Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Числа как преобразования. Подобия
Loading...
Del curso dictado por Instituto de Física y Tecnología de Moscú
Геометрия и группы
16 ratings
De la lección
Числа, преобразования и подобия
Conoce a los instructores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] Числа как преобразования.
Группа подобий.
[ЗВУК] Сейчас
мы будем работать с прямой некоторое время.
Потом, конечно, разовьем все это на плоскости.
Что такое обычные числа, что мы умеем с ними делать?
Мы умеем числа складывать и умеем умножать.
Относительно сложения все вещественные числа образуют группу,
нейтральным элементом в которой служит ноль.
Ноль плюс любое число — это то число, которое прибавляли.
Для любого числа есть противоположное.
Скажем, пять — это минус пять будет противоположным, которое если сложить,
получится ноль.
То есть все аксиомы группы выполнены для чисел по сложению.
Но это еще не все: числа еще можно умножать.
И здесь есть тоже группа.
Но чтобы образовать группу чисел по умножению,
нужно избавиться от одного очень неприятного элемента, называется «ноль».
Вот ноль если ты умножаешь на что-нибудь, получается все время ноль,
и уж явно нельзя получить единицу, а, с другой стороны, ясно,
что при умножении естественным кандидатом на нейтральный элемент служит
именно единица: единица умножить на любое число равно...
вот.
При том, что единица служит нейтральным элементом,
обратный существует не для всех, а именно для всех, кроме нуля.
Для двух обратный одна вторая, для трех — одна третья, и так далее,
для двух пятых — пять вторых.
Но для нуля обратного нет, вы ни на что не можете умножить ноль,
чтобы получить единицу.
Поэтому, чтобы это досадное обстоятельство учесть, ноль просто выкидывают.
И говорят: группа чисел ненулевых по умножению.
Итак, что такое числа?
Это, во-первых, группа по сложению, во-вторых,
если выкинуть ноль, то это группа по умножению, и, в-третьих,
есть закон дистрибутивности, a * (b + c) = a * b + a * c.
В общем-то, все.
Остальное — это специфика того, что для чисел есть еще соотношения больше/меньше,
ну и там разные вопросы непрерывности: аксиома полноты и так далее, то,
что в школе изучается в математических классах.
В принципе, если мы рассмотрим какую-то систему каких-то условных чисел,
в кавычках, внутри которых можно производить действия сложения и умножения
так, что по сложению это группа, если вычесть ноль, то по умножению тоже группа,
и есть закон дистрибутивности, то мы говорим об абстрактной,
обобщенной системе чисел и называем это словом «поле».
Вот я хочу сразу же выписать здесь, группа у нас уже была, теперь будет поле.
Поле — это когда выполнены вот эти вот условия,
три группы условий: группа по сложению,
группа по умножению, если вычесть ноль, и дистрибутивность.
Кроме того, есть еще понятие «кольцо», очень важное в математике — просто так,
на всякий случай.
Это все, что есть для поля, вот все, что есть для поля,
только не требуется, чтобы был обратный.
То есть по умножению есть нейтральный элемент,
единица, свойства ассоциативности должны быть, и сложения, и умножения.
Кольцо, кольцо единственное,
чем отличается от поля, что не всегда можно взять обратный.
Не только для ноля нельзя, но иногда бывает для каких-то еще чисел нельзя.
Скажем, целые числа обычные удовлетворяют всем аксиомам кольца,
все требованиям: есть дистрибутивность, есть группа по сложению,
по умножению не группа, но все, кроме обратного, тоже есть.
Иногда там бывают разные вариации, иногда кольцо может быть некоммутативным по
умножению, иногда в нем даже не требуется нейтрального элемента — это уже
некоторый в сторону путь, расширяющий концепцию кольца в разные стороны.
Но если я буду говорить «кольцо», я всегда буду иметь в виду, что это поле,
кроме ровно одного: кроме требования, что существует обратный.
Так вот, обычные числа определяют нам поле вещественных чисел,
ну а обычные целые числа определяют кольцо целых.
Это такие примеры.
Я хочу увидеть числа как преобразования, то есть чтобы вот эти операции «плюс» и
«умножить» были результатом выполнения каких-то преобразований,
соответствующих числам.
И это можно сделать следующим образом.
По сложению нам каждому числу нужно сопоставить перенос на это число,
на вектор, который задает это число.
Вектор может направо быть направлен, может налево.
Если налево — это отрицательное число, если направо — положительное число.
Соответственно, сдвиг направо или налево в зависимости от знака числа.
И мы видим, что, как мы это уже изучили, Ta * Tb в любом порядке,
коммутативная операция композиции — это просто T(a + b).
То есть это перенос на (a + b).
Вопрос: а можно ли ввести также какой-то класс преобразований,
новых совершенно, может быть, нам незнакомых, так, чтобы умножение
было композицией этих новых преобразований.
То есть посмотреть на числа по умножению,
тоже как на какие-то преобразования, у которых берется композиция.
Ответ положительный.
Это можно сделать, и вот как.
Нужно каждому числу сопоставить так называемую гомотетию,
тут уже придется ноль зафиксировать раз и навсегда,
и мы теперь рассматриваем уже прямую с помеченной точкой 0.
Мы рассматриваем растяжение в a раз.
При это нулю ставится в
соответствие схлопывание всех вообще точек прямой в ноль.
То есть не преобразование, а просто некоторое отображение,
которое все точки убивает.
Так и надо видеть ноль, на самом деле.
Что такое ноль по умножению?
Он все схлопывает в себя.
А единица — это гомотетия с коэффициентом 1,
но он же Id на самом деле, то есть у нас Id — это, во-первых,
T0, а во-вторых, гомотетия с коэффициентом 1.
А что такое, например, гомотетия с коэффициентом −1,
что соответствует минус единице?
Ответ — это гомотетия с переворачиванием.
То есть если у нас число отрицательное,
мы увеличиваем во столько раз все расстояния и переворачиваем прямую.
То есть вот так вот растягиваем ее, в данном случае минус единица
по модулю равна единице, поэтому здесь ни растяжения, ни сжатия не происходит.
Здесь просто прямая переворачивается, поэтому это единственный случай,
когда гомотетия является движением — это вот этот
случай и тривиальный вот этот вот, это Id.
А это нет, это не тривиальный, это So
— это отражение относительно точки 0, относительно точки O.
Значит, у нас есть два преобразования гомотетии,
которые являются одновременно и движениями тоже.
Больше нет, только для единицы и минус единицы.
Все остальные числа определяют либо реально растяжение, либо сжатие.
Скажем, что такое H3?
Взял, растянул все в три раза, единичка перешла в тройку и так далее.
То есть H3(x) := x * 3.
H(−1/2)(x) — это я все сжал вдвое и перевернул прямую.
И оказывается, это ровно то, что нам нужно.
Множество всех гомотетий образует группу.
Это та же самая группа, что группа чисел по умножению, то есть я хочу сказать,
что эти две группы изоморфны друг другу.
В множестве гомотетий есть вот этот вот нейтральный элемент, в множестве умножения
есть элемент 1, и у нас есть, соответственно, правило,
что Ha в композиции с Hb в любом порядке дает Hab,
тоже тут коммутативно все, Hab.
Вот.
Значит, теперь...
Это вот, грубо говоря, на прямой все происходит,
на прямой все просто, все можно пощупать.
Мне хочется все это перенести на плоскость.
И для того чтобы это сделать, мне, на самом деле,
пригодятся как раз комплексные числа.
Но это чуть-чуть позже.
А пока давайте посмотрим кое-что еще про эту прямую.
Что можно еще сказать про прямую?
Можно сказать следующее, что в группе всех гомотетий существует
подгруппа всех гомотетий с положительными a.
То есть если я буду брать только положительные числа,
a > 0, то это подгруппа во множестве всех H, во множестве всех...
Вот это вот группа, все гомотетии, а это те,
которые соответствуют положительным.
Положительные при композиции друг с другом дают тоже положительные.
Вопрос: могу ли я факторизовать всю группу гомотетий вот этих,
всю эту группу, факторизовать по этой подгруппе?
То есть могу ли я устроить какой-то гомоморфизм во что-то очень простое,
чтобы вот это было ядром.
Помните, да?
Факторизация связана с тем, что мы некоторую группу как бы обнуляем,
ну не обнуляем, а делаем все преобразования из нее тождественным
элементам какой-то новой группы.
Конечно, если немножко подумать, ответ опять «да»,
и опять это фактически та же самая группа, на этот раз удобнее ее рассматривать
как группу из двух чисел по умножению, 1 и −1.
Понятно, что она изоморфна обычной группе из двух элементов.
Если 1 назвать четным числом, а −1 — нечетным,
а сложение назвать умножением, то группа по умножению чисел {1,
−1} — это та же самая группа по сложению знаков чет-нечет.
Ну и мы просто ставим в соответствие каждой гомотетии ее знак.
Если a > 0, то ставим 1, если a < 0, то −1.
Понятно, что при двух гомотетиях, одна из которых перевертывает прямую,
а другая не перевертывает, у нас получается гомотетия с перевертыванием
прямой, то есть отрицательным числом.
Ну а для двух отрицательных — положительный.
Это, на самом деле, еще один очень простой способ увидеть,
почему произведение двух отрицательных чисел всегда дает положительное.
Я в детстве этого никогда не понимал, совсем маленький когда был,
я говорил: «Пап, ну как же так?».
А он говорил: «Ну ты представь себе, что делает отрицательное число.
Вот посмотри на это: оно перевертывает числа, вот эти туда переходят,
а эти сюда».
Я говорю: «Да».
А он говорит: «Ну если умножить два отрицательных, значит,
нужно два раза перевернуть».
Если ты два раза перевернешь, положительные остались положительными.
Поэтому минус на минус дает плюс.
Ну и это отсюда видно: минус один на минус один — это один.
Значит, соответственно, две гомотетии с отрицательными a в
композиции дадут гомотетию с положительным a.
Поэтому вот это вот является ядром некоторого конкретного гомоморфизма вот
этого, поэтому эта подгруппа может служить базисом для
кластеризации на две группы, на две части, на два класса: класс тех,
которые меняют направление прямой, и тех, которые переворачивают.
Хорошо.
На самом деле, мы собираем материал, у нас теперь много уже материала,
когда было два класса чего-то, не правда ли?
У нас были классы сдвигов и классы
отражений, и здесь теперь возникли тоже
классы растяжений с переворачиванием и растяжений без переворачивания.
И каждый раз мы смогли факторизовать, и на выходе стала такая маленькая-маленькая
информация, плюс или минус, меняет или не меняет направление.
Вот это вот введение в теорию ориентации.
Очень важный аспект в курсе геометрии группы — это вопрос ориентаций тех или
иных преобразований, и вот это введение в эту теорию.
Значит, суммируем, что мы получили.
Мы получили, что числа можно увидеть как преобразования.
При этом, чтобы числа складывать как композицию преобразований,
нужно видеть числа как параллельные переносы.
Чтобы их умножать, их нужно видеть как гомотетии.
А в целом и те, и другие являются частными
случаями того, что называется «преобразования подобия».
Ну и чтобы суммировать информацию
о различных преобразованиях прямой, которые мы до сих пор успели узнать,
нам нужно рассмотреть все вообще преобразования
подобия и в дальнейшем обобщить группу всех преобразований
подобия на более сложную ситуацию, а именно ситуацию на плоскости.
То есть мы сейчас занимаемся прямой, но на самом деле цель — это заняться
плоскостью и даже более многомерными объектами.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
