[MÚSICA] [MÚSICA] Ahora que ya sabemos calcular cuadrados de sumas y cuadrado de diferencia, vamos a resolver algunos problemas. El primero dice los lados de un triángulo rectángulo satisfacen las siguientes condiciones la hipotenusa es 16 unidades mayor que el cateto menor y el cateto mayor es 2 unidades menor que la hipotenusa, además el cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del cateto mayor es igual a la diferencia del cuadrado del cateto mayor menos el cuadrado del cateto menor menos 376. ¿Cuántos miden los lados del triángulo? Vamos a resolver. Lo primero que tenemos que hacer es escribir en lenguaje algebraico, vamos a dar nombre al cateto mayor, al cateto menor y a la hipotenusa. Vamos a llamar n al cateto menor. [AUDIO EN BLANCO] Llamemos c al cateto mayor y vamos a llamar h a la hipotenusa. Ahora vamos a ver con las condiciones del problema qué es lo que podemos obtener. Lo primero que dice es que la hipotenusa es 16 unidades más grande que el cateto menor, es decir el cateto menor + 16 es el valor de la hipotenusa. Para el cateto mayor dice el cateto mayor es 2 unidades menor que la hipotenusa, es decir c + 2 es igual a h. Pero como sabemos que la hipotenusa es n + 16, entonces tenemos que c + 2 es igual a n + 16. Es decir c es igual a n + 14. De tal manera que ya tenemos los lados del triángulo rectángulo en términos del cateto menor, n es el cateto menor, la hipotenusa es n + 16 y el cateto mayor es n + 14. Ahora vamos a escribir la otra condición que aparece en el problema, dice que la hipotenusa que es n + 16 al cuadrado menos el cuadrado del cateto mayor es decir menos n + 14 elevado al cuadrado es igual al cuadrado del cateto mayor que es igual a n + 14 es decir n + 14 al cuadrado menos el cuadrado del cateto menor menos 376. Observamos que esta es una ecuación donde n es la única variable y lo que aparece en la ecuación son binomios cuadrados, de tal manera que lo que tenemos que hacer es desarrollar y resolver. Vamos primero a desarrollar. Del lado izquierdo tenemos n al cuadrado + 2 por 16n + 16 al cuadrado menos pongo entre paréntesis n + 14 al cuadrado que es n al cuadrado + 2 por 14 por n + 14 al cuadrado y vamos viendo lo que queda del lado derecho. En el lado derecho queda n al cuadrado + 2 por 14 n + 14 al cuadrado menos n al cuadrado menos 376. Vamos ahora a simplificar. Primero vamos a observar que del lado izquierdo de la igualdad aparece n al cuadrado que voy a cancelar con el n al cuadrado que está dentro del paréntesis porque ese n al cuadrado está afectado por un signo menos, es decir tengo n cuadrada menos n cuadrada del lado izquierdo y lo mismo pasa del lado derecho entonces vamos a cancelar. Y ahora pues vamos a efectuar los productos que aparecen ahí, tengo 2 por 16 que es 32 y me queda 32 n + 256 que es el cuadrado de 16 menos y ahora pongo entre paréntesis 2 por 14 que es 28n + 196. Y esto es igual a 2 por 14 que es 28 por n + 196 que es el cuadrado de 14 y menos 376. Ahora vamos a simplificar tengo del lado izquierdo 32n menos 28n eso es 4n y 256 menos 196 que es 60. Esto es igual a 28n menos 180 que es el resultado de efectuar 196 menos 376. Y ahora sí ya tenemos una ecuación lineal de primer grado, lo que vamos a hacer es despejar n pasando lo que tenga n de un solo lado y solamente números del otro. Entonces tenemos 28n menos 4n 24n del lado derecho y en el lado izquierdo tendremos 60 + 180 que es 240. De donde n es igual a 10. Entonces el cateto mayor que es n + 14 será igual a 24 y la hipotenusa que es n + 16 será 26. Estas son las dimensiones del triángulo rectángulo que se obtiene con las condiciones de nuestro problema. Vamos a ver ahora otro problema. Este problema dice 3 números impares consecutivos satisfacen que la diferencia del cuadrado del tercero menos el cuadrado del segundo es igual a la diferencia del cuadrado del tercero menos el cuadrado del primero menos 120. Encuentra los números. Vamos a ver cómo resolver, nuevamente hay 3 valores que desconocemos que son los 3 números impares de los que nos están hablando y lo único que sabemos es que son consecutivos. Lo que vamos a hacer es tratar de escribir los 3 números en términos de una sola variable. Para ello lo primero que tenemos que observar es que los números impares tienen una forma especial, piensa en los enteros impares positivos. Tengo 1, 3 5, 7, etcétera. Y ahora lo que vamos a hacer es ver qué forma tienen. Observa, el 1 se puede escribir como 2 por 0 + 1, el 3 se puede escribir como 2 por 1 + 1, el 5 se puede escribir como 2 por 2 + 1, el 7 como 2 por 3 + 1 y así sucesivamente. Entonces cualquier número entero impar se puede escribir como 2 por un número entero + 1. Esto que hice para los números enteros positivos también funciona para los negativos, sería bueno que lo comprobaras. Y ahora sí vamos a continuar con nuestro problema. Porque lo que sabemos es que los números que necesitamos encontrar son enteros impares pero además consecutivos de manera que si llamo al primer número 2n+ 1 el siguiente que es su consecutivo será 2n + 3 y el que sigue será 2n + 5. De esta manera tenemos ya a nuestros 3 números impares consecutivos. Si te fijas todos están en términos de n. Ahora vamos con las condiciones del problema. Las condiciones dicen, el cuadrado del tercero que es 2n + 5 al cuadrado menos el cuadrado del segundo, es decir menos 2n + 3 elevado al cuadrado es igual al cuadrado del tercero menos el cuadrado del primero que es 2n + 1 entonces menos 2n + 1 al cuadrado menos 120. Entonces ya tenemos escrito en lenguaje algebraico el enunciado del problema, todo está en términos de n y ahora lo que tenemos es cuadrados de sumas que ya sabemos desarrollar. Podríamos desarrollarlo todo, sin embargo si observamos lo que tenemos podemos hacerlo de manera más sencilla porque en el lado izquierdo de la igualdad y en el lado derecho aparece la expresión 2n + 5 elevado al cuadrado, entonces lo más sencillo es primero cancelar ese sumando y después proceder a la simplificación y luego a la solución. Entonces tenemos menos 4n al cuadrado + 2 por 2n por 3 + 9 igual a menos 4n al cuadrado + 2 por 2n por 1 + 1 menos 120. Ahora tenemos que simplificar y resolver. Otra vez podemos observar que en el lado izquierdo hay un menos 4n al cuadrado porque tenemos 4n al cuadrado afectado por un signo menos, y eso mismo aparece del lado derecho, de tal manera que podemos simplificar este sumando y obtenemos menos 12n menos 9 del lado izquierdo y del lado derecho menos 4n menos 1 menos 120. Y ahora tenemos una ecuación lineal de primer grado, nuevamente lo que hacemos es pasar las n de un solo lado y los números del otro, entonces tenemos pasando las n para el lado derecho vamos a tener 12n menos 4n que es 8n y del lado izquierdo vamos a tener 120 + 1 menos 9, de tal manera que tenemos 112 igual a 8n y haciendo la división tenemos n igual a 14. Ahora observamos que los números que teníamos estaban dados en términos de n, el primero es 2n + 1, es decir 2 por 14 + 1 que es 29. El segundo era 2n + 3 que es 31, y el último era 2n + 5 que es 33. Entonces ya tenemos los 3 números que buscábamos. [MÚSICA] [MÚSICA]