Galileo dijo: "El Universo está escrito en lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las que es humanamente imposible entender una sola palabra". Para entender el Universo, es necesario plantear leyes que expliquen su comportamiento, como pueden ser las leyes de la gravedad, la propagación del calor, el electromagnetismo, la reproducción celular, el crecimiento poblacional, la propagación de las enfermedades, la variación de los precios de las acciones en la bolsa de valores, el comportamiento de las masas ante un conflicto, etcétera. Todas estas leyes se plantean utilizando ecuaciones, algunas muy sencillas, otras no tanto. Para poder aplicar estas ecuaciones para resolver problemas, es necesario manipularlas siguiendo ciertas reglas que nos da el álgebra. Piensa en el álgebra como la gramática, que nos dice cómo traducir nuestras ideas al lenguaje, cómo formar frases y oraciones a partir de palabras, cómo conjugar verbos, a identificar las partes de una oración, las reglas de acentuación, etcétera. En este curso aprenderás a construir expresiones algebraicas a partir de frases, lo que te permitirá resolver problemas en los que conoces algunos datos numéricos y necesitas encontrar otros. Podrás plantear y resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones simultáneas y ecuaciones de segundo grado. Este curso te va a ser muy útil si actualmente estas llevando un curso de álgebra en la escuela y tienes problemas con él. También si ya has estudiado álgebra y necesitas repasarla, ya que necesitas recordarla para tener éxito en otros cursos más avanzados, como Geometría Analítica, Cálculo o Estadística.
Cuadrado de una suma (parte 1)
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Del curso dictado por Universidad Nacional Autónoma de México
Álgebra Básica
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De la lección
Productos notables y factorización
Al final de este módulo:
• Realizarás productos y factorizaciones de expresiones algebraicas de manera eficiente utilizando las reglas conocidas como productos notables, con la finalidad de emplearlas para resolver ecuaciones de segundo grado.
Conoce a los instructores
Carlos HernándezInvestigador Titular
Instituto de Matemáticas
Elena de OteyzaProfesor Titular
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias
Emma LamProfesora titular
Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias
[MÚSICA] [MÚSICA] Bem-vindos
novamente ao curso de álgebra básica.
o meu nome é Emma Lam, sou professora da faculdade de ciências da UNAM
e estarei convosco para desenvolver as aulas correspondentes ao
tema dos casos notáveis da multiplicação e fatorização.
Vamos começar por resolver este problema.
Tenho um quadrado com lado a, se aumento uma unidade em cada lado,
obtenho um quadrado cuja área é a área do anterior, mais 25 centímetros quadrados.
Qual a medida do lado do quadrado original?
Vamos resolver.
A área do quadrado original é a ao quadrado
porque sabemos que a fórmula da área de um quadrado é lado vezes lado.
Se agora considerar a área do quadrado que obtenho por aumentar uma unidade
a cada lado, obtenho a + 1 elevado ao quadrado.
Mas segundo as condições do problema obtemos que
a + 1 ao quadrado é igual a a quadrado + 25.
Então, o que vamos fazer é calcular a + 1
elevado ao quadrado somando as áreas da figura que aparece na tela.
Observa que o quadrado maior tem lado a + 1
e este foi dividido em quatro partes,
duas delas são quadrados, um mede de lado
a e outro mede 1 em cada lado,
falo do quadrado pequeno que está acima à direita.
E logo tenho dois retângulos, e ambos têm lados 1 e a.
Se quero encontrar a + 1 ao quadrado, a + 1 elevado ao quadrado
é precisamente a soma das áreas destes quatro bocados.
Então, a + 1 ao quadrado será igual a a quadrado + 1 vezes a,
+ vezes a, + 1 vezes 1.
A primeira soma é a área do quadrado grande,
1 vezes a que aparece 2 vezes, é a área dos dois retângulos de lados 1 e a,
e 1 vezes 1 é a área do quadrado pequeno,
e isso é igual a a quadrado + 2a + 1.
Se substituirmos o resultado na equação que tínhamos
então vemos que a ao quadrado + 2a +1 será igual a a ao quadrado + 25.
E agora vejo que posso simplificar a ao quadrado que aparece
em ambos os lados da igualdade obtendo 2a + 1 igual a 25.
Se agora resolvermos esta equação, obtemos que a é igual a 12.
Vê que é uma equação linear do primeiro grau e a única coisa que temos de
fazer é resolver, então o lado do quadrado original
é 12, e é o que fazemos em geral.
Vamos considerar um binómio cujos termos são a e b.
e queremos calcular a + a elevado ao quadrado.
Vamos efetuar a multiplicação conforme aprendemos anteriormente,
ou seja, vamos multiplicar a + b por a + b.
E agora o que temos de fazer é recordar
como se faz a multiplicação de dois binómios, isto é igual a a + b
vezes a + b vezes a + b,
e desenvolvendo obtemos a ao quadrado
+ ba + ab + b ao quadrado.
E como a vezes b é o mesmo que b vezes a, temos que isto é igual a
a ao quadrado + 2 vezes a por b + b ao quadrado.
Então temos a fórmula geral para o quadrado de um binómio, a + b
elevado ao quadrado é igual a a ao quadrado + 2ab + b ao quadrado.
Se vemos este resultado, não parece estranho dizer
que o quadrado de um binómio é igual ao quadrado do primeiro termo
menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.
Este produto e muitos outros
aparecem várias vezes e são conhecidos como casos notáveis.
Vamos ver agora como aplicar esta fórmula em alguns exemplos.
Aqui está o primeiro: desenvolve y + 6 elevado ao quadrado.
Escrevemos y + 6 ao quadrado
e usamos a nossa fórmula que diz, o quadrado do primeiro +
o dobro do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo,
e isto é igual a y ao quadrado + 12y
+ 36.
Aqui temos outro exemplo, agora vamos desenvolver 5c à sexta d
ao cubo + 4a ao quadrado b tudo ao quadrado.
Escrevemos 5c à sexta d ao cubo
+ 4a ao quadrado b e queremos elevar este binómio ao quadrado.
Lembramos a nossa fórmula que diz o quadrado do primeiro,
ou seja, 5 c à sexta d cúbica elevado ao quadrado.+ o dobro do produto
do primeiro que é 5c à sexta d ao cubo pelo segundo que é
4a ao quadrado b + o quadrado do segundo.
isto é, 4a ao quadrado b tudo isto elevado ao quadrado.
E agora o que temos de fazer é simplificar e aqui precisamos de
recordar a regra dos expoentes para potências de potências
e a regra dos expoentes para potências de produtos, então o resultado
Será 25c elevado a 12 d à sexta + 2 vezes 4,
8 vezes 5, 40 a ao quadrado b
c à sexta d ao cubo + 16 à quarta b ao quadrado.
A fórmula que acabámos de ver também pode ser usada para calcular
os quadrados de alguns números de forma simples, vamos ver como.
Queremos calcular o quadrado de 31, vamos fazê-lo.
Observa que 31 pode ser escrito como 30 + 1.
Então escrevemos 31 ao quadrado como 30 + 1 elevado ao quadrado.
E utilizamos a nossa fórmula para o quadrado de um binómio,
e temos o quadrado do primeiro + o dobro do produto
do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo,
então temos 30 ao quadrado + 2 vezes 30 vezes 1 + 1 ao quadrado.
E agora observa que os números que escolhemos permitem
que encontremos facilmente os seus quadrados.
30 ao quadrado é 900,
depois 2 vezes 30 é 60 e a seguir tenho + 1.
Então o quadrado de 31 é 961.
Vamos supor agora
que queremos calcular o quadrado da diferença de a menos b.
Escrevemos o binómio como uma soma,
ou seja, como a + menos b e elevamos ao quadrado.
E aplicamos a fórmula do binómio, vamos experimentar,
a ao quadrado + 2 vezes a vezes
menos b + menos b elevado ao quadrado.
E simplificamos para obter finalmente a ao quadrado menos
2Ab + b ao quadrado.
Agora vemos que podemos dizer que o quadrado de uma
diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o dobro
do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo.
Este e outro dos casos notáveis mais comuns.
Vamos agora ver alguns exemplos.
o primeiro é desenvolver 49 ao quadrado.
Como no caso em que calculamos o quadrado de 31, agora,
para calcular o quadrado de 49, o que fazemos fazer
é escolher números tais que o seu quadrado seja fácil de calcular,
neste caso escrevemos 49 como como 50 menos 1, então 49 ao quadrado é igual
a 50 menos 1 elevado ao quadrado, vê que é um binómio.
E o que queremos obter é o quadrado de uma diferença.
Utilizando a fórmula que acabámos de utilizar, isto será 50 ao quadrado
menos 2 vezes 50 vezes 1 + 1.
E o quadrado de 50 é fácil de calcular, é
2500, depois temos menos 100 que é 2 vezes 50 e mais um.
E fazemos facilmente as operações e obtemos 2401.
Então o quadrado de 49 é 2401.
Vamos ver agora outro exemplo.
Neste queremos desenvolver 8 menos 7x ao quadrado.
Repara que não importa quais são as expressões que aparecem no binómio,
a única coisa que temos de fazer é aplicar a fórmula.
Escrevemos a expressão 8 menos 7x elevado ao quadrado.
E aplicamos a fórmula, que deve ser o quadrado do primeiro menos 2 vezes
o primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo.
E agora simplificamos, isto é 64 menos
112x + 49x
ao quadrado.
Aqui temos mais um exemplo.
Agora temos de desenvolver 6a menos 5b ao quadrado, vamos desenvolver.
Temos 6a menos 5b elevado ao quadrado,
lembra-te que a fórmula diz, o quadrado do primeiro
menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo + o quadrado do segundo.
Então temos 6a elevado ao quadrado menos 2 vezes
6a por 5b + 5b elevado ao quadrado.
Isto será 36a ao quadrado menos
60 ab + 25b
ao quadrado.
E aqui temos mais um exemplo.
Este diz: 4 s ao
cubo t à quarta menos 9 ab à sétima, tudo ao quadrado,
que é exatamente a mesma situação que a anterior, não é mais difícil,
só que agora os termos do binómio têm 2 variáveis.
Vamos desenvolver, isto é igual a 4s
ao cubo t à quarta ao quadrado menos 2 que multiplica
a 4s ao cubo t à quarta por 9ab
à sétima + 9
ab à sétima ao quadrado.
Isto é igual a 16s à sexta t
à oitava menos 72 ab
à sétima s ao cubo t à quarta + 81
a ao quadrado vezes b elevado a 14.
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