[MÚSICA] [MÚSICA] Continuamos con el curso de álgebra básica. Estudiaremos ahora el tema de polinomios. Mi nombre es Emma Lam y soy profesora de la facultad de ciencias de la UNAM. Dentro del tema de polinomios esta vez estudiaremos los productos de potencias. Supongamos que queremos simplificar la expresión x a la 6 por x a la 8. Sabemos que x a la 6 es el producto de x por x por x, etcétera, 6 veces x. Entonces si queremos multiplicar x a la 6 por x a la 8, ponemos x a la 6 que será x por x por x, etcétera, 6 veces. Y a continuación escribimos x a la 8 de la misma manera. Entonces tenemos x por x por x, etcétera, 6 + 8 veces. Entonces x a la 6 por x a la 8 es x a la 6 + 8 que es igual a x a la 14. Observemos que si queremos obtener el resultado lo único que hacemos es considerar la variable y poner como potencia la suma de las potencias de los factores. Esto que acabamos de hacer es a lo que llamamos el producto de potencias de dos monomios. Antes no habíamos hablado de monomios. Veamos lo que es un monomio. Un monomio es una expresión algebraica en la que puede haber una o más variables. Y algunas de ellas pueden aparecer elevadas a alguna potencia y además hay un número real al que llamamos el coeficiente. En un monomio no puede haber operaciones de suma y resta solamente factores. Veamos un ejemplo. La expresión 4 séptimos de a al cuadrado por b a la sexta por d a la 9 es un monomio. Aquí 4 séptimos es el coeficiente, las variables son a, b y d, y observa que están elevadas, a al cuadrado, b a la sexta y d a la 9. Las variables en un monomio son números reales, entonces los monomios se pueden multiplicar entre sí, lo único que tenemos que hacer es seguir la ley de los exponentes para el producto de potencias que en realidad vimos en el ejemplo introductorio. Si a es un número real y m y n son dos números enteros positivos, cualesquiera, entonces a a la m por a a la n es igual a a a la m + n. Aquí tenemos un ejemplo, queremos simplificar z a la 5 por z a la 11. Vamos a escribirlo. Escribimos z a la quinta por z a la 11, eso de acuerdo a la regla que acabamos de ver será z a la 5 + 11 que es igual a z a la 16. Cuando en la expresión que queremos simplificar hay más de una variable simplificamos considerando cada una de las variables por separado y multiplicamos los resultados. Por ejemplo, queremos simplificar r al cubo por s a la quinta por t a la 8 que multiplica a r a la 7, t a la 4, u al cubo. Escribimos las variables de manera que estén ya agrupadas. Esto será igual a r al cubo por r a la 7 por s a la quinta, t a la 8, t a la cuarta, u al cubo. Usando la regla tenemos que eso es igual a r a la 10 por s a la quinta por t a la 12 y u al cubo. Aquí tenemos algunos ejemplos más. Queremos simplificar 3 cuartos, d al cubo, v a la sexta, y al cuadrado, que multiplica a menos 6 séptimos, d al cubo, v a la 7. Vamos a hacer la simplificación. Escribimos el producto que queremos simplificar. 3 cuartos, d al cubo, v a la sexta. y al cuadrado todo esto que multiplica a menos 6 séptimos, d al cubo, v a la 7. Vamos a empezar agrupando, primero los coeficientes. Tenemos 3 cuartos por menos 6 séptimos. Y después colocamos las variables d al cubo, recuerda hay que agrupar, d al cubo, v a la sexta, v a la 7 y y al cuadrado. Y ahora empezamos realmente la simplificación. Vamos a empezar primero con los coeficientes, con el producto de los coeficientes. Observamos que el denominador del primer coeficiente que es cuatro tiene un factor 2 y el numerador del otro también tiene un factor 2, entonces vamos a simplificar eso. Y obtenemos 3 medios que multiplica a menos 3 séptimos. Y ahora tengo d a la 3 + 3 utilizando la ley de los exponentes, v a la 6 + 7 y y al cuadrado que no hay más quedó solita y esto será menos 9 catorceavos, d a la 6, y b a la 13, y al cuadrado, y este es el resultado final. Ahora vamos a ver un ejemplo más. Ahora queremos simplificar este producto, es un producto de tres monomios. Menos 3, d cuarta, u quinta, z cuadrada por 6 acd séptima por menos 27 c cuadrada de v al cubo. Vamos a escribir la expresión en nuestra página. Tengo menos 3, d cuarta, u quinta, z cuadrada por 6 acd séptima por menos 27 c al cuadrado, d, v al cubo. Primero los coeficientes menos 3 por 6 por menos 27 y ahora vamos a poner las variables. Siempre es cómodo hacerlo escribiendolas en orden alfabético. Entonces tengo a, a aparece en el segundo factor solamente. Después tengo c que aparece en el segundo elevado a la potencia 1 y al cuadrado en el tercer factor. Ya no tengo más c. Voy con d. Tengo d a la cuarta, d a la 7 y d. Después u a la quinta, v al cubo y z al cuadrado. Vamos a simplificar. Observamos primero que el signo que debe tener el monomio resultante va a ser positivo porque tengo dos signos negativos. Entonces tendré ese producto que va a ser positivo y que puedo hacer si observo que 3 por 27 es 81 y entonces multiplico por 6 obteniendo 486. Y ahora sí escribo las variables a c a la 1 + 2 utilizando la ley de los exponentes, d a la 4 + 7 + 1, u a la quinta, v al cubo, z al cuadrado. Esto es igual a 486 a por c al cubo por d a la 12 por u a la quinta, v al cubo, z al cuadrado. Este es el resultado final. Vamos ahora a ver los productos de potencias para polinomios. Un polinomio es una suma de 2 o más monomios, a los que también llamamos sus términos. De acuerdo con el número de términos, damos nombres especiales a algunos polinomios. Así por ejemplo, si el polinomio tiene 2 términos, se llama binomio, mientras que uno que tenga 3 términos se llama trinomio. Vamos a ver unos ejemplos. La expresión 14 x cuadrada y menos 25 medios de a x cúbica b más cd es un trinomio. Observa que los monomios están separados por los signos de suma o resta. En este caso, hay tres monomios, y lo que tenemos entonces, es un trinomio. Aquí hay un ejemplo más. Ahora tenemos la expresión 5 a b a la 8 c menos 43 c x quinta y al cubo. Ahora tenemos un polinomio que tiene 2 términos. Es decir, este es un binomio. Y por supuesto, cuando tenemos polinomios también podemos pensar en productos de potencias. La regla será la misma. Aquí tenemos algunos ejemplos. Queremos simplificar 8 p quinta r cuadrada y menos 5 sextos, todo elevado a la 9 que multiplica a 8 p quinta r al cuadrado y menos 5 sextos, eso elevado a la 4. Observa la expresión. Lo que tenemos es un binomio elevado a la 9 multiplicado por el mismo binomio elevado a la 4. Entonces, vamos a utilizar la misma regla que teníamos antes. Vamos a ver la simplificación. Escribimos el producto, 8 p quinta r cuadrada y menos 5 sextos, todo eso elevado a la 9 y está multiplicado por la misma expresión 8 p quinta r al cuadrado y menos 5 sextos a la cuarta. Ahora, pensamos en este polinomio que aparece entre paréntesis como si fuera un monomio y procedemos utilizando la ley de los exponentes. Esto es entonces igual a 8 p quinta r al cuadrado y menos 5 sextos, elevado a la 9 + 4. Es decir, 8 p quinta r cuadrada y menos 5 sextos elevado a la 13, y ese es el resultado. Vamos a ver todavía otro ejemplo. En este ejemplo, queremos simplificar la expresión menos 17 s a la 7 v al cuadrado w al cubo menos 83 a quinta r cúbica u octava, todo eso elevado a la 18 y multiplicado por la misma expresión que teníamos pero elevada a la 35. Hacemos exactamente lo mismo que en el ejemplo anterior. Escribimos la expresión que queremos simplificar, menos 17 s a la 7 v al cuadrado w cúbica menos 83 a quinta r al cubo u a la 8, elevado a la 18. Y esto está multiplicado por la misma expresión, menos 17 s a la7 v al cuadrado w al cubo menos 83 a a la quinta r al cubo u a la 8, elevado a la 35. De tal manera, que esto es igual a menos 17 s a la 7 v al cuadrado w al cubo menos 83 a a la quinta r al cubo u a la 8, elevada a la 18 + 35. Lo único que tenemos que hacer es esa suma para finalmente escribir menos 17 s a la 7 v al cuadrado w al cubo menos 83 a quinta r al cubo u a la 8, elevado a la 53, que es la suma de 18 + 35. [MÚSICA]