[БЕЗ_ЗВУКА] Последняя

наша большая тема называется «Топология»,

и это две последние недели, мы плавно будем к ней сейчас

подступаться через комплексную проективную геометрию,

точнее, через совершенно конкретную конструкцию CP2,

через конструкцию комплексной проективной плоскости.

Итак.

Извините, через CP1, через комплексную проективную прямую.

Что такое CP1?

Это C2 по модулю

некоторой эквивалентности.

Что я имею в виду здесь, и как эту

эквивалентность увидеть и построить, мы сейчас этим будем заниматься.

Давайте строго по определению, что такое CP1?

Это множество прямых в C2,

проходящих через 0,

через точку (0, 0).

К сожалению, вот так вот взять и нарисовать я не могу,

потому что это четырехмерная, в нашем понимании, ситуация.

C двумерно, C² четырехмерно, нужно представить себе прямую.

А что такое прямая?

Прямая — это плоскость.

То есть это множество плоскостей, некоторых,

но всех, в четырехмерном пространстве.

Почему не всех?

Потому что если я взял две

комплексные координаты,

расшифровал их через вещественные и мнимые части,

как четыре координаты x1,

y1, x2, y2, то я,

конечно, превратил C² в R в 4-й,

то есть любая точка из C² стала некоторой точкой из R в 4-й,

но с прямыми ситуация несколько иная.

Что такое комплексная прямая?

Комплексная прямая — это множество всех таких вот,

мы берем некоторую

точку и домножаем на какие-то комплексные тоже числа,

на какие-то комплексные числа s,

и вот множество вот таких вот всех, где s — это тоже комплексное число.

Вот мы взяли определенную точку в четырехмерном пространстве, да, конечно,

а любая точка в четырехмерном пространстве обозначает

какую-то пару комплексных чисел, вот она.

После этого мы начинаем домножать на всевозможные комплексные числа.

Так вот, при этом возникают не любые двумерные плоскости здесь,

только вполне определенные, потому что мы задаем структуру, что должно быть, значит,

все точки, мы смотрим все пары ws,

zs, все вот такие пары, где s — это комплексное число.

То есть некоторые двумерные подпространства

четырехмерного пространства — это комплексные прямые,

а некоторые двумерные никакого отношения к комплексным прямым не имеют.

Или иными словами, что такое комплексная прямая?

Это такая двумерная плоскость, что если я домножу ее две комплексные координаты,

вот две пары координат возьму и рассмотрю как комплексные числа, и домножу на

произвольное комплексное число, то я останусь внутри этой плоскости.

Далеко не любая двумерная плоскость обладает этим свойством.

Если это не понятно, нужно обязательно разобраться, это очень важный момент,

что не любую двумерную плоскость, если я взял наугад двумерную плоскость в

четырехмерном пространстве и задал ее координату какую-то,

какую-то точку на ней двумя комплексными координатами,

умножил на комплексное число, всё, я из этой плоскости вылетел,

я уже в другой какой-то нахожусь, как бы в дополнение к ней.

А вот комплексные плоскости, они обладают этим свойством.

Так вот, нужно рассмотреть множество комплексных плоскостей, или,

иными словами, множество прямых.

Давайте попробуем, тем не менее, его прощупать, вот это множество.

Каждая прямая, в принципе, вот прямая, она определяется парой.

(z, w) вполне определяет этот четырехмерный вектор,

который я изобразил как пару комплексных чисел, он уже эту прямую,

конечно, определяет, я начинаю домножать, и всё.

Теперь вопрос: какие пары определяют одну и ту же прямую?

Ответ такой.

Давайте разделим на z, вот такой и такой четырехмерные

вектора образуют одну и ту же прямую на самом деле,

потому что при домножении на комплексное число z я отсюда перехожу сюда.

Поэтому, в принципе,

можно любой комплексной прямой в двумерном

комплексном пространстве сопоставить просто отношение двух чисел,

двух ее координат, w / z, вот такое комплексное число.

Вот любое ли?

Но вот не совсем.

Дело в том, что z может оказаться равным 0.

Вот если z ≠ 0, то тогда такой комплексной прямой

соответствует одно и только одно вот такое число, и наоборот,

если я взял какое-то комплексное число s и задал вот такую прямую,

то я получил, соответственно, пример комплексной прямой.

Итак, каждому комплексному числу соответствует

комплексная прямая, разным — разные, вот такая и вот такая.

Если s ≠ s1, то это разные двумерные подпространства четырехмерного

пространства, разные комплексные прямые.

Очевидно практически, в качестве упражнения, поймите,

что если уже задать первую координату, то вторая однозначно определяет прямую,

которая через нее проходит, через эту точку.

Но бывает так, что прямая не определяется вот так,

то есть мы не можем поделить на z, но в одном-единственном случае — что z = 0.

Вот множество всех вот таких — это тоже комплексная прямая, причем ровно одна.

Вот как бы все такие точки образуют одну комплексную прямую.

То есть это одна единственная точка комплексной проективной прямой,

которая вот таким образом не соответствует никакому комплексному числу.

И здесь есть совершенно четкая аналогия с вещественными построениями.

У нас было R и была бесконечность, R нужно было завязать на эту бесконечность,

и по сути это получилась окружность на самом деле.

RP1 — это окружность S1.

А что такое тогда CP1?

Это C, к которому присоединена одна вот такая вот точечка,

то есть одна конкретная комплексная прямая в C²,

которая не описывается этой конструкцией.

Но как комплексным числам, вот у нас плоскость есть и вот есть какая-то точка,

которая в ней не лежит, ну, в общем, понятно,

что если мы насильно присоединим одну точку к плоскости,

то, естественно, это сделать так, чтобы вот так согнуть плоскость просто в сферу.

И оказывается, что если изучить топологию вот этой вот

комплексной проективной прямой, то есть посмотреть, что значит близкие прямые.

Близкие прямые друг другу, соответственно, по углу, например,

измерять в четырехмерном пространстве между плоскостями соответствующими,

то топология возникнет именно такая, что вот эта точка,

она будет близка к прямым по всем направлениям присоединяющихся к этой.

То есть мы должны плоскость — вот так вот,

как делают хинкали.

Что такое хинкали?

Это грузины берут лаваш и вот так вот его сюда подтягивают,

и сверху бах, и все, вот вам и хинкаль.

Или буряты, буряты что делают?

Они делают позы таким же образом, они вот так вот загибают,

это очень интересный, кстати, феномен.

Две культуры, очень далекие по расположению географическому,

научились делать совершенно одинаковый объект,

а именно вот эти большие пельмени, только вот чуть-чуть топологически по-разному

устроенные: у бурят дырочка как бы до конца не доделана,

а у грузин наверху такой как бы этот самый, наоборот, эксцесс теста.

Вот ровно так и делается, в общем-то.

Как изготовить...

Вот поезжайте в Грузию и спросите,

как изготовить из C2 CP1, вам сразу скажут.

Сфера, всё, я пишу,

это обычная двумерная сфера, вот.

Но теперь я хочу подойти к этому же объекту,

тому же самому топологическому объекту по-другому,

чтобы устроить некоторое

феноменальное отображение из трехмерной сферы в двумерную,

которое и называется расслоением Хопфа, я его уже упоминал.

И для этого сейчас комплексная проективная прямая будет

определена немножко иначе, а именно в два этапа.

На первом этапе я буду домножать вот

эти пары z и w на вещественные части, на вещественные числа,

а потом подкручивать на комплексные числа, по модулю равные единице.

То есть что такое умножение на произвольное комплексное число?

Я могу вначале растягивать просто как вещественное растяжение,

а потом поворачивать, делать подкрутку на cos φ + φ sin φ.

И вот я сейчас разделю вот эти операции растягивания и

подкручивания и посмотрю, что у меня в результате получится,

у меня как раз и получится то самое обещанное расслоение Хопфа.

Комплексная проективная прямая

Геометрия и группы

Conoce a los instructores