[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenidos nuevamente al curso de álgebra básica, mi nombre es Emma Lam, soy profesora de la facultad de ciencias de la UNAM y estaré con ustedes para desarrollar las lecciones correspondientes al tema de productos notables y factorización. Vamos a iniciar resolviendo este problema. Tengo un cuadrado de lado a, si aumento una unidad a cada lado, obtengo un cuadrado cuya área es el área del anterior más 25 centímetros cuadrados. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado original? Vamos a resolver. El área del cuadrado original es a al cuadrado, porque sabemos que la formula del área de un cuadrado es lado por lado. Si ahora considero el área del cuadrado que obtengo al aumentar una unidad a cada lado obtengo a + 1 elevado al cuadrado. Pero de las condiciones del problema obtenemos que a + 1 al cuadrado es igual a a cuadrada + 25. Entonces lo que vamos a hacer es calcular a + 1 elevado al cuadrado sumando las áreas de la figura que aparece en la pantalla. Observa el cuadrado más grande tiene lado a + 1 y este lo hemos dividido en cuatro regiones, dos de ellas son cuadrados, uno mide de lado a y el otro mide 1 en cada lado, hablo del cuadrado pequeño que está a la derecha arriba. Y luego tengo dos rectángulos, ambos tienen lados 1 y a. Si quiero encontrar a + 1 al cuadrado, a + 1 elevado al cuadrado es justamente la suma de las áreas de estos cuatro pedazos. Entonces a + 1 al cuadrado será igual a a cuadrada + 1 por a, + 1 por a, + 1 por 1. El primer sumando es el área del cuadrado grande, 1 por a que aparece 2 veces es el área de los dos rectángulos de lados 1 y a, y 1 por 1 es el área del cuadrado pequeño, eso es igual a a cuadrada + 2a + 1. Si sustituimos el resultado en la ecuación que teníamos entonces vemos que a cuadrada + 2a + 1 debe ser igual a cuadrada + 25. Y ahora observo que puedo simplificar a a cuadrada que aparece en ambos lados de la igualdad, obteniendo 2a + 1 igual a 25. Si ahora resolvemos esta ecuación obtenemos que a es igual a 12. Observa que es una ecuación lineal de primer grado y lo único que tenemos que hacer es despejar, entonces el lado del cuadrado original es 12, vamos a ver qué es lo que hicimos en general. Vamos a considerar un binomio cuyos términos son a y b y queremos calcular a + b elevado al cuadrado. Vamos a efectuar el producto de la manera en que hemos aprendido anteriormente, es decir vamos a efectuar a + b por a + b. Entonces lo que tenemos que hacer es recordar cómo se hace el producto de dos binomios, esto es igual a a + b por a + a + b por b, y desarrollando obtenemos a cuadrada + ba + ab + b al cuadrado. Y como a por b es lo mismo que b por a, tenemos que esto es igual a a cuadrada + 2 veces a por b + b al cuadrado. Entonces tenemos la formula general para el cuadrado de un binomio a + b elevado al cuadrado es igual a a cuadrada + 2ab + b cuadrada. Si vemos este resultado, no suena raro decir que el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Este producto y muchos otros aparecen comúnmente y se conocen como productos notables. Vamos a ver ahora cómo aplicar esta fórmula en algunos ejemplos. Aquí está el primero dice, desarrolla y + 6 elevado al cuadrado. Escribimos y + 6 al cuadrado y usamos nuestra fórmula que dice, el cuadrado del primero + el doble producto del primero por el segundo + el cuadrado del segundo, esto es igual a y cuadrada + 12y + 36. Aquí hay otro ejemplo, ahora vamos a desarrollar 5c sexta d al cubo + 4a cuadrada b todo al cuadrado. Escribimos 5c sexta d al cubo + 4a cuadrada b y queremos elevar este binomio al cuadrado. Y recordamos nuestra fórmula que dice el cuadrado del primero, es decir 5 c sexta d cúbica elevado al cuadrado + el doble producto del primero que es 5c sexta d al cubo por el segundo que es 4a cuadrada b + el cuadrado del segundo, es decir 4a cuadrada b todo esto elevado al cuadrado. Y ahora lo que tenemos que hacer es simplificar y aquí necesitamos recordar la ley de los exponentes para potencias de potencias y la ley de los exponentes para potencias de productos, entonces el resultado será 25c a la 12 d a la sexta + 2 por 4, 8 por 5, 40 a cuadrada b c sexta d cúbica + 16 a cuarta b al cuadrado. La fórmula que acabamos de ver también se puede usar para calcular cuadrados de algunos números de manera sencilla, vamos a ver cómo. Queremos calcular el cuadrado de 31, vamos a hacerlo. Observa que 31 se puede escribir como 30 + 1. Entonces escribimos 31 al cuadrado como 30 + 1 elevado al cuadrado. Y utilizamos nuestra fórmula de cuadrado de un binomio, y tenemos el cuadrado del primero + el doble producto del primero por el segundo + el cuadrado del segundo, entonces tenemos 30 al cuadrado + 2 por 30 por 1 + 1 al cuadrado. Y ahora simplemente observa que los números que elegimos son tales que puedo encontrar sus cuadrados fácilmente. 30 al cuadrado es 900, después 2 por 30 es 60 y luego tengo + 1. Entonces el cuadrado de 31 es 961. Vamos a suponer ahora que queremos calcular el cuadrado de la diferencia de a menos b. Escribimos el binomio como una suma, es decir como a + menos b y elevamos al cuadrado. Y aplicamos la fórmula del binomio, veamos cómo queda, a al cuadrado + 2 veces a por menos b + menos b elevado al cuadrado. Y simplificamos para obtener finalmente a cuadrada menos 2ab + b al cuadrado. Ahora vemos que entonces podemos decir que el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto del primero por el segundo + el cuadrado del segundo. Este es otro de los productos notables más comunes. Vamos a ver ahora algunos ejemplos. el primero dice desarrolla 49 al cuadrado. Como en el caso en el que calculamos el cuadrado de 31 ahora para calcular el cuadrado de 49 lo que vamos a hacer es elegir números tales que su cuadrado sea fácil de calcular, en este caso escribimos 49 como 50 menos 1 entonces 49 al cuadrado es igual a 50 menos 1 elevado al cuadrado, observa que es un binomio. Y lo que queremos obtener es el cuadrado de una diferencia. Utilizando la fórmula que acabamos de probar esto será 50 al cuadrado menos 2 veces 50 por 1 + 1. Y el cuadrado de 50 es fácil de calcular es 2500, después tenemos menos 100 que es 2 por 50 y + 1. Y hacemos las operaciones fácilmente y obtenemos 2401. Entonces el cuadrado de 49 es 2401. Vamos a ver otro ejemplo. En este queremos desarrollar 8 menos 7x al cuadrado. Observa que no importa cuáles son las expresiones que aparecen en el binomio, lo único que tenemos que hacer es aplicar la fórmula. Escribimos la expresión 8 menos 7x elevado al cuadrado. Y aplicamos la fórmula, debe ser el cuadrado del primero menos 2 veces el primero por el segundo + el cuadrado del segundo. Y ahora simplificamos, esto es 64 menos 112x + 49x cuadrada. Aquí tenemos un ejemplo más. Ahora hay que desarrollar 6a menos 5b al cuadrado, vamos a desarrollarlo. Tenemos 6a menos 5b elevado al cuadrado, recuerda la fórmula, dice el cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo + el cuadrado del segundo. Entonces tenemos 6a elevado al cuadrado menos 2 por 6a por 5b + 5b elevado al cuadrado. Esto será 36a cuadrada menos 60 ab + 25b al cuadrado. Aquí tenemos todavía un ejemplo más. Este dice 4 s al cubo t cuarta menos 9 ab a la 7 todo al cuadrado, es exactamente la misma situación que la anterior, no es más difícil, solo que ahora los términos del binomio tienen 2 variables. Vamos a desarrollarlo, esto es igual a 4s cúbica t a la cuarta al cuadrado menos 2 que multiplica a 4 s cúbica t cuarta por 9ab séptima + 9 ab séptima al cuadrado. Esto es igual a 16s sexta t octava menos 72 ab séptima s cúbica t cuarta + 81 a cuadrada por b a la 14. [MÚSICA] [MÚSICA]