[MÚSICA] [MÚSICA] Bienvenido nuevamente al curso de álgebra básica, continuamos con el tema de productos notables y factorización. Esta lección tratara sobre diferencia de cuadrados y otros productos notables. Vamos a iniciar con un problema, este dice un número entero positivo satisface que el producto del número aumentado en cinco unidades por la diferencia del número menos 5 es igual a 231. Encuentra el número vamos a ver cómo resolver, lo primero que vamos a hacer es darle un nombre al número que desconocemos, vamos a llamarle x, y entonces lo que hacemos es utilizar las condiciones que aparecen en el enunciado tenemos entonces que el número aunmentado en cinco unidades, x más 5 y la diferencia del número menos 5 es x menos 5. Entonces lo que tenemos de acuerdo a las condiciones del problema es (x + 5) (x- 5) = 231, observa que lo que tenemos ahora es simplemente una ecuación en la que aparece una variable. Entonces para resolver, lo que vamos a hacer es efectuar el producto que aparece del lado izquierdo de la igualdad, entonces tenemos (x + 5) (x- 5) pero nosotros sabemos que ese es el producto de dos binomios y lo sabemos efectuar. Entonces tenemos que esto es igual a (x + 5) x+ (x + 5) (-5) y ahora vamos a simplificar, hacemos el producto y tenemos x cuadrada + 5x- 5x- 25. Y ahora tenemos que podemos cancelar 5x con -5x y obtenemos simplemente x cuadrada- 5 al cuadrado, así la ecuación x + 5 (x- 5) = 231 queda como x cuadrada- 5 = 231, entonces x cuadrada = 231 + 5 al cuadrado y si escribimos 5 al cuadrado como 25 tenemos 231 más 25, de manera que el número que buscamos cumple que su cuadrado es 256. De tal manera que lo que tenemos que hacer es encontrar la raíz cuadrada de 256. Y como sabemos que el número es positivo nos quedamos con la raíz positiva, es decir x es igual a 16. Vamos ahora a ver qué es lo que hicimos para tener un procedimiento general. Como habíamos comentado hay algunos productos que aparecen en muchas ocasiones, entonces podemos tener para ellos formulas generales. A estos es a los que llamamos productos notables, vamos a suponer en general que queremos calcular el producto (a+b) (a-b), se trata solamente del producto de dos binomios y nosotros sabemos calcularlo. Vamos a multiplicar de la manera que conocemos, hagámoslo, entonces tenemos (a+b) (a-b) y hacemos el producto como sabemos tenemos (a + b) a + (a + b) (-b) y ahora desarrollamos el producto, esto es a cuadrada + ba- ab - b al cuadrado y ahora observamos que podemos cancelar ba con ab, pues son iguales y obtenemos simplemente a cuadrada- b al cuadrado, es decir (a + b) (a- b) = a cuadrada- b al cuadrado. El resultado que acabamos de obtener, se conoce como diferencia de cuadrados y es que efectivamente lo que hicimos fue multiplicar a + b x a- b y obtuvimos a cuadrada- b al cuadrado. Vamos a ver algunos ejemplos, el primero dice Desarrolla (9x +3) (9x -3), algo que es muy importante es recordar la formula que acabamos de encontrar, dice (a+b) (a-b) = a cuadrada- b cuadrada y lo más importante de lo que hicimos es que este resultado es valido para cuales quiera a y b, números reales o expresiones algebraicas. Entonces vamos a utilizarla para desarrollar el producto que tenemos. Vamos a escribir (9x + 3) x (9x- 3) De acuerdo a la formula tenemos que vamos a obtener una diferencia de cuadrados que es el cuadrado del primero que era a en este caso 9x elevado al cuadrado menos el cuadrado del otro que era b que en este caso es 3, entonces tengo -(3) al cuadrado y esto es igual a 81x cuadrada- 9 Aquí tenemos un ejemplo más, este dice (4a cuadrada b + 2cd cuadrada) que multiplica a (4a cuadrada b- 2cd al cuadrado) Aquí tengo ya escrita la expresión y lo único que tenemos que hacer es aplicar la formula. Voy a escribir nuevamente la formula aquí abajo para verla, nuestra formula decía (a + b) (a- b) = a cuadrada- b al cuadrado. Entonces sabemos muy bien lo que tenemos que hacer, observa que lo único que hicimos fue en vez de escribir a y b solamente, escribimos expresiones algebraicas, ahora entonces simplemente aplicamos y obtenemos (4a cuadrada b) al cuadrado- (2cd al cuadrado) también elevado al cuadrado. Ahora efectuamos la potencia de los productos que aquí aparecen y obtenemos 16 a cuarta b cuadrada- 4c cuadrada d cuarta. Recuerda que cada que hacemos una simplificación de este estilo tenemos que recordar la ley de los exponentes. Vamos a ver ahora este ejemplo, un rectángulo tiene lados a + 5 y a +7 encuentra su área, vamos a resolver el área del rectángulo yo se que es el producto de los lados, si los lados miden a + 5 y a + 7, entonces el area será (a + 5) (a + 7) observa que lo que tenemos es un producto de binomios vamos a efectuar el producto, tenemos (a+5) (a + 7) hacemos el producto pues como el producto de dos binomios, es decir esto es (a + 5) a + (a + 5) 7. Si efectuamos estos productos tenemos a cuadrada + 5a +7a + 35 = a cuadrada + 12a + 35, pero observa lo que tenemos aquí, este 12a es en realidad, voy a escribir el resto igual y solo me voy a concentrar en 12a, 12a es la suma de (5 + 7) entonces tengo a cuadrada + (5 + 7) a + 35 Aquí podemos observar que el coeficiente de a en el resultado es la suma de los sumandos que aparecían en los binomios. y que son el segundo sumando en cada uno de los factores. Vamos a ver cómo se ve en general. Quiero efectuar el producto a + b por a + c entonces yo se que lo único que tengo que hacer es pensar en que yo se multiplicar de hecho polinomios y voy a hacer el producto de estos dos binomios. Vamos a escribirlo. Tengo entonces a + b por a + c. Esto es igual a a + b que multiplica a a + a + b que multiplica a c. Y si hago los productos tengo a cuadrada + ba + ac + bc. De tal manera que lo que obtengo es a cuadrada + a que multiplica a b + c + bc. Observa que lo que tengo es algo como lo que observamos en nuestro ejemplo. El coeficiente de a que es el primero de los sumandos que aparecen en los factores está multiplicando a la suma de los otros 2, es decir lo que observamos en el ejemplo no era casual, era parte de esta que es la fórmula general. Entonces tenemos este que es otro de nuestros productos notables, a + b por a + c es igual a a cuadrada + a que multiplica a b + c + bc. Todas estas fórmulas que vamos probando van a sernos útiles pues cuando aparezca en un caso especial o en un caso particular una expresión de este estilo, no tendremos siquiera que hacer todo el producto si las recordamos. Vamos a ver algunos ejemplos. Aquí tengo el primero, dice desarrolla 5a + 2d por 5a + 13d, observa que es exactamente la situación en la fórmula que acabamos de probar, solamente que ahora no ponemos simplemente a, b y c aparecen expresiones algebraicas diferentes pero eso no lo hace más difícil. Vamos simplemente a aplicar la fórmula. Tenemos 5a + 2d que multiplica a 5a + 13d. De acuerdo con la fórmula tenemos 5a elevado al cuadrado + 5a que multiplica a 2d + 13d + 2d que multiplica a 13d. Entonces tenemos 25 a cuadrada + 5a que multiplica a 15d + 26d al cuadrado, es decir 25 a cuadrada + 75a por d + 26d al cuadrado. Vamos a ver otro ejemplo. Este dice desarrolla 6y cuadrada + 2z cuarta que multiplica a 6y cuadrada + 5d quinta. Aquí tengo ya escrito el producto, vamos a hacerlo utilizando la fórmula. Esto es 6y al cuadrado elevado al cuadrado + 6y cuadrada que multiplica a 2 z cuarta + 5d quinta + 2 z cuarta que multiplica a 5d quinta. Esto es igual a 36 y cuarta + 12 y cuadrada z cuarta + 30d quinta y cuadrada + 10 d quinta z cuarta. Aquí hay otro ejemplo. Tenemos el producto de 3r cúbica x + 6t cúbica y cúbica que multiplica a 3r cúbica x menos 7r al cuadrado. En realidad es de la misma forma que los anteriores, lo único que cambia es que ahora hay más variables pero observa que la forma es la misma. Aquí tengo ya escrito el producto, vamos a aplicar nuestra fórmula, entonces tenemos 3r cúbica x al cuadrado + 3r cúbica x que multiplica a 6t cúbica y cúbica menos 7r y cuadrada. Observa que no importa que una de las expresiones tenga un signo negativo, la tratamos como en el caso general. Ahora + 6 t cúbica y cúbica que multiplica a menos 7 r y al cuadrado, y ahora solo falta simplificar. Esto es 9 r sexta x cuadrada + 18 r cúbica t cúbica xy cúbica menos 21 r cuarta xy al cuadrado menos 42 r t quinta y quinta. [MÚSICA]