[ЗАСТАВКА] На прошлых
лекциях мы много сталкивались с матрицами.
Впервые матрицы нам встретились, когда мы решали систему линейных уравнений.
Коэффициенты системы линейных уравнений мы записали в табличку и назвали ее матрицей.
На предыдущей лекции мы обсуждали замену координат,
замену базисов в линейном пространстве, и снова нам встретились матрицы,
мы записывали координаты базисных векторов в матрицу.
Эти матрицы нам приходилось умножать — мы умножали две квадратные матрицы,
мы умножали матрицу на вектор.
Сегодняшнюю лекцию мы почти всю посвятим действиям над матрицами —
мы будем их умножать, посмотрим, что происходит с матрицами, когда мы делаем
привычные операции (прибавление к строке другой строки, умноженной на число,
и так далее), что происходит, можно ли это выразить на языке умножения над матрицами.
Мы обсудим некоторые полезные функции от матриц, особенно, конечно, определитель.
Итак, первая вещь, которую можно сделать с матрицей — ее можно транспонировать.
Когда мы записывали коэффициенты системы линейных уравнений,
мы записали строку коэффициентов, записали как столбец.
Ну, в принципе, могли бы записать и как строчку, это тоже имело бы смысл.
Операция транспонирования встречается,
когда мы говорим о том, что происходит в линейном пространстве.
И транспонирование, это вот что такое: мы просто берем первую строчку и записываем
ее в качестве первого столбца, вторую строчку записываем в качестве второго
столбца — из матрицы A мы получили транспонированную матрицу.
Вы видите пример, как мы транспонировали квадратную матрицу 2 × 2.
Конечно, транспонировать можно не только квадратные матрицы.
Если наша матрица содержала m строк и n столбцов,
то транспонированная матрица будет содержать, наоборот, n строк и m столбцов.
Столбцы и строки поменялись местами, когда мы транспонировали матрицу.
Кроме того, мы матрицы умножаем.
Нам уже встречалась операция умножения матриц, и она...
мы ее не просто так придумали.
Операция умножения по закону «строка на столбец», она появляется оттого,
что мы знаем, что происходит с векторами при замене базиса.
Итак, для того чтобы умножить одну матрицу на другую, нужно,
как мы говорим, строку умножить на столбец.
Для того чтобы найти элемент, который стоит на i-той строчке
и в j-том столбце новой матрицы, матрицы произведения,
надо взять i-тую строчку первой матрицы, j-тый столбец второй матрицы и
перемножить эти два вектора, перемножить — в смысле обычного скалярного произведения.
Первый элемент строчки умножим на первый элемент столбца, к этому прибавим
произведение второго элемента строчки на второй элемент столбца и так далее.
То есть в каждую ячейку матрицы мы, на самом деле,
впишем довольно длинное выражение.
Мы перемножили строку на столбец — там будет много слагаемых,
а именно столько слагаемых,
сколько элементов в строчке первой матрицы и в столбце второй матрицы.
Для того чтобы умножать матрицы, необязательно чтобы они были квадратные.
Например, нам уже встречалось умножение матрицы на столбец — это значит,
что мы умножаем квадратную матрицу на совершенно не квадратную матрицу,
на матрицу, в которой несколько строчек и всего один столбец.
Для того чтобы матрицу можно было перемножить,
нужно чтобы количество элементов в строчке первой матрицы совпадало с
количеством элементов в столбце второй матрицы.
Другими словами говоря, количество столбцов первой
матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.
Какая получится матрица?
Сколько в ней будет строчек и сколько в ней будет столбцов?
Строчек в ней будет ровно столько, сколько было строчек в первой матрице.
А столбцов в ней будет ровно столько, сколько было столбцов во второй матрице.
Не любые матрицы можно перемножить.
Мы говорили, что, для того чтобы перемножить матрицу,
нужно чтобы количество элементов в строке первой матрицы было равно количеству
элементов в столбце второй матрицы.
Легко придумать пример, где это не так — вот эти две матрицы умножить нельзя.
Мы не можем умножить эту строчку на этот столбец,
одно число на два числа никак не получается.
Мы говорим про умножение.
А насколько умножение матриц похоже на привычное нам умножение чисел?
С одной стороны — похоже, с другой стороны — не очень.
На самом деле, число можно рассматривать как матрицу 1 × 1.
И если мы умножаем матрицу 1 × 1 на другую матрицу 1 × 1,
получается просто произведение чисел.
В этом смысле умножение чисел является частным случаем умножения матрицы.
Давайте посмотрим на менее тривиальные случаи.
Когда мы умножаем два числа, мы знаем, что умножение коммутативно: a * b = b * a.
Совершенно не то же самое происходит с матрицами.
Если мы перемножим две матрицы,
то в каком порядке мы умножаем эти матрицы, от этого зависит ответ.
Умножим в одном порядке — получится один ответ,
умножим в другом порядке — получится другой ответ.
Умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно.
Среди чисел есть особое число,
замечательное число в отношении умножения — это единица.
Когда мы умножаем любое число на единицу, получается снова то же самое число.
А как с матрицами?
Есть ли среди матриц аналог единицы?
Да, есть.
Посмотрите, вот на такую матрицу.
Любую матрицу 3 × 3 можно умножить, и получится та же самая матрица.
Такая матрица называется единичной.
Конечно, единичная матрица существует не только среди квадратных матриц 3 × 3.
Единичная матрица, вообще говоря, — квадратная матрица обязательно,
у нее на диагонали стоят единички, а все остальные элементы этой матрицы — нули.
Когда мы умножаем единичную матрицу на любую другую матрицу,
справа или слева, мы получим ту же самую матрицу.
Когда мы умножим i-тую строчку на j-тый столбец, что получится?
Смотрите, в i-той строчке стоит единичка только на
i-том месте в единичной матрице, поэтому получится ровно элемент,
который стоял на i-том месте, на i-том месте j-того столбца.
Это значит, что получится та же самая матрица.
Вы можете поэкспериментировать и умножать единичные
матрицы разных размеров на другие матрицы,
и всегда будет получаться та же самая матрица, которая была, и это не случайно.
Не случайно такую матрицу назвали единичной, это именно та матрица,
умножение на которую не меняет матрицу.
Что еще нам встречается интересного, когда мы перемножаем числа?
У любого числа, кроме нуля, есть обратное число относительно умножения.
Если мы умножим число a на число 1 / a, всегда получится единица.
Для любого числа, не равного нулю, существует обратное ему,
такое что произведение этих чисел равно единице.
Так ли с матрицами?
Есть ли у каждой матрицы обратная матрица,
такая что произведение данной матрицы на обратную равно единице?
Иногда такое бывает.
Иногда можно найти для матрицы обратную матрицу,
такую что их произведение равно единице.
Кстати, в этом случае не важно, в каком порядке мы умножаем матрицы — этот тот
случай, когда матрицы будут коммутативные.
Прямая матрица и обратная к ней коммутируют — в каком
порядке мы их не перемножим, обязательно получится единица.
Однако обратная матрица существует не у любой матрицы.
Несложно привести пример матрицы, вот, например, у матрицы, состоящей из чисел 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если мы запишем эти числа по порядку и составим из них
матрицу 3 × 3, как мы не будем искать, какую систему уравнений не составим,
каким способом работать не будем, обратная матрица никак не получится.
Все время окажется, что у системы линейной нет решений и что бы мы ни делали,
все время окажется, что обратная матрица не получается.
И действительно, у этой матрицы нет обратной, ее просто не существует.
Это не мы не можем найти, это ее существует на свете.
Как искать обратную матрицу?
Для этого есть разные способы, один из них применяет метод Гаусса.
Можно найти обратную матрицу при помощи метода Гаусса.
Давайте выпишем ту матрицу, обратную к которой мы ищем,
проведем черту и после этого запишем единичную матрицу.
Теперь методом Гаусса, так как мы делали, решая систему линейных уравнений,
будем приводить матрицу к единичной.
Сначала будем по очереди «убивать» все строчки, потом будем «убивать» все
элементы под диагональю, потом над диагональю, умножим на числа строки так,
чтобы на диагонали оказались одни единицы, и в результате у нас получится единичная
матрица, если, конечно, это было возможно и она могла получиться.
С матрицей справа мы будем делать все те же действия,
которые делали с матрицей слева.
Умножили строчку на число у левой матрицы — сделаем это со всей строкой у
правой матрицы, тоже умножим ту же самую строчку на число.
Прибавили к строке другую строку, умноженную на число,
— сделаем то же самое с правой матрицей.
Может быть, получатся плохие числа, может — хорошие,
будем делать в точности то же самое, что мы делали с левой матрицей.
Когда левая матрица станет единичной,
справа будет написана обратная матрица к исходной.
А если слева никогда не получится единичная матрица,
то и правая, то есть правую обратную матрицу мы тоже, конечно, не получим.
Ну уж мы стали искать обратную матрицу, давайте посмотрим,
что происходит, когда мы ищем число, обратное к произведению.
Мы знаем, что среди чисел все устроено просто.
1 / a * b = 1 / a * 1 / b.
Обратное число к произведению чисел равно произведению обратных чисел.
А как дела обстоят с матрицами?
Так ли?
Чему будет равна обратная матрица к произведению матриц A * B?
Здесь получается не совсем так просто, как с числами.
Числа не важно, в каком порядке умножать.
Произведение чисел коммутативно, произведение матриц не коммутативно,
поэтому ответ получится похожий на числа, но важно,
в каком порядке мы запишем этот ответ.
Итак, A * B в −1, если A и B — это матрицы, будет B в −1 умножить на A в −1.
Порядок обратный будет.
Мы искали матрицу, обратную к произведению A * B,
а получили произведение обратных матриц в обратном порядке.
Обратная к B умножить на матрицу, обратную к A.
Это свойство, кстати, не сложно доказать.
Если мы вот произведение B в −1 умножить на A в −1,
если мы умножим на матрицу A * B, мы получим единичную матрицу.
А это как раз и значит, что эта матрица обратна произведению.
С этим доказательством, на самом деле, все не так просто.
Наш курс линейной алгебры довольно простой — мы не все теоремы доказываем,
пользуемся многими свойствами без доказательств,
иногда доказательства заменяем просто объяснением.
Я хочу сказать, что в этой простой строчке, в этом простом вычислении,
которое мы сделали на этом слайде, мы тоже кое-что пропускаем.
На самом деле, мы здесь воспользовались ассоциативностью умножения, на самом деле,
мы не доказали такой вещи, что нам все равно, как действовать: A умножить на
произведение матриц B * C или произведение A * B умножить на матрицу C.
Это, на самом деле, верно.
Умножение матриц ассоциативно, но при этом не коммутативно.
Но мы этого не доказали, но я хочу сказать, что этот факт верный,
и хочу сказать, что им можно пользоваться.
Не путайте с коммутативностью, умножение матриц не коммутативно.
A * B, в принципе, не равно B * A, и если равно B * A,
то это только благодаря какой-то счастливой случайности.
Кроме того, что мы умеем брать обратную матрицу к данной матрице,
мы еще умеем брать транспонированную матрицу от матрицы.
Как связаны транспонирование и произведение?
Похожим образом, как и взятие обратной матрицы.
Транспонированная матрица к произведению A * B будет равно B
транспонированная умножить на A транспонированная.
Точно так же будет...
изменится порядок матриц — A * B транспонированные равно B
транспонированная умножить на A транспонированная.
Это несложно доказать и несложно увидеть, если вы посчитаете какой-нибудь пример,
но мы не будем на этом подробно останавливаться, просто поверим в это.
[ЗАСТАВКА]
