[AUDIO EN BLANCO] Hola, bienvenidos a la clase de hoy en que hablaremos de los modelos de distribución de viajes. En particular, nos enfocaremos en abordar diferentes modelos para determinar cuántos viajes se dirigen entre una zona i y una zona j, estos modelos sólo pueden ser modelos gravitacional o el modelo de maximización de la entropía. Empezaremos viendo el modelo gravitacional. Cómo su nombre lo indica, el modelo gravitacional se basa en la analogía de atracción entre dos cuerpos. Pensemos que tenemos dos planetas, la tierra y júpiter sabemos que la fuerza de atracción entre la tierra y júpiter va a estar dado por el producto de la masa entre estos dos planetas, dividido por la distancia entre estos planetas al cuadrado multiplicando por una constante de gravitación universal. Si la distancia entre estos planetas aumenta, la fuerza de atracción entre ellos debería disminuir. Y si la fuerza y si la distancia perdón disminuye, esta fuerza debería aumentar. Podemos usar esta analogía para tratar de terminar cuántos viajes hay entre una zona i y una zona j. Por ejemplo, podríamos pensar en la ciudad de Nueva York y tratar de determinar cuántos viajes se producen entre Times Square y el puente Broklyn. Entonces el lugar de pensar en planetas podemos pensar en zonas, donde la zona i podría corresponder a Times Square y la zona j al puente de Broklyn. Entonces en lugar de pensar en fuerzas, deberíamos pensar cuántos viajes hay entre i y j. En lugar de masa de los planetas como que nos interesan cuántos viajes hay entre la zona i y la zona j, en este caso entre Times Square y el puente Broklyn me interesa saber cuántos viajes se originan en Times Square. Entonces en lugar de la masa de i lo vamos a reemplazar por la cantidad de viajes que se originan en la zona i y en lugar de la masa de j, vamos a decir cuántos viajes atrae la zona j, en este caso el puente de Broklyn. Y podríamos decir que el lugar de la distancia al cuadrado, esta distancia ser elevado a cualquier exponente n. Con el paso del tiempo se dieron cuenta de que tal vez la distancia no es lo único que importa para determinar cuántos viajes yo tengo entre una zona i y una zona j, sino que hay otras cosas que importan. Por ejemplo, cuán bien conectadas están o cuánto tiempo me demoro en llegar o cuánto es el costo de llegar a desde una zona a la otra. Tal vez entre Times Square y el puente Broklyn me puedo ir caminando o me puedo ir en metro, en el caso que tendría que pagar una tarifa. Por lo tanto, en lugar de proponer una distancia, proponemos una función de costo, que depende de la tarifa del tiempo y de cualquier atributo que uno pueda considerar relevante. En la literatura se plantean dos funciones características, uno que es una exponencial negativa con el costo, es decir, a medida que aumenta el costo entre estas dos zonas la cantidad de viajes que uno debería esperar entre estas zonas debería disminuir. Por ejemplo, si el costo de un taxi entre Times Square y Broklyn fuera demasiado caro, uno debería esperar que la cantidad de viajes entre Times Square y el puente Broklyn disminuyera. O una función de costo elevado a una exponente negativo. De esta manera, la cantidad de viajes entre una zona i y una zona j va a estar dado por una constante, que hay que determinar por la cantidad de viajes que se origina en la zona i, por la cantidad de viajes que atrae la zona j, por la función de costo que uno puede determinar cómo lo vimos anteriormente. Si llegamos a un modelo gravitacional donde la cantidad de viajes entre i y j es una constante de gravitación, por la cantidad de viajes originado en la zona i y la cantidad de viajes atraídos en la zona j, por una función de costo. Sin embargo el modelo debe cumplir que, la sumatoria de los viajes entre i y j si sumamos para todo j tiene que ser igual para o sub i, y si sumamos en i tiene que ser igual a la cantidad de viajes atraídos por la zona j. Si reemplazamos por el modelo, entonces lo que estamos diciendo es que la sumatoria en j de los v sub ij tiene que ser igual a los o sub i y si reemplazamos los v sub ij por nuestro modelo, estamos diciendo que la sumatoria en j de k o sub i d sub j por f sub c ij tiene que ser igual a o sub i. Claramente podemos observar que en este caso ni k ni o sub i dependen de j, por lo tanto lo podemos sacar fuera de la sumatoria. Con los que nos queda acá, o sub i sumatoria en j, de los d j por los f sub c ij. Podemos cancelar en este caso o sub i en ambos lados y despejando nos va a quedar que la constante del modelo es igual a uno partido por la sumatoria en j de los destinos j por la función de costo c ij. Ahora bien, también tenemos que asegurarnos que la sumatoria en i de los v sub ij tiene que ser igual a los destinos de j, es decir, reemplazando por el modelo que obtuvimos v sub ij tiene que ser igual a K, o sub i, d sub j, f sub c ij. En este caso, podemos observar que ni la constante ni los o sub i perdón ni los d sub j dependen de i, por lo tanto lo podemos sacar fuera, fuera de la sumatoria y nos queda la sumatoria en i de los o sub i por los f sub c ij. Acá podemos reemplazar, es decir, simplificar los d sub j y quedamos con que, en este caso la constante vale uno partido por la sumatoria en i de los o sub i por los f sub c ij, ¿Qué podemos observar si comparamos estos dos valores de la constante? Podemos ver que para una misma constante tenemos dos valores distintos. Por lo tanto, lo que estamos observando es que tener un solo factor o constante en el modelo es insuficiente. Por lo cual se prosratea el modelo que se observa en la diapositiva siguiente. Entonces a partir de la deducción matemática que hemos hecho anteriormente, nos damos cuenta que nos nos basta un único factor de balanceo sino que necesitamos dos. De esta forma, el modelo de distribución va a ser igual a v sub ij va a ser igual a a sub i, es decir, vamos a tener un factor de balanceo por cada origen por los orígenes de i, por v sub j, es decir, un factor de balanceo por cada destino j, por la cantidad de viajes que atrae la zona j, por la función de costos entre ij. Bueno, hemos visto cómo calcular los a sub i y los v sub j, de acuerdo a las ecuaciones anteriores, donde a sub i es igual a uno partido la sumatoria j de los v sub j, d sub j y f sub c ij y b sub j depende de a sub i. Entonces acá tenemos un problema, que es que los factores de balanceo de a sub i dependen de v sub j y los v sub j dependen de los a sub i. Entonces, ¿cómo podemos determinarlo? Bueno a través de un proceso iterativo, en este proceso iterativo suponemos que la iteración inicial, los valores de a sub i y v sub j son igual a uno para todas las zonas i y j. Y en el paso dos calculamos los nuevos a sub i, tomando como datos los v sub j calculados en la interacción anterior. Teniendo, habiendo calculado los a sub i de la interacción k más uno, podemos calcular los factores de balanceo v sub j y la interacción k más uno tomando como datos los a sub i calculados en la interacción en el paso número dos. Este paso continua iterativamente hasta que los factores de balanceo a sub i entre la iteración k más uno y la iteración k son más o menos parecido, lo mismo para el caso de los v sub j. Entonces en esta clase lo que hemos visto es introducido el modelo de gravitacional, que se basa en la analogía de la atracción de los cuerpos físicos para obtener un modelo de distribución de viajes, en donde nos hemos dado cuenta que necesitamos dos factores de balanceos para que el modelo esté bien definido y en el cual la función de costo puede ser cualquier función a fin que cumpla ciertas características.
