Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
24.2 Le photon
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Del curso dictado por École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique Lagrangienne
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De la lección
Dynamique relativiste (optionnel)
On prend le point de vue d'induire par des arguments relativistes la relation qui doit exister entre la quantité de mouvement et la vitesse d'un point matériel. L'introduction d'un quadri-vecteur quantité de mouvement aboutit à la plus célèbre des équations de la physique : E = mc^2. On évoquera aussi la notion de photon.
Conoce a los instructores
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique générale de l'EPFL.
Dans ce module, j'aimerais introduire la notion de photon.
Je vais commencer par montrer que dans le cadre de
la dynamique relativiste, on peut envisager des particules de masse nulle.
On va voir ensuite comment l'étude du rayonnement
électromagnétique a conduit à l'idée de photon.
Et on va illustrer la notion de photon
par l'analyse d'une collision entre un électron et un photon.
D'abord, des particules de masse nulle. Je rappelle
la formule qu'on a appelée la condition de masse qui liait l'énergie, la quantité
de mouvement p et la masse m d'une particule.
On voit que dans cette formule, on peut très bien supposer que m égale 0.
On arrive alors à la situation suivante : On a un
lien entre E et le module de la quantité de mouvement.
On a donc une particule de masse nulle qui a
une énergie non nulle et une quantité de mouvement non nulle.
Je rappelle maintenant cette formule-là, qu'on avait obtenue, qui lie la vitesse
et la quantité de mouvement, et comme ici, c p sur E vaut 1, on a
v sur c qui vaut 1, ça veut dire qu'on a des particules qui se déplacent à la
vitesse de la lumière, mais qui ont des masses nulles.
L'idée de photon
survient d'un travail, d'une étude faite à la fin du dix-neuvième
siècle sur l'état du rayonnement électromagnétique
à l'intérieur de quelque chose comme un four qui rougeoie.
Les gens étudiaient l'énergie en fonction
de la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique dans ce four.
Et Planck, en 1900, rend compte de toutes ces observations avec une
formule qui marche à toutes les longueurs d'onde et à toutes les fréquences.
Pour expliquer sa formule, Planck doit supposer que le rayonnement
et les parois échangent l'énergie sous la forme de quanta d'énergie.
Et un quantum d'énergie d'échange
de rayonnement électromagnétique à la fréquence nu vaut E égal
h nu, où h est connu de nos jours comme la constante de Planck.
On peut aussi écrire h barre oméga, avec donc oméga qui vaut
2 pi fois nu, et donc h barre qui vaut h sur
2 pi. Einstein interprète
ce résultat en disant qu'on peut considérer le rayonnement
électromagnétique comme un gaz de particules et que l'énergie des particules
est donnée par la formule de Planck. Avec le temps, ces
particules-là on été dénommées photons. On
a donc un rayonnement électromagnétique
caractérisé par des photons, les photons ont une
quantité de mouvement qui est donnée par l'énergie divisée
par c, et si on utilise la formule de Planck, on a h nu divisé par c.
Prenons un exemple : l'effet Compton.
Dans les vidéos d'expérience, je montre la collision entre
des rayons X et les électrons d'un morceau de plastique.
En fait, la collision a lieu avec les électrons du matériau.
Pour représenter cette collision, je
regarde un diagramme que je fais dans, au lieu de faire dans
l'espace des quadri-vecteurs, je fais le quadri-vecteur énergie quantité
de mouvement multiplié par c, j'ai donc des énergies,
les unités sont des énergies dans les deux axes, ici je représente c p, et sur
l'ordonnée je représente l'énergie. Initialement, j'ai un électron au repos.
Cet électron a un quadri-vecteur énergie quantité de mouvement comme
ceci, parce que sa quantité de mouvement est nulle, il est au repos.
La partie spatiale, qui donne l'énergie, vaut m c carré, c'est l'énergie de la
particule au repos. Le photon, lui, est caractérisé par
E égale c p. Donc on a ici une pente de 1.
Maintenant, on a la conservation
du quadri-vecteur énergie quantité de mouvement.
Ça veut dire
qu'après la collision le quadri-vecteur énergie quantité
de mouvement est le même qu'avant la collision.
J'ai dessiné le quadri-vecteur énergie quantité de mouvement
total ici, c'est la somme de ces deux vecteurs.
Et maintenant, on va analyser une collision telle que
le photon, à la fin de la collision, revient en arrière.
Ça veut dire que sa quantité de mouvement p f est négative, et donc
j'ai une pente de 1 sur ce diagramme, avec une
énergie E f, et un c p f négatif. Ici, j'ai le
quadri-vecteur énergie quantité de mouvement de l'électron.
Je l'ai dessiné pour arriver à ce point-là,
qui est équivalent à ce point-là, pour avoir la quantité de mouvement,
enfin le vecteur énergie quantité de mouvement qui reste le même comme ceci.
On va désigner par petit p la quantité
de mouvement du photon et grand P la quantité de mouvement de l'électron.
La conservation
du quadri-vecteur énergie quantité de mouvement totale s'exprime de
la manière suivante : voilà la partie quantité de mouvement à
la fin, et la valeur initiale, et ici j'ai écrit la
conservation de l'énergie. L'énergie du photon,
c'est c p, c p f dans l'état final, c p i dans l'état initial,
l'énergie de l'électron dans l'état initial, c'est m c carré, dans
l'état final j'ai utilisé ici, pour l'énergie, la condition de masse,
j'ai donc mon p carré et mon m carré qui apparaissent ici sous la racine.
Je vous invite maintenant à faire une pause
et essayer de conclure pour trouver l'énergie finale
du photon rétrodiffusé en fonction de son énergie initiale.
Personnellement, je conduis le calcul comme ceci : je conviens d'appeler
p f et p i les modules, la quantité de mouvement du photon finale et initiale.
La projection de cette loi vectorielle me donne ceci,
j'ai un moins p f parce que je suppose une rétrodiffusion.
La conservation de l'énergie est tout simplement comme ceci.
De cette première équation je tire grand P que je vais
mettre ici à l'intérieur. Ce c p f, je le passe de l'autre côté
du signe égal, et cette égalité je l'élève au carré.
Il me vient alors ce terme au carré, et ici, j'ai mon terme qui vient de la
condition de masse avec le grand P qui est substitué par p i plus p f.
Quand je développe les carrés, ici j'ai un double produit 2 p i p
f, ici j'ai aussi un 2 p i p f, quand je passe de l'autre
côté du signe égal, j'en ai un 4, et ici j'ai le m carré c 4
qui tombe avec celui-là, j'ai un double produit ici et un autre double produit là.
Et maintenant j'ai une formule avec p f ici et
là, et je peux résoudre pour p f comme ceci.
Et de p f, je calcule c p f pour
trouver l'énergie finale, et j'ai la formule que voici.
J'obtiens donc que le photon est rétrodiffusé avec une énergie
plus petite que l'énergie du photon incident.
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