от центра масс до i точки умножить
векторно на импульс этой точки.
То есть масса i-тая на скорость i-той точки.
В нашем случае в твердом теле две точки,
поэтому эта сумма преобразуется к следующему виду.
Радиус-вектор от центра масс до первой
точки умножить векторно на массу первой точки, на скорость первой точки.
Так как массы одинаковы,
то будем использовать одинаковое обозначение, просто m.
Для второй точки это радиус-вектор от центра масс до
второй точки умножить векторно на массу второй
точки на скорость второй точки.
Что здесь можно заметить, чтобы считать меньше векторных произведений?
Что радиус от центра масс до первой точки равен по модулю и противоположен по
направлению радиус-вектору от центра масс до второй точки.
Поэтому формула преобразуется к виду: радиус от центра масс до
первой точки векторно умножить на следующую сумму,
масса на скорость первой точки минус масса
на скорость второй точки.
Чтобы посчитать векторное произведение,
давайте выпишем все вектора в координатах x, y, z.
[БЕЗ_ЗВУКА] Радиус-вектор
от центра масс до первой точки в проекции на ось
x дает (l/2) * cosφ,
в проекции на ось y −(l/2) * sinφ,
и в проекции на ось z — 0.
Необходимо векторно умножить на следующее.
Скорость первой точки только вдоль оси x, и она нам задана,
то есть масса на скорость.
Скорость второй точки по направлению −y,
и мы эту скорость уже тоже нашли, можем просто подставить.
Получаем масса на скорость на котангенс угла φ и по оси z 0.
[БЕЗ_ЗВУКА]
Вычисляем векторное произведение.
В проекции на ось x получаем 0, в проекции на ось y получаем 0,
и в проекции на ось z получаем (l/2) *
cosφ умножить на массу на скорость
котангенс φ, вычесть — знак минус здесь уже есть,
значит прибавить — (l/2) *
sinφ на массу на скорость.
Давайте преобразуем третью компоненту.
Что мы видим?
ctgφ * cosφ + sinφ — это 1 на sinφ.
То есть в ответе получаем массу на скорость на длину
стержня l/2 и разделить на sinφ.
Это наш ответ.
Таким образом, мы нашли момент импульса относительно центра масс.
Заметим, что в данной задаче у нас есть точка, относительно которой момент
импульса равен 0 — это начало нашего угла, точка d.
Как это можно получить?
Можно получить, непосредственно по формуле вычислив,
подставляя соответствующие радиус-векторы, либо получить,
воспользовавшись теоремой о переносе полюса.
Можете посчитать это самостоятельно и проверить, что у вас все получилось.
У нас остался последний пункт нашей задачи — это кинетическая энергия.
Давайте вычислим кинетическую энергию.
Вычислять мы ее будем двумя способами.
[БЕЗ_ЗВУКА] Первое —
вычислим по определению, а второе — воспользуемся теоремой Кёнига.
По определению, что такое кинетическая энергия?
Кинетическая энергия — это 1/2,
для системы материальных точек это сумма
массы i-той точки на скорость i-той точки в квадрате.
Точки у нас две — первая и вторая,
скорости обеих мы знаем, поэтому подставляем и получаем.
Для первой точки: 1/2 масса этой точки на скорость в квадрате плюс 1/2.
Для второй точки мы знаем, что скорость равна
скорость первой точки в квадрате умножить на котангенс квадрат φ.
Это выражение опять же можно преобразовать и получить в
более компактном виде — 1/2 масса,
скорость в квадрате.
Если 1 сложить с котангенсом в квадрате,
то получим 1 / sin квадрат φ.
Теперь давайте тот же самый результат получим при помощи теоремы Кёнига.
Теорема Кёнига говорит о чем?
Что кинетическая энергия равна сумме двух слагаемых.
Первое слагаемое — это кинетическая энергия, как если бы мы всю массу
поместили в центр масс и умножили на скорость центра масс, то есть 1/2,
массу обозначим всего тела большой буквой M, на скорость центра в квадрате,
плюс кинетическая энергия в относительном движении.
То есть 1/2 умножить
на момент инерции системы материальных точек относительно
центра масс умножить на угловую скорость в квадрате.
Давайте подставлять величины.
Для начала нам придется найти скорость центра масс.
Скорость центра масс опять же можно найти
из проекции на стержень, можно найти через центр скоростей.
Можете потренироваться, вспомнить кинематику и найти,
что скорость центра масс — это скорость,
заданная пополам, минус скорость,
заданная пополам на котангенс φ, и по оси z — 0.
Угловую скорость так же можете найти,
воспользовавшись центром скоростей, и найти,
что угловая скорость равна скорость
заданной точки разделить
на lsinφ и направлена
по оси z вверх.
Теперь вспомним, что такое момент инерции относительно центра масс?
По определению момент инерции — это сумма по всем точкам в твердом теле, расстояние
массы i-той точки умножить на расстояние от центра масс до i-той точки в квадрате.
В нашем твердом теле… В нашей системе точек только две точки,
поэтому момент инерции — это масса умножить на расстояние,
равно для каждой точки l/2, и его нужно возвести в квадрат.
Так как точек две, то еще домножаем на два.
Получаем, что момент инерции относительно центра масс — это
ml квадрат / 2.
Подставляем в теорему Кёнига,
получаем: кинетическая энергия 1/2,
масса суммарная всех точек нашей системы — это 2 * m,
и умножить на скорость центра масс в квадрате.
Скорость центра масс в квадрате — это V квадрат
/ 4 + V квадрат / 4 котангенс квадрат φ.
И добавляем относительную
составляющую — это (1/2) *ml /
2 * на квадрат угловой скорости,
то есть V квадрат
/ l квадрат sin квадрат φ.
Преобразуем.
Получаем.
Масса, первое слагаемое,
это V квадрат / 4 sin квадрат φ.
Из второго слагаемого что видим?
Что это тоже масса на квадрат скорости разделить на 4 sin квадрат φ.
Если сложим, то получим точно такой же результат,
какой мы получили, подставив непосредственно в определение.
То есть mv квадрат / 2 sin квадрат φ.
Ответ получен.
Таким образом, мы для нашей задачи получили основные характеристики.
Научились считать импульс, момент импульса и кинетическую энергию.
Спасибо за внимание.
Задача решена.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
