Как правило, школьные и университетские программы по математике сильно смещают акцент в сторону формально-алгебраических выкладок и аналитических навыков. С нашей точки зрения, не менее важным является (ровно столь же важным!) является понимание сути математики - то есть её геометрического воплощения. И в первую очередь это изучение свойств фигур, инвариантных относительно действия некоторой группы преобразований. В нашем курсе вы узнаете всё про движения прямой, плоскости, окружности, сферы, будем проецировать, отражать, растягивать/сжимать, и вращать, разберемся с геометрическим описанием комплексных чисел и кватернионов, а также пройдём начала топологии. Мы поймём, чем отличается отрезок от окружности и сфера от бублика. Курс создан при поддержке Университета Дмитрия Пожарского, который готовит высококвалифицированных исследователей в ключевых областях знания и сферах человеческой деятельности. Приоритетом деятельности университета является восстановление ценности классического фундаментального образования, науки и практики в России. Преподаватель курса — Алексей Владимирович Савватеев, ректор Университета Дмитрия Пожарского, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник Центрального экономико-математического института РАН. www.usdp.ru
Проективная геометрия
Loading...
Del curso dictado por Instituto de Física y Tecnología de Moscú
Геометрия и группы
15 ratings
De la lección
Введение
Conoce a los instructores
Савватеев Алексей ВладимировичДоктор физико-математических наук
Кафедра дискретной математики МФТИ
[БЕЗ_ЗВУКА] И завершая нашу
вводную неделю, давайте рассмотрим еще один замечательный сюжет,
который связан с преобразованиями совершенно другого типа.
Начнем с такой школьной (ну не очень, конечно, школьной) задачки.
Я ее получил в школе №57 на выпускном экзамене по геометрии.
Геометрия у нас была тяжелая — совершенно не по школьной программе.
И кроме того, я в последнем классе, если честно,
немножко расслабился и некоторые разделы пропустил.
И я не смог ее решить.
Точнее, я ее решил, но доказать решение не смог.
А задача состоит в следующем: дана окружность,
ничего больше не дано, даже центр не указан.
Дана просто нарисованная на плоскости окружность.
И дана точка вне нее.
Некоторая точечка.
Кроме того, дана линейка, а циркуля не дано.
Задача: одной линейкой без делений,
без краев, односторонней линейкой, то есть прибором,
который может только проводить прямые через заданные две точки (ну или
произвольную прямую через какую-то одну точку),
вот таким прибором построить касательную из этой точки к этой окружности.
Всё — делай что хочешь, только линейка в руках,
ничего нет, нужно построить касательную.
Пропустив все, я все-таки уловил какой-то общий смысл.
Общий смысл состоит в следующем: если очень мало дано,
то надо попытаться сделать что-то, что единственно возможно в данной ситуации.
Что можно в этой ситуации?
Вот у меня есть линейка и есть какая-то точка.
Ну, наверное, можно через эту точку провести прямую.
Наверное, это нужно сделать, раз дается такая задача.
Ну давайте попробуем провести.
Более того, давайте ее проведем, чтобы она пересекла эту окружность.
Ну то есть просто возьмем произвольную точку на окружности (это вполне
разрешается правилами игры в теории построений) и проведем прямую вот такую.
Ну если вдруг случайно,
наугад выбранная точка уже оказалась точкой касания, значит нам очень повезло.
Но считается в теории построений, что так не бывает, и нужно...
Построить — это означает придумать такой алгоритм проведения прямых,
что на выходе всегда, независимо от вашей удачи,
будет получаться требуемое в задаче свойство.
То есть мне нужно научиться строить касательную не так,
что случайно взял и повезло, как иногда бывает.
Я много читаю разных популярных лекций, и мне много пишут люди.
И вот часть людей не понимают идеи, что такое задача на построение.
Они говорят: «Ну ладно, ну просто возьми вот эту прямую, постепенно двигай,
она коснется, и проведешь».
Это не разрешено правилами игры.
Правилами игры ничего поворачивать и двигать нельзя.
Можно только взять какие-то точки и провести через них прямую.
Всё! Ну вот я возьму какую-нибудь
точку и проведу прямую.
Скорее всего, она пересечет окружность в еще одной точке.
И с этим надо мне смириться.
Именно на основе вот этой второй точки и надо работать.
Ну давайте, хорошо, а что еще можно сделать?
Ну, наверное, еще одну прямую можно провести.
Ну что тут поделать?
Ну непонятно, что делать.
Ну давайте попробуем провести еще одну прямую.
Тогда я еще две точки на окружности получил.
В принципе тут уже можно было бы больше
ничего особенно случайного не строить,
но я этого не понял, поэтому провел еще одну прямую.
Я потом расскажу, как чуть проще это сделать.
Но я сделал так: я провел вот уже три прямых.
«О!
— думаю я.
— Тут уже можно сделать так: можно соединить
их вот так вот крест-накрест, вот эти две точки и вот эти две...
извините, пары точек там и там».
«Ага!
— думаю я, — я получил две какие-то очень подозрительные точки,
подозрительные-подозрительные.
А что если я через них проведу прямую?» Подзываю учителя и говорю:
«Я решил задачу.
Вот конструкция.
Вот здесь и здесь всегда будут точки касания.
Вот первая, вот вторая касательная».
Учитель улыбнулся и сказал: «Ты прав.
Можно было даже проще.
Можно было, не проводя третью прямую, соединить вот эти две,
и оказывается, что вот эти три прямые тоже пересеклись бы в одной точке».
То есть вот эти две прямые тоже лежали бы на той же самой прямой,
которая проходит через две точки касания.
Что это означает?
Это означает, что как ни проводи вот такие вот прямые и как ни делай вот такие вот
«крест-накрест», вы точки пересечения всегда будете иметь на одной и той же
прямой — на той самой прямой искомой, которая соединяет две точки касания,
проведенные к этой окружности из вот этой данной нам точки.
«Ну, докажи, — говорит мне учитель, — и отправляйся домой со сданным экзаменом».
Доказать я не сумел и получил тройку.
Правда, потом пришел другой наш учитель и сказал: «Нет-нет, это не может быть.
Савватеев неплохо учился,
ну зачем же ставить ему 3 как результат итоговой оценки.
Давайте хотя бы 4 поставим».
У меня так и осталась четверка по геометрии.
Вот эта задача стоила мне пятерки по геометрии.
В том смысле, что пятерку я не получил.
По алгебре получил, а по геометрии не получил.
Ну вот, а как же надо было решать эту задачу?
Вот сейчас я вам расскажу, как ее надо было решать,
но доказать в деталях в данный момент мы еще это не сможем.
А решать ее надо было так.
Существует некоторый очень широкий класс преобразований плоскости,
которые называются проецированиями или,
как в науке есть термин «проективные преобразования».
Ну проецирование — это некоторый конкретный частный случай проективных
преобразований в целом.
И производятся проецирования
так: мы берем вот эту плоскость нашу в качестве такой пленочки.
Эту пленочку мы отсоединяем как бы от доски.
Будем считать, что на доске была пленка, а под ней была доска.
Было как бы два экземпляра одной и той же плоскости.
Я ее отсоединяю, вешаю как-то под каким-то углом каким-то образом в пространстве,
беру некоторую новую точку третью, где -то в пространстве расположенную,
и пускаю лучи, которые пробивают в каждой точке плоскость и
отправляются дальше на поиск пересечения с той плоскостью, которая осталась на доске.
То есть у меня возникла точка,
некоторый экземпляр вот этой плоскости и старая плоскость.
И я вот так вот пускаю лучи.
И теперь, какой приказ я даю каждой точке?
Смотрите, приказ при этом преобразовании...
Преобразование — это приказ каждой точке.
Как он выглядит?
Он выглядит так: я беру точку, вместе с этой плоскостью сюда ее тащу,
запоминаю ее местонахождение, стреляю из вот этой одной и той же точки,
и точка куда-то должна вот сюда перейти.
Вот я говорю: «Вот эта точка,
пожалуйста, пойди туда, где ты окажешься после вот этого выстрела».
Это очень богатый класс преобразований, богатейший.
Намного богаче не только движений, но и движений с подобиями и даже
некоторого более широкого класса преобразований плоскости.
Более того, в прямом смысле слова это даже не преобразования,
потому что некоторые точки уходят на бесконечность.
Они не находят пересечения с этой плоскость.
Все эти тонкости обсуждаются в проективной геометрии.
Проективная геометрия будет одной из наших тем в течение, наверное,
пары-тройки недель, и там, то что я сейчас говорю, будет доведено до ума.
Но пока — просто в качестве анонса — смотрите, что у нас произойдет.
Произойдет следующее: некоторое проективное преобразование...
их так много, их такое количество, такое многопараметрическое семейство этих
проецирований, что одно из них переведет картину вот в такую,
что у нас окружность перешла в какую-то другую окружность,
а вот эта точка как бы ушла на бесконечность, она не нашла себе образ,
она где-то пропала на бесконечности, далеко-далеко-далеко отправилась.
И тогда вопрос, смотрите, в чем заключается?
В том, чтобы из точки, находящейся на бесконечности в некотором конкретном
направлении параллельных прямых, провести касательную к окружности.
Ну и разрешено проводить прямые вот этого направления,
а также все прямые, которые мы можем провести через полученные новые точки.
И теперь, смотрите, вот эта картина, вот что она превратиться,
если точка ушла на бесконечность?
Она превратиться в три прямые, которые параллельно друг
другу пересекают нашу окружность в каких-то местах.
Вот так.
Ну они параллельны друг другу.
И теперь уже элементарнейшими методами школьной геометрии можно доказать,
что моя конструкция приводит к тому, что надо.
Вот эта линия будет пересекать окружность ровно в двух точках,
которые находятся над...
эти две точки окружности Если через них провести параллельные прямые,
получатся прямые того же пучка параллельных прямых.
То есть как бы проходят через точку на бесконечности вот ту,
которая ушла на бесконечность.
То есть картина,
вот из этой кривой картины она испрямилась и стала вот такой вот прямой.
У нас все прямые ушли на бесконечность, стали прямыми параллельного пучка,
и очевидно, что тогда вертикальная прямая, проведённая через эти две точки,
действительно пересечёт окружность в тех точках,
касательные к которым являются прямыми того же пучка.
Теперь смотрите.
Ключевое замечание, которое, опять же, относится ко всему нашему курсу.
Любое проективное преобразование переводит прямую в прямую.
Любое.
Более того, я, кстати, не утверждаю,
что окружность в окружность, здесь некоторый особый разговор должен быть,
одно из преобразований переведёт окружность в окружность,
а вообще проективные преобразования могут с окружностью делать такие вещи,
что страшно становится.
Например, окружность могут сделать мало того, что эллипсом,
но даже параболой или гиперболой.
То есть при проецировании с окружностью могут происходить очень страшные штуки.
Но тем не менее некоторые преобразования сохраняют окружность,
и при этом все абсолютно преобразования сохраняют свойства касания.
Почему?
Потому что что такое свойство касания на простом школьном языке?
Не на языке математического анализа, что что-то там в районе точки имеет
второй порядок малости, там отклонение второго порядка малости.
Прочь это всё.
Вот школьным языком, что такое касание?
Это значит, одна точка пересечения только у окружности и прямой.
Но свойство иметь одну точку пересечения сохраняется при любом проективном
преобразовании.
Поэтому, если здесь очевидно, что в полученной конструкции одна точка
пересечения вот такой прямой и вот такой окружности, значит,
при проецировании исходно тоже была одна точка пересечения,
а так как этот пучок переходил в этот, то есть те, которые из одной и той же
точки стартуют прямые, то, соответственно, построенная прямая действительно является
касательной, потому что у неё одна точка пересечения с окружностью.
Так же, как была одна здесь.
Доказательство закончено.
Вот так его надо было проводить.
Но здесь как бы под ковёр заметены все детали проективной геометрии.
Нужно доказывать то, доказывать сё, доказывать, что это достаточно богатый
класс преобразований, что можно эту картину сделать вот такой.
И в этом вся суть.
Вся суть курса.
Вы берёте некоторое свойство какой-то там фигуры или их конфигурации.
Есть даже интересные задачи, связанные там вот с конфигурацией фигур.
Замощение — такая типичная геометрическая тема.
Что происходит с замощениями, если мы какие-то преобразования применяем.
При каких преобразованиях движения, например, сохраняется квадратная решётка?
Не сами квадратики, а вот квадратная решётка как таковая?
Это тоже интереснейший вопрос, относящийся, так сказать, к теме курса.
Так вот.
У вас есть какая-то фигура или конфигурация фигур.
Что-нибудь.
И вам интересны некоторые свойства этой фигуры.
И вам нужно доказать некоторое тонкое свойство.
Что делает геометр?
Он говорит: так, давайте выдумаем самую широкую группу преобразований,
сохраняющих данное свойство.
Внутри этой самой широкой группы найдём какое-нибудь одно, может быть, даже
написав систему уравнений на параметры этих преобразований, которое нашу
картину превратит в какую-то настолько простую, что там это свойство очевидно.
И скажем, что доказательство завершено.
Итак, вот трудная картина, вот простая, здесь видно,
что выполнено то, что нам нужно, здесь не видно.
Но существует преобразование, переводящее вот это вот сюда,
которое по доказанному нами только что, по доказанному или по длинному исследованию,
которое доказывают, свойство, интересующее нас сохраняет.
Вот метод действия геометра.
И именно это фактически сказал Феликс Клейн в 1872 году,
когда формулировал Эрлангенскую программу для геометрии.
Вот, собственно говоря, исполнением Эрлангенской программы
Клейна мы будем заниматься весь наш курс.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
