[ЗАСТАВКА] Иногда такой базис выбрать можно, мы это видели, но всегда ли такой базис существует? Давайте попробуем разобраться с этим вопросом. Ну что же, мы приступаем к поиску хорошего базиса для какого-то линейного оператора. Итак, пусть у нас есть некоторый линейный оператор, мы фиксировали базис, считаем его стандартным, и в этом стандартном базисе линейный оператор задается матрицей A. Мы хотим найти базис, в котором этот линейный оператор особенно просто действует, то есть такой базис, такой набор векторов, что линейный оператор каждый из этих векторов либо растягивает, либо сжимает в какое-то количество раз, а именно – что образ каждого вектора пропорционален самому вектору. Это значит, если мы запишем это как выражение, что Av (это какой-то вектор v, который мы ищем) равно λv. Мы не знаем числа λ, мы хотим найти такие векторы v, что для них найдется число λ, для каждого v свое, что A умножить на v, образ вектора v под действием линейного оператора равен λv. Хорошо, допустим, допустим, число λ такое, что такой вектор v найдется. На самом деле, совершенно не для любого числа λ такой вектор можно найти, но давайте представим себе, что λ – это именно такое число, для которого такой вектор v найдется. Давайте посмотрим на оператор (Av − λv), такой линейный оператор, который из вектора Av вычитает вектор λv. Для любого вектора v мы получаем новый вектор. Во-первых, это, конечно, будет линейный оператор, во-вторых, я хочу сказать, что у этого оператора есть нетривиальное ядро. Действительно, мы же предположили, что λ – это такое число, для которого найдется вектор v такой, что Av = λv. Значит, при действии этого нового линейного оператора вектор v переходит в ноль: (Av − λv) = 0. Давайте посмотрим на образы базисных векторов при действии этого линейного оператора: куда перейдет первый базисный вектор, второй базисный вектор, третий базисный вектор и так далее. Я хочу сказать, что множество этих векторов теперь будет линейно зависимо. Почему? Смотрите, у нас у этого линейного оператора есть нетривиальное ядро. Мы знаем, что размерность пространства L равна размерности пространства ядра плюс размерность пространства образа при действии какого-то, любого линейного отображения F, например, при действии вот этого линейного оператора. Мы знаем, что размерность ядра не нулевая, хотя бы один, может, больше, но один точно есть. Это значит, что размерность образа меньше, чем размерность всего пространства L. Это значит, что не может быть в этом линейном пространстве, которое является образом линейного пространства L при отображении A − λE, что не может быть в нем n линейно независимых векторов, не может быть в нем столько линейно независимых векторов, сколько было в базисе пространства L. Эта конструкция выглядит такой сложной, мы столько всего построили, зачем-то посмотрели образы базисных векторов, зачем? Я хочу сказать, что мы сейчас получили очень хорошее условие на число λ. Смотрите, мы знаем, что векторы, образы базисных векторов при действии этого линейного отображения, которые вектор v переводит в вектор (Av − λv), мы знаем, что образы базисных векторов при нем получились линейно зависимыми. Значит, если мы запишем матрицу этого линейного отображения, то мы получим матрицу, определитель которой равен нулю. Мы вспоминаем свойство определителя: если столбцы линейно зависимы, значит определитель матрицы равен нулю, и наоборот, если определитель равен нулю, значит столбцы матрицы линейно зависимы. Давайте составим матрицу этого линейного отображения, это несложно сделать, и посмотрим, получим то самое условие на λ, ради которого мы все это затеяли. Итак, мы хотим, чтобы вектор v переходил в вектор (Av − λv), Чтобы получить вектор λv, надо вектор v умножить на матрицу λE. E – это единичная матрица, λE – это матрица, которая все растягивает в λ раз. Итого, матрицей оператора будет матрица (A − λE), и мы знаем, что определитель этой матрицы равен нулю. Мы получили условие: определитель матрицы (A − λE) = 0, и это уравнение на число λ. Давайте рассмотрим конкретный пример. То, что мы обсуждали, выглядит как-то, может быть, сложно, но на деле эти операции произвести совершенно не сложно. Давайте пока не будем выходить из двумерного пространства, чтобы подсчеты были маленькие, так. Пусть у нас есть матрица, в которой написано по строкам 1, 3, −1, 5, и мы попробуем найти такое число λ, что определитель матрицы (A − λE) был бы равен нулю. Ну что ж, давайте найдем матрицу (A − λE). Мы просто из чисел, стоящих на диагонали в матрице A, вычитаем число λ. Хорошо, получилось квадратное уравнение на λ. Квадратное уравнение на λ в данном случае имеет два корня, это будут числа 2 и 4. Что мы знаем об этом линейном операторе? Что мы знаем о линейном операторе, который в стандартном базисе записывался матрицей A, записывался матрицей 1, 3, −1, 5? Мы знаем, что найдется некоторый базис, что есть вектор, который при действии этого отображения, который при умножении на эту матрицу умножается на 2, и есть вектор, который при умножении на эту матрицу умножается на 4. Это значит, что на плоскости найдется такой базис, в котором матрица линейного оператора будет вот такой, будет диагональной, и на диагонали будут стоять числа 2, 4. Действительно, возьмем в качестве первого базисного вектора тот вектор, который умножается на 2, и в качестве второго базисного вектора тот вектор, который умножается на 4. Образы базисных векторов в этом базисе запишутся именно так. Первый базисный вектор – это дважды первый базисный вектор, а образ второго базисного вектора – это четырежды второй базисный вектор. Матрица получилась диагональная. Конечно, рассматривать линейный оператор, который мы обсудили, нужно именно в этом базисе, а не в каком-нибудь другом, именно в этом базисе он выглядит наиболее просто. А как найти этот базис? Какой именно вектор при действии матрицы A умножается на 2? Давайте попробуем! Давайте попробуем найти тот самый вектор, который при действии оператора, который при умножении на матрицу (A − λE) переходит в ноль. Мы вместо λ подставили число 2 и получили некоторое уравнение на координаты векторов v1 и v2. Отсюда мы находим координаты этого вектора. На самом деле, это уравнение решается неоднозначно. Мы могли этот вектор умножить на любое число и снова получить решение этой системы уравнений, ничего страшного. Выберем какой-нибудь один из этих векторов. Теперь найдем вектор, который соответствует другому λ. Мы рассмотрим матрицу (A − 4E), вычтем четверки из чисел, которые стоят на диагонали, и попробуем найти вектор, который при умножении на эту матрицу переходит в ноль, мы же именно такой вектор ищем. Хорошо, мы снова получили систему уравнений. Система уравнений у нас сводится к одному уравнению, снова у этого уравнения много решений, но нам достаточно выбрать одно решение. Мы возьмем самое красивое: вектор 1 1. Итого, мы получили два вектора линейно независимых, значит, базис на плоскости. Мы получили базис на плоскости, в котором тот наш линейный оператор, матрицу которого мы рассматривали, будет записываться диагональной матрицей. Выглядит особенно просто. Вектор, образ которого при действии линейного оператора пропорционален самому вектору, называется собственным вектором линейного оператора, то есть такой вектор, что f(v) = λv. Число λ, коэффициент пропорциональности, называется собственным значением линейного оператора, собственным значением, соответствующим этому вектору. f(λv) = λv (v – собственный вектор, λ – собственное значение). Например, давайте представим себе, что у линейного оператора есть нетривиальное ядро, размерность ядра не равна нулю. Я хочу сказать, что любой вектор из ядра будет собственным вектором. Действительно, λ просто в этом случае равно нулю, собственное значение равно нулю, и тогда можно сказать, что f(v) = λ, то есть 0 * v, f(v) = 0. Итак, любой вектор из ядра является собственным. Но обычно не только векторы из ядра являются собственными векторами, обычно есть и другие векторы с другими собственными значениями λ. Собственным базисом мы будем называть базис линейного пространства, в котором все векторы будут собственные для данного линейного оператора. Еще раз, смотрите: собственный базис зависит не столько от пространства, сколько от линейного оператора. Во-первых, это должен быть базис линейного пространства. Во-вторых, каждый вектор этого базиса должен быть собственным вектором линейного оператора. В собственном базисе матрица линейного оператора будет диагональной. Действительно, при действии линейного оператора на вектор этого базиса просто каждый вектор умножается на соответствующее ему число, и матрица запишется, векторы-столбцы будут такие: везде стоят нули, и только в одном месте стоит какое-то число. Это место как раз находится на диагонали. В третьем столбце, когда мы рассматриваем образ третьего базисного вектора, у нас вектор будет пропорционален именно третьему базисному вектору. Итак, у него какой-то ненулевой элемент может быть только на третьем месте. А может, на третьем месте тоже окажется нулевой элемент, если как раз третий базисный вектор будет собственным вектором с собственным значением ноль, то есть умножится при действии оператора на ноль. Нам еще бывает удобно рассматривать такой объект, как собственное подпространство. Подпространство пространства L мы будем называть собственным, если все векторы, если образ этого подпространства при действии оператора f лежит внутри самого подпространства, то есть если множество векторов вида f(M) лежит в множестве M. Такое подпространство называется собственным. Пример. Например, если мы рассмотрим множество всех собственных векторов с данным собственным значением, с собственным значением каким-то конкретным λ, то получится собственное подпространство. Действительно, какой мы ни возьмем вектор из этого пространства, при действии линейного отображения этот вектор из этого пространства не выйдет, ведь он же просто умножится на какое-то число, значит, останется внутри этого подпространства. [ЗАСТАВКА]
