Galileo dijo: "El Universo está escrito en lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las que es humanamente imposible entender una sola palabra". Para entender el Universo, es necesario plantear leyes que expliquen su comportamiento, como pueden ser las leyes de la gravedad, la propagación del calor, el electromagnetismo, la reproducción celular, el crecimiento poblacional, la propagación de las enfermedades, la variación de los precios de las acciones en la bolsa de valores, el comportamiento de las masas ante un conflicto, etcétera. Todas estas leyes se plantean utilizando ecuaciones, algunas muy sencillas, otras no tanto. Para poder aplicar estas ecuaciones para resolver problemas, es necesario manipularlas siguiendo ciertas reglas que nos da el álgebra. Piensa en el álgebra como la gramática, que nos dice cómo traducir nuestras ideas al lenguaje, cómo formar frases y oraciones a partir de palabras, cómo conjugar verbos, a identificar las partes de una oración, las reglas de acentuación, etcétera. En este curso aprenderás a construir expresiones algebraicas a partir de frases, lo que te permitirá resolver problemas en los que conoces algunos datos numéricos y necesitas encontrar otros. Podrás plantear y resolver ecuaciones de primer grado, ecuaciones simultáneas y ecuaciones de segundo grado. Este curso te va a ser muy útil si actualmente estas llevando un curso de álgebra en la escuela y tienes problemas con él. También si ya has estudiado álgebra y necesitas repasarla, ya que necesitas recordarla para tener éxito en otros cursos más avanzados, como Geometría Analítica, Cálculo o Estadística.
Cuadrado de una suma (parte 2)
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Del curso dictado por Universidad Nacional Autónoma de México
Álgebra Básica
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De la lección
Productos notables y factorización
Al final de este módulo:
• Realizarás productos y factorizaciones de expresiones algebraicas de manera eficiente utilizando las reglas conocidas como productos notables, con la finalidad de emplearlas para resolver ecuaciones de segundo grado.
Conoce a los instructores
Carlos HernándezInvestigador Titular
Instituto de Matemáticas
Elena de OteyzaProfesor Titular
Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias
Emma LamProfesora titular
Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias
[MÚSICA]
[MÚSICA] Agora que já sabemos calcular quadrados
de somas e quadrados de diferenças, vamos resolver alguns problemas.
O primeiro diz que os dados de um triângulo retângulo satisfazem as
seguintes condições: a hipotenusa é 16 unidades maior
que o cateto menor e o cateto maior é 2 unidades menor que a hipotenusa,
e que o quadrado da hipotenusa menos o quadrado do cateto maior
é igual à diferença do quadrado do cateto maior menos o
quadrado do cateto menor menos 376.
Quanto medem os lados do triângulo?
Vamos resolver.
A primeira coisa que temos de fazer é escrever em linguagem algébrica,
vamos dar nome ao cateto maior, ao cateto menor e à hipotenusa.
Vamos chamar n ao cateto menor.
[SEM ÁUDIO] Chamemos c ao cateto maior
e vamos chamar h à hipotenusa.
Agora vamos ver, com as condições do problema, o que podemos obter.
A primeira diz que a hipotenusa
é 16 unidades maior que o cateto menor,
ou seja, o cateto menor + 16 é o valor da hipotenusa.
Para o cateto maior diz que o cateto maior
é 2 unidades menor que a hipotenusa,
ou seja, c + 2 é igual a h.
Mas como sabemos que a hipotenusa é n + 16,
então, temos que c + 2 é igual a n + 16.
Isto é, c é igual a n + 14.
De tal forma que já temos os lados do triângulo retângulo
nos termos do cateto menor, n é o cateto menor,
a hipotenusa é n + 16 e o cateto maior é n + 14.
Agora vamos escrever a outra condição que aparece no problema,
que diz que a hipotenusa é n + 16 ao
quadrado menos o quadrado do cateto maior, isto é,
menos n + 14 elevado ao quadrado é igual
ao quadrado do cateto maior que é igual a n + 14, ou seja, n +
14 ao quadrado menos o quadrado do cateto menor
menos 376.
Vemos que esta é uma equação em que n
é a única variável e o que aparece na equação são binómios quadrados,
De tal forma que o que temos de fazer é desenvolver e resolver.
Vamos desenvolver primeiro.
Do lado esquerdo temos n ao quadrado + 2
vezes 16n + 16
ao quadrado menos, entre parêntesis
n + 14 ao quadrado que é n ao quadrado + 2
vezes 14 vezes n + 14 ao
quadrado e vamos vendo o que fica do lado direito.
No lado direito fica n ao quadrado + 2 vezes 14
n + 14 ao quadrado
menos n ao quadrado menos 376.
Agora vamos simplificar.
Primeiro observamos que
do lado esquerdo da igualdade aparece n ao quadrado
que vou cancelar com o n ao quadrado que está dentro do parêntesis porque
esse n ao quadrado é afetado por um sinal de menos,
ou seja, tenho n ao quadrado menos n ao quadrado do lado esquerdo
e o mesmo acontece no lado direito, portanto vamos cancelar.
E agora, vamos efetuar as multiplicações que aparecem aqui,
tenho 2 vezes 16 que é
32 e fico com 32 n + 256
que é o quadrado de 16 menos
e agora coloco entre parêntesis 2 vezes 14 que é
28n + 196.
Isto é igual a 2 vezes 14 que
é 28, vezes n + 196 que é o quadrado de 14, e menos 376.
Agora vamos simplificar, tenho do lado esquerdo
32n menos 28n que é 4n
e 256 menos 196 que é 60.
Isto é igual
a 28n
menos 180 que é o resultado de efetuar 196 menos 376.
E agora sim, já temos uma equação linear
do primeiro grau, e o que vamos fazer é resolver n, passando o que tenha
n para um só lado e para o outro, apenas números.
Então temos 28n menos
4n 24n do lado direito e no lado esquerdo teremos 60
+ 180 que é 240.
Onde n é igual a 10.
Então o cateto maior que é n
+ 14 será igual a 24 e a hipotenusa
que é n + 16 será 26.
Estas são as dimensões do triângulo
retângulo que se obtém com as condições do nosso problema.
Agora vamos ver outro problema.
Este problema diz que 3 números ímpares consecutivos satisfazem que a diferença
do quadrado do terceiro menos o quadrado do segundo é igual
à diferença do quadrado do terceiro menos o quadrado do primeiro menos 120.
Encontra os números.
Vamos ver novamente como resolver, temos 3
valores que desconhecemos, que são os 3 números ímpares de
que nos falam e a única coisa que sabemos é que são consecutivos.
Então, o que vamos fazer é escrever
os 3 números em termos de uma só variável.
Para isso, a primeira coisa que temos de notar é que os números
ímpares são especiais, pensa nos
inteiros ímpares positivos.
Tenho 1, 3, 5, 7, etc.
E agora o que vamos fazer é ver que forma têm.
Observa que 1 pode ser escrito como 2 vezes 0 + 1,
o 3 pode ser escrito como 2 vezes 1 + 1,
o 5 pode ser escrito como 2 vezes 2 + 1,
o 7 como 2 vezes 3 + 1 e assim sucessivamente.
Então, qualquer número inteiro ímpar pode escrever-se
como 2 vezes um número inteiro + 1.
O que fiz para os números inteiros positivos
também funciona para os negativos, seria bom se o comprovasses.
Agora sim, vamos continuar com o nosso problema.
Porque o que sabemos é que os números que precisamos de encontrar são
inteiros ímpares, mas também consecutivos, de forma que se chamo
ao primeiro 2n+ 1, o seguinte que é o seu consecutivo, será
2n + 3 e o seguinte será 2n + 5.
Desta forma já temos os nossos 3 números ímpares consecutivos.
Se reparares, estão todos em termos de n.
Agora vamos às condições do problema.
As condições dizem que, o quadrado do terceiro, que é 2n
+ 5 ao quadrado menos o quadrado do segundo,
é dizer que menos 2n + 3 elevado ao quadrado é igual ao quadrado do terceiro
menos o quadrado do primeiro que é 2n + 1
então menos 2n + 1 ao quadrado menos 120.
Já escrevemos o enunciado do problema em linguagem algébrica,
está tudo em termos de n e agora o que temos são
quadrados de somas que já sabemos desenvolver.
Poderíamos desenvolvê-lo todo, contudo, se observarmos o que temos
podemos fazê-lo de forma mais fácil porque no lado esquerdo da
igualdade e no lado direito, aparece a expressão 2n + 5 elevado ao quadrado,
então o mais fácil é calcular primeiro essa soma
e depois proceder à simplificação, e de seguida à solução.
Então temos menos 4n
ao quadrado + 2 vezes 2n vezes
3 + 9 igual a menos
4N ao quadrado + 2 vezes 2n vezes 1
+ 1 menos 120.
Agora temos de simplificar e resolver.
Mais uma vez, podemos observar que no lado esquerdo temos um menos
4n ao quadrado porque temos 4n ao quadrado afetado por um sinal de menos,
e o mesmo aparece do lado direito, de tal forma que podemos simplificar
esta soma e obtemos menos
12n menos 9 do lado esquerdo e do lado direito
menos 4n menos 1 menos 120.
E agora temos uma equação linear do primeiro grau,
e novamente, o que fazemos é passar os n para um só lado e os números para outro,
e então, tendo passado os n para o lado direito, teremos
12n menos 4n que é 8n e do lado esquerdo
vamos ter 120 + 1 menos 9,
de tal forma que teremos 112 igual a 8n
e fazendo a divisão temos que n é igual a 14.
Agora observamos que os números que tínhamos estavam em termos de n,
o primeiro é 2n + 1,
ou seja, 2 vezes 14 + 1 que é 29
O segundo era 2n + 3 que é 31,
e o último era 2n + 5 que é 33.
Então já temos os 3 números que queríamos encontrar.
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