Maximización de la Entropía

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Del curso dictado por Pontificia Universidad Católica de Chile

Análisis de Sistemas de Transporte

341 calificaciones

Pontificia Universidad Católica de Chile

Análisis de Sistemas de Transporte

341 calificaciones

Este curso es una introducción a las metodologías fundamentales para la gestión, planificación y evaluación de sistemas de transporte de pasajeros. Se aprenderán técnicas usadas en la práctica para estimar la demanda, modelar la operación y realizar análisis económicos de proyectos de transporte. Algunos temas estudiados incluyen: modelo clásico de transporte de cuatro etapas, modelo de distribución de viajes gravitacional, modelo de elección discreta logit, teoría de colas, análisis de redes, paradoja de Braess, tarificación por congestión y evaluación social de proyectos de transporte.

De la lección

Introducción a los modelos de demanda - Parte 1

El objetivo de este módulo es que seas capaz de entender las diferentes decisiones de los usuarios al momento de realizar un viaje. Al finalizar este módulo comprenderás como estas decisiones se modelan y se relacionan matemáticamente. Podrás comparar y aplicar los diferentes modelos de generación, atracción y distribución de viajes de pasajeros, distinguiendo las ventajas y desventajas de cada uno de ellos.

Distribución de viajes3:08

Modelo Gravitacional9:45

Maximización de la Entropía5:37

Conoce a los instructores

Ricardo Giesen
Profesor Asociado
Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS, www.cedeus.cl); Centro de Excelencia en BRT (www.brt.cl); Centro de Gestión de Desastres Naturales (CIGIDEN, www.cigiden.cl)
Felipe Delgado
Profesor Asistente
Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS), All Latitudes and Cultures BRT Centre of Excellence (www.brt.cl)
Juan de Dios Ortuzar
Profesor Emérito
Departamento de Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS), All Latitudes and Cultures BRT Centre of Excellence (www.brt.cl)

[AUDIO_EN_BLANCO]

Hola, bienvenidos a la clase de hoy en que

seguiremos viendo los modelos de distribución de viajes.

En particular, nos enfocaremos en el modelo de maximización de la entropía.

Supongamos que conocemos la cantidad

de viajes generados en una zona y la cantidad de viajes atraídos en una zona.

Vamos a suponer que tenemos tres niveles de información un estado macro,

dado por la cantidad de viajes generados y atraídos por cada una de las zonas.

Estados meso, que van a corresponder a la cantidad de viajes que hay entre una zona

i y una zona j, esto para todos los pares orígenes en destino y un estado micro,

que corresponde a la decisión individual de una persona de hacia donde viajó.

Por ejemplo, María viajó entre la zona uno y la zona dos,

Pedro entre la zona dos y la zona tres y así sucesivamente.

Por ejemplo, veamos la siguiente matriz de viaje.

Tenemos dos zonas, en dónde la zona uno tiene

cuatro viajes que se originan en esa zona, la zona dos uno, la zona una

atrae dos viajes y la zona dos atrae tres viajes, en total hay cinco viajes.

A esto le llamamos un estado macro, este estado macro puede estar formado por

el siguiente estado meso, que hayan dos viajes entre la zona uno y la zona uno,

dos entre la zona uno y la zona dos, ningún viaje entre la zona dos y la zona

uno y un viaje entre la zona dos y la misma zona dos.

Ese estado meso, puede estar asociado al siguiente estado micro.

Que José y Diego viajen dentro de la zona uno, que María y Luis viajen entre

la zona uno y la zona dos y que Patricia viaje entre la zona dos y la zona dos.

Entonces, ¿cuál es la matriz de viaje más probable que podemos armar

conociendo los estados, macro?

Entonces vamos a decir que la matriz de viaje más probable va a ser

aquella que puede ser formada de más maneras posible, es decir,

aquél estado meso que tiene más estados micros asociados.

A partir de esto, podemos definir la entropía

como la cantidad de estados micros asociados a un estado meso.

Recordemos que un estado meso, corresponde a la cantidad de viajes entre una zona i y

una zona j, y un estado micro es el viaje de una persona en particular.

Entonces, veamos el siguiente ejemplo.

¿Cuántos estados meso y micro tienen asociada la siguiente matriz?

Entonces tenemos una matriz con tres viajes totales,

dónde hay dos viajes que salen de la zona uno, un viaje que sale de la zona dos,

dos viajes que son atraídos a la zona uno y un viaje que es atraído a la zona dos.

La verdad, tenemos dos estados meso asociados a este estado macro.

El primero corresponde a la siguiente matriz,

dónde hay dos viajes dentro de la zona uno y un viaje dentro de la zona dos.

La segunda corresponde a un viaje dentro de la zona uno,

un viaje entre la zona uno y la zona dos, un viaje dentro de la

zona dos hacia la zona uno y ningún viaje dentro de la zona dos.

Entonces la pregunta que queremos responder,

¿cuál de estas dos matrices es más probable que ocurra en la realidad?

Y lo que nosotros hemos dicho, que la matriz más probable va a ser

aquella que tiene asociada más estados micros a esta matriz.

Entonces analicemos la primera matriz el meso estado uno.

¿Cuántos estados micros tiene asociado?

Bueno, imaginemos que tenemos como tenemos tres viajes,

que tenemos tres personas a, b y c.

Entonces una forma de formar esa matriz, es que la persona a y b viajen dentro de

la zona uno y que la persona c viaje de la zona dos a la zona dos o podría darse que

a y c viajen dentro de la zona uno y b viaje dentro de la zona dos o que b y c

viajen dentro de la zona uno y a viaje dentro de la zona dos.

Es decir, tenemos tres estados micros asociados a este estado meso.

Veamos ahora, cuántos estados micros tiene asociado el meso estado dos, es decir,

la matriz que vemos a continuación.

Haciendo un proceso similar al que vimos anteriormente,

podemos observar que hay seis estados micros asociados a este estado meso.

Por lo tanto, de acuerdo a la definición anterior,

esta matriz es más probable que ocurra que la matriz que vimos anteriormente.

Esto que hemos dicho en palabras, se puede resolver o formular matemáticamente,

si uno resuelve este problema, uno llega al siguiente modelo.

Dónde V i j va a ser igual a un factor de balanceo a sub i por la cantidad de

orígenes en i, factor de balanceo b sub j por la cantidad de viajes que llegan a la

zona j, por un exponencial elevado a menos beta por una función de costo,

que es una función muy similar al modelo gravitacional que vimos anteriormente.

Como resumen, en esta sesión hemos visto el modelo de maximización de la entropía,

en dónde hemos dicho que la matriz

de viaje más probable es aquella que tiene asociada más estados micros.

Y desarrollando matemáticamente, hemos llegado a un modelo de distribución

similar al modelo gravitacional con una función de costo, dado por la exponencial

de menos beta por el costo entre, de viajar entre la zona i y la zona j.

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