[AUDIO_EN_BLANCO] Hola, bienvenidos a Modelos de Demanda, parte dos. Vamos a ver hoy dÃa la sección 3.3, vamos a ver el Modelo Logit Multinomial. Recordemos que estamos trabajando en el paradigma de la TeorÃa de la Utilidad Aleatoria. Vamos a ver este Modelo Logit Multinomial y lo vamos a usar posteriormente en elegir un modo de transporte. Hoy dÃa vamos a ver el cálculo de la partición modal y un supuesto muy interesante que tiene este modelo que se llama el Supuesto de Independencia de Alternativas Irrelevantes. La función de los errores del Modelo Logit Multinomial que comentamos la clase anterior es una función independiente e idénticamente distribuida Gumbel. Acá en este gráfico se muestra la diferencia entre una Gumbel y una distribución normal. La distribución normal o de Gauss, como ustedes saben, es totalmente simétrica, la distribución de Gumbel está corrida, en inglés se habla de skewed, un poco hacia la izquierda pero, a parte de eso, es muy similar a la distribución normal. La gracia más grande que tiene la distribución Gumbel es que el máximo de distribuciones Gumbel independiente e idénticamente distribuidas también distribuye Gumbel y como nosotros estamos tratando de maximizar la utilidad esto es muy conveniente cuando queremos generar un modelo. Cuando trabajamos con funciones Gumbel llegamos finalmente a la expresión de probabilidades del Modelo Logit Multinomial que es la siguiente, la probabilidad de elegir la alternativa i es la exponencial de un parámetro landa, que se llama el factor de escala multiplicado por la utilidad representativa partido por la sumatoria sobre todas las alternativas que el individuo tiene disponible en su conjunto de elección de lo mismo, del exponencial de landa por la utilidad representativa de estas alternativas que están compitiendo con la alternativa que estamos considerando. Ahora, este landa en general, les cuento, no se puede estimar y lo que se hace es normalizarlo y suponerlo igual a 1 porque no es posible estimarlos los parámetros theta que están incluidos en la función representativa V sub iq y landa simultáneamente. Ahora, sin embargo, hay cosas que se pueden decir que son interesantes, por ejemplo, si landa vale 0, ¿qué ocurre en esa expresión? FÃjense que da exponencial de 0 partido por la sumatoria de la exponencial de 0, pero todos sabemos que el exponencial de 0 vale 1, por lo tanto, la probabilidad queda i = 1/n en que n es el número de alternativas que tiene disponible el individuo y eso se llama el Modelo Equiprobable. Por otra lado, si landa fuera infinito eso significa que se va a elegir aquella alternativa que tiene la mayor utilidad y, por lo tanto, estamos trabajando en un modelo que se llama todo o nada, vale decir la mayor utlidad elige todo, las restantes eligen nada. En el caso de partición modal, elección de un modo de transporte, por ejemplo, podemos tener una función de utilidad representativa que está dada, por ejemplo, por la multiplicación de un parámetro de costo multiplicado por el costo de viaje y un parámetro de tiempo multiplicado por el tiempo de viaje. Yo les he puesto acá signo negativo porque nosotros esperamos que el parámetro del tiempo y del costo sean negativos porque a más tiempo y a más costo tenemos menos utilidad, o sea, más malo es un modo que tiene más tiempo, más malo es un modo que tiene más costo. Al multiplicarlos por un signo menos logramos tener una utilidad que sea positiva. Con esa función nosotros podemos calcular para cada modo de transporte multiplicando los parámetros que hemos estimado por los valores de las variables costo y tiempo de viaje y encontrando, por ejemplo, que, en un ejemplo cualquiera, el auto podrÃa tener una utilidad de 1.200, el bus o la bicicleta, perdón, en este caso, la bicicleta, una utilidad de 1.350 y la caminata una utilidad de 980. Y ahà nosotros tendrÃamos que elegir alguna. Sin embargo, no es tan sencillo porque acuérdense que esto es una función probabilÃstica, por lo tanto, no es que se elija todo por el que tiene la utilidad más adecuada, sino que hay un pequeño porcentaje que se va a ir a las otras también que va depender de la función exponencial que tenÃamos anteriormente. Acá la probabilidad de que el individuo escoja moverse en auto serÃa dada por la exponencial de V sub a partido por la suma de las exponenciales de V sub a + V sub b + V sub c y eso darÃa una exponencial que se la dejo a ustedes de tarea. Supongamos ahora que tenemos dos alternativas, auto y bus, y supongamos que esas dos alternativas tienen, en un principio, exactamente la misma utilidad. Si tienen la misma utilidad quiere decir que, por supuesto, la probabilidad de elegir la alternativa auto deberÃa ser un medio y la probabilidad de elegir la alternativa bus también deberÃa ser un medio. Vamos a ver ahora un problema que tiene este modelo que llama el Supuesto de Independencia de Alternativas Irrelevantes. Resulta que, si al dueño de los buses se le ocurre pintar la mitad de los buses verde y la mitad de los buses de otro color, pero mantiene las mismas caracterÃsticas, vale decir, mantiene la misma utilidad, el modelo va a suponer que las utilidades del auto, de los buses verdes y los buses del otro color, van a ser iguales. ¿Y qué va a ocurrir entonces? Que vamos a tener que la probabilidad de elegir auto va a bajar a un tercio, la probabilidad de elegir el bus verde va a ser un tercio y la probabilidad de elegir el bus amarillo va a ser también un tercio. Sin embargo, nosotros sabemos que eso no puede estar bien porque las utilidades de auto y bus son las mismas. Acá se hace necesario otro tipo de modelos que recoja el hecho de que hay una correlación perfecta entre bus verde y bus amarillo y esto es una falla que se llama la Independencia de Alternativas Irrelevantes que tiene el Modelo Logit Multinomial. Por lo tanto, en resumen, dependiendo de cómo se puede distribuir los distintos errores nosotros podemos generar modelos diferentes. El Modelo Logit Multinomial, que ha sido, quizás, el más utilizado en la práctica cumple con que los errores distribuyen independiente e idénticamente Gumbel y tiene asociados algunos problemas como conversamos.
