[AUDIO EN BLANCO] Bienvenido a la segunda sesión de sistemas de espera y teoría de cola. En esta sesión estudiaremos una herramienta fundamental para estudiar teoría de cola, la cual es el diagrama de llegadas y salidas acumuladas o diagramas acumulados. En el diagrama acumulado, lo que hacemos es considerar dos puntos arbitrarios de entrada y de salida al sistema y llevar una contabilidad de todo lo que ha entrado y todo lo que ha salido del sistema. A ese número acumulado le vamos a llamar N de t, en el instante t vamos a considerar cuánto ha entrado menos todo lo que ha salido. Por ejemplo, en esta figura si nosotros tomamos un arco de una red vial y no consideramos un punto de salida y un punto de entrada o una línea virtual, en el cual vamos a ir contando todos los vehículos que salen y todos los vehículos que entran a esta sección podemor ir contando y a continuación lo veremos en este diagrama. Entonces tenemos el tiempo y n de t nos va a decir en el eje y, vertical nos va ir contando cuánto ha entrado para el diagrama de llegadas y cuánto ha salido para el diagrama de salidas. Entonces construimos virtualmente para nuestro sistema de espera un punto de entrada ficticio, lo vamos a definir de acuerdo a lo que nos interesa para nuestro análisis y un punto de salida que es típicamente antes o después del servidor y podemos hacer el mismo análisis para ambos casos. Y en la medida que pasa el tiempo, invertimos con el sistema vacío en un instante, por ejemplo t igual uno vamos a observar una llegada y en ese momento nuestro contador de llegadas va a saltar una unidad, luego va a quedar en uno fijo hasta que se produce una nueva llegada. Por ejemplo, t igual dos salta nuevamente y tenemos el número de llegadas en t igual dos. Y como ver en el sistema, tenemos dos elementos dentro del sistema y eso es lo que estamos viendo también en el diagrama de llegadas acumuladas. En el instante tres, vemos que hay una salida al sistema y podemos llevar un nuevo contador que es el contador de salidas del sistema. Vemos salidas acumuladas que va a marcar esa salida y después mientras no pase nada, va a quedar fijo hasta que de repente en un instante hay una nueva llegada y que nuestro contador de llegadas marca esa llegada. Así sucesivamente podemos ir avanzando con estos dos contadores, registrando cada vez que hay una salida en el contador de salidas acumuladas y cada vez que hay una llegada en el contador de llegadas acumuladas. Estas dos curvas, nos permiten conocer todo lo que ha ocurrido en el sistema y los instantes en que ocurrió. Tenemos todas las llegadas de elementos del sistema y todas las salidas de elementos del sistema. La curva de arriba o de llegadas acumuladas, normalmente conocida en inglés como a de t por la palabra arrivals y la curva de salidas acumuladas, normalmente conocida como d de t por departures en inglés. Notemos que estas dos curvas, tienen saltos discretos en cada uno de los instantes donde hay llegadas, en el caso de las llegadas y salidas en el segundo caso, y que siempre en la medida que partamos con los dos contadores en cero, el contador de llegadas tiene que ir por sobre el contador de salidas. Sólo se van a juntar estas dos curvas en el caso que el sistema esté vacío. ¿Qué ventaja tiene este gráfico? Es que nos permite condensar toda la información relevante de lo que ha ocurrido en el sistema en sólo estas dos curvas. Veamos algunas características del análisis de estas curvas. Hagamos el análisis de estos gráficos. ¿Qué ventajas tiene el gráfico? El gráfico permite concentrar toda la información relevante de lo que ha ocurrido en el sistema, desde el tiempo igual cero hasta cualquier instante, todas las llegadas quedan registradas y todas las salidas quedan registradas y por lo tanto, podríamos conocer entre otras cosas cuántos usuarios había en el sistema en cada instante, cuánto se demoró cada usuario si es que entraron en el mismo orden en que salieron. Veamos cómo obtener estos elementos. Si el sistema es fifo, es decir, first in first out o se atiende en el orden que llegaron y salen en el mismo orden que entraron, la llegada enésima va a quedar marcada acá, va a corresponder verticalmente con la salida enésima. Y por lo tanto, el tiempo del individuo n del sistema o del elemento n del sistema va a corresponder a la distancia n en el eje x entre la curva de llegadas y de salidas acumuladas. Y eso lo vamos a tener para cada uno de los usuarios. Si miramos un instante de tiempo, como tenemos la contabilidad de cuánto ha entrado y cuánto ha salido, la diferencia entre lo que ha entrado y lo que ha salido tiene que corresponder a la cantidad de usuarios que hay en el sistema. Y por lo tanto, para cualquier instante de tiempo q de t va a ser el número de usuarios en el sistema. Recuerden que la entrada y la salida al sistema las definimos arbitrariamente, por lo tanto esto puede significar que estos son usuarios que están esperando más usuarios que están en servicio, si pusimos la salida justo antes de los servidores q de t va a representar la cantidad de usuarios que están esperando y si sólo contamos lo que está dentro del servidor, vamos a ver acá cuánto es el número de usuarios en los servidores. El mismo análisis aplica exactamente igual. Por lo mismo, si no hay adelantamiento si el sistema es fifo ¿cuál va a ser la espera máxima? Bueno podemos analizar a partir de los gráficos y buscar dónde existió la máxima distancia entre la curva de llegadas acumuladas y la curva de salidas acumuladas. Y en ese caso vamos a encontrar la espera máxima que tuvo algún usuarios y podemos identificar ¿cuál fue el usuario que más esperó en el sistema? También podemos ver cuál es el largo de cola máximo. Y este largo de cola máximo va a ser el punto donde la curva de llegadas y salidas acumuladas tienen le máxima distancia vertical. Esa máxima distancia vertical, implica la máximo número de usuarios en el sistema. Y esta es una condición muy relevante al momento de diseñar nuestro sistema, porque tenemos que diseñarlo de manera tal de acomodar a este conjunto de usuarios que son los máximos que podríamos recibir. O sea, si nosotros tenemos o asumimos alguna curva de llegada al sistema y vemos cuál es nuestra capacidad de atención, podríamos modelar ¿cuál sería la acumulación de usuarios para un determinado instante? Y tenemos que diseñar nuestro sistema para que pueda acomodarlo. Esta condición es muy relevante en el diseño de un aeropuerto o diseño de un puerto, dónde tenemos por ejemplo que acomodar un número de contenedores. Dado la, el perfil de llegada de barco y la cantidad de contenedores que tienen y dado cuánto se demora cada un contenedor en ser llevados a fuera por distintos modos, si tenemos un tren tal vez que llegue ahí uno podría o el tiempo que pasa en el puerto, podríamos dimensionar cuánto espacio necesitamos a partir de estas curvas de llegada y salida acumulada. Lo mismo podríamos hacer en un aeropuerto o en algún otro terminal modal dónde tenemos llegadas de aviones y procesos de atención tal vez en aduana, y tratar de dimensionar cuánto necesitamos para que los usuarios puedan esperar cómodamente antes de ser atendidos. Cómo decíamos si cada, si cada espacio es la espera de un usuario, si nosotros sumamos todas las esperas de todos los usuarios vamos a tener la espera total en el sistema y esa está dada por el área entre estas dos curvas. Luego si queremos saber cuánto es la cantidad de recurso consumido en términos de tiempo en un sistema, podemos hacerlo inmediatamente a partir de las dos curvas, de las podemos y esto va a representar la espera total de todos los usuarios que utilizaron este sistema. En muchos casos para hacer un análisis nos apoyamos de una aproximación continua, en que en vez de utilizar esta curva con saldos discretos, la curva de llegada y salida con saldo discretos, los instantes dónde son atendidos y llegan los usuarios pasamos a una curva suave que nos permite hacer matemáticas más sencillas y considerar para tales efectos tasas de llegada para determinados instantes de tiempo. Eso nos va a facilitar bastante el análisis y nuevamente lo que vamos a buscar es entender cuál es la espera total para todos los usuarios del sistema, cuáles son las esperas máximas, cuáles son los largos de cola máximos o cuánto es el máximo número de usuarios que tenemos que soportar en el sistema para efectos de diseño. Y en estos gráficos dado que si definimos una tasa constante de llegada, una tasa constante de salida podemos entonces dibujar las curvas de tasa de llegada y tasa de salida, a partir de las pendientes en el gráfico de llegadas y salidas acumuladas. Ahí podemos ver que landa de t, es la tasa de llegada de usuarios en el sistema en el instante d, si la tasa varía a lo largo del tiempo entonces esta va a ser una función de t,´si es constante vamos a tener una recta con una pendiente fija. Lo mismo pasa con la tasa de servicio de usuarios en el sistema que también puede estar condicionado por la cantidad de servidores que tenemos trabajando en determinados horarios. Por ejemplo, en una cola dónde tenemos una sola caseta de peaje y esa caseta de peaje atiende cuatro vehículos por minuto, si pasamos a tener dos o tres casetas de peaje vamos a poder atender ocho o doce vehículos por minuto. Y esa pendiente podría ir aumentando en la medida que tenemos más casetas funcionando. Por ejemplo, ¿cuántas tasas de servicio pueden observar en este gráfico o cuántas tasas de llegadas distintas pueden observar en este gráfico? ¿Cuál sería la espera? Uno podría calcularla directamente a partir de las áreas entre ambas curvas. ¿Dónde está el instante donde hubo más usuarios en el sistema? Buscar el punto dónde hay mayor distancia entre la curva de llegada y salida acumulada o ¿cuál es el usuario que más espera, en qué instante llega ese usuario? Buscamos la distancia máxima, a nivel horizontal entre las curvas de llegada y salida acumuladas. Por ejemplo, en el caso de un semáforo podemos ver en este ejemplo ¿cómo modelar la espera en una intersección semafórizada? Supongamos que cuando tenemos el verde, en la cantidad de vehículos que pasan por esa intersección es mu vehículos por hora, del orden de 1800 vehículos ahora. Y tenemos una tasa de vehículos landa a esta intersección. Mientras la intersección está en verde y no hay vehículos acumulados. como la tasa de llegada es menor que la tasa de servicios pasan todos los vehículos y eso es lo que vemos en un comienzo. Hasta que llegamos al instante dónde queda en rojo el semáforo y la tasa de atención es cero, y por lo tanto, no vemos ninguna salida pero sí vemos que landa es constante y por lo tanto, se empiezan a acumular y tenemos una acumulación que vemos ahí en rojo que se empiezan a acumular vehículos hasta que termina el rojo y comienza el verde. Como hay vehículos acumulados, vemos que cuando termina el rojo la descarga se produce a tasa mu, a esa tasa mu constante hasta que se disipa la cola, una vez que se disipó la cola la tasa de salida sigue siendo landa hasta que vuelve a ser rojo. Uno puede ver en este simple ejemplo que podría calcular cuál es la espera total de los vehículos en un ciclo de semáforo, podría ver cuántos vehículos alcanzan a acumular en el ciclo de semáforo, en cada rojo, cuánto es el vehículo que más espera que es típicamente el vehículo que va a llegar justo cuando pusieron el rojo y tiene que parar y que va a esperar toda la luz hasta que pueda pasar. Y podríamos ver hasta qué largo de rojo nos permitiría y qué largo de verde nos permitiría descargar todos los vehículos que se acumularon. Si ustedes empiezan a disminuir la porción de verde, podrían darse cuenta que la cantidad de descarga no alcanza para sacar a todos los vehículos que se acumularon en el ciclo del semáforo. En resumen lo que vimos en este módulo fue cómo construir los diagramas de llegada y salidas acumuladas, vimos un poco análisis de este gráfico, vimos que podíamos encontrar en la medida que la llegada respetaba la salida tenían un sistema fifo, el número o el tiempo que pasa un usuario en el sistema va a ser la distancia entre las curvas horizontalmente. Si mirábamos la distancia vertical entre estados dos curvas, nos decía cuántos usuarios hay en el sistema en el instante t, podíamos identificar cuál era la espera máxima dado que conocíamos la espera de todos los usuarios, podíamos buscar la máxima distancia entre las dos curvas en el eje horizontal y esa va a ser la máxima espera. Y podriamos ver cuál es el número máximo de usuarios en el sistema buscando la distancia máxima entre verticalmente entre la curva de llegada y salidas acumuladas. Vimos que para hacer análisis muchos casos nos va a facilitar nuestra tarea, hacer una aproximación continua y no ver estos saltos discretos. Y finalmente, tratamos de aproximar las tasas de llegada y tasas de servicio en esta próxima acción continua.
