[AUDIO_EN_BLANCO] Bienvenidos a la sesión cinco de sistemas de espera y teoría de colas. En esta sesión estudiaremos sistemas con aleatoriedad en los servicios y en las llegadas. ¿Por qué nos interesa estudiar aleatoriedad? Porque cuando miramos sistemas reales, nos damos cuenta de que los tiempos entre llegadas no son determinísticos. Si uno tomara una fotografía aérea, por ejemplo, de un eje vial donde transitan vehículos veríamos el dibujo que tenemos abajo más que el que tenemos arriba. Veríamos distancias que no están equiespaciadas, y que el tiempo entre pasadas no son iguales. Lo mismo si uno ve el proceso de llegada a cualquier servicio. En general, los tiempos entre llegadas no son determinísticos. Son aleatorios. Por otra parte, si uno mira los tiempos de servicio, en muchos sistemas sobre todo en los sistemas no automatizados, los tiempos de servicio también tienen aleatoriedad. En sistemas con muchos usuarios en general lo que vamos a ver es que las llegadas se aproximan a un proceso de Poisson. Por ejemplo en bancos, supermercados, sistemas de transporte, terminal de metro un terminal aéreo, un terminal rodoviario. En general lo que vemos es que si hay muchos usuarios que no se coordinan y cada uno tiene un proceso independiente, la superposición de esos procesos de llegada va a hacer que el proceso que nosotros veamos sea un proceso Poisson. Eso no es cierto si los usuarios se coordinan o vienen juntos, ya sea porque llegan todos en el mismo tren todos en un avión. Cuando llega un barco a un puerto, lo que uno ve es que llega un gran número de contenedores simultáneamente. En todos esos sistemas lo que necesitaríamos es ocupar algo más sofisticado. Pero para efectos de nuestro análisis, sobre todo cuando llegamos al caso en que hay usuarios en que llegan a una estación, por ejemplo, de metro desde sus casas, independientemente, lo que uno normalmente vería es un proceso Poisson. Y en este caso, un sistema muy sencillo de analizar donde todos los procesos de llegada son Poisson, y que además los tiempos de servicios son exponenciales vamos a ver este sistema MM1. En este sistema MM1, las llegadas dijimos, tienen un proceso Poisson. Luego el tiempo de servicio entre llegadas es exponencial, el tiempo de servicio en el servidor es exponencial. Veamos algunas relaciones que se pueden construir. La tasa de utilización de este sistema va a ser ro que es igual a la tasa de llegada partida por mu. En el largo plazo, en el número total de llegadas va ser lambda por algún t grande, dividido por la tasa de atención que es mu por un t grande, se cancelan los t y nos va a quedar lambda partido por mu. Para que el sistema sea estable, la tasa de llegada tiene que ser menor que la tasa de servicio, y por lo tanto lambda partido por mu tiene que ser menor que 1. Si eso se cumple la probabilidad de que hayan n usuarios en el sistema se puede demostrar que es igual a 1 menos ro, por ro elevado a n. También podemos demostrar que el número esperado de usuarios en el sistema dada la ecuación anterior, y desarrollando esos términos es ro dividido por 1 menos ro y que el tiempo promedio de un usuario en el sistema es igual a 1 partido por mu menos lambda. Esta fórmula la derivaremos en un video aparte para los que estén interesados pero para los que no les interese la matemática, nos podemos quedar con esta forma funcional. El tiempo promedio en cola, a partir de las relaciones anteriores si w era igual a 1 partido por mu menos lambda restando el tiempo de servicio podemos obtener el tiempo de espera en cola como ro partido por mu menos lambda. Y la cantidad de usuarios en cola a partir del teorema de Little y la relación anterior, podemos ver que es ro cuadrado partido por 1 menos ro. Veamos en este gráfico el tiempo de espera en un sistema. Si miramos el tiempo de espera en el sistema MM1, lo que vemos es que a medida que nos movemos en el eje de las x donde movemos lambda y donde la capacidad es mu, el sistema está definido, la espera está definida en la medida que lambda sea menor que mu. Si lambda es menor que mu y lambda es cercano a 0 o muy bajo. El tiempo de espera en el sistema es igual al tiempo de servicio, que es 1 partido por mu. Por lo tanto, el sistema parte de acá en 1 partido por mu en el en el comienzo de la curva. En la medida que nos vamos moviendo y lambda es pequeño, la espera no aumenta significativamente hasta que nos vamos acercando a la capacidad. Cuando nos acercamos a la capacidad en sistemas donde las llegadas son aleatorias y los tiempos de servicios son aleatorios, vemos que rápidamente la curva empieza a subir y tiende a infinito a la medida que nos acercamos a la asíntota, que en este caso es la capacidad del sistema. Por lo tanto, una recomendación muy importante es tratar de evitar llegar cercanos a la capacidad porque en esos casos nuestra espera aumenta significativamente como vemos en el gráfico. En este gráfico podemos hacer un dibujo, y voy a dibujar acá. Si tenemos lambda acá y mu es la capacidad vemos que, a flujo libre, cuando no hay nadie la espera es igual a 1 partido por mu, que es el tiempo de servicio. En la medida que empieza a aumentar lambda el valor no crece significativamente hasta que nos acercamos a la capacidad. Cuando nos acercamos a la capacidad el valor crece significativamente. Un análisis que podemos hacer acá es que cuando tenemos un sistema muy congestionado, por ejemplo acá y aumentamos un poco la demanda por ejemplo este aumento. Llamemos a este aumento igual a delta. Vemos que la espera aumenta significativamente. Vemos que el delta de demora es significativo. Si nosotros pudiésemos trasladar este delta de demanda a un período donde no hay congestión, esta misma cantidad de viajes veríamos que el cambio o la demora marginal en que incurren todos los usuarios es bastante pequeña, casi despreciable. Por lo tanto, es muy interesante poder en sistemas, donde hay alta congestión en algunos períodos, trasladar parte de los viajes en sistemas de transporte a periodos no congestionados. Eso va a producir una gran mejora en el período congestionado y no deteriorar mucho la demora en el período no congestionado. Veamos ahora un sistema donde los tiempos de servicio son determinísticos. En muchos sistemas, la atención puede automatizarse y demorarnos siempre lo mismo con cada usuario. En este caso, una forma de análisis que parece relevante es el sistema MD1 para el cual también podemos obtener ecuaciones en estado de régimen. En el sistema MD1 lo que vamos a asumir es que la llegada al sistema es de acuerdo a un proceso Poisson. O sea, el tiempo entre llegadas es distribuido exponencial, pero el tiempo en que tarda al servidor en atender a cada usuario es constante, siempre el mismo. O sea, tenemos llegadas Markovianas, y tiempos de servicio constantes, determinísticos a una tasa 1 partido por mu es el tiempo que me demoro con cada usuario. Si eso es así, podemos demostrar, entre otras ecuaciones que la cantidad de usuarios esperados en el sistemas es ro por 2 menos ro partido por 2 por 1 menos ro. Que el tiempo promedio en el sistema es 2 menos ro partido por 2 mu, 1 menos ro. Y una cosa que es muy relevante, y mirémosla acá, es que el tiempo en cola es igual a ro partido por dos veces mu 1 menos ro. Si ustedes comparan este tiempo en cola con el sistema MM1, se pueden dar cuenta que la espera en cola se reduce exactamente a la mitad si somos capaces de pasar de un tiempo de servicio exponencial a un tiempo de servicio determinístico. En muchos casos no tenemos como controlar el proceso de llegada de los usuarios del sistema, pero sí podemos controlar que el tiempo de servicio tenga menos variabilidad. En el extremo, si somos capaces de pasar de un exponencial a uno determinístico, vamos a haber reducido a la mitad los tiempos de espera en cola que son los que más afectan a los usuarios. Y también podemos calcular utilizando el teorema de Little, la cantidad de usuarios en cola como vemos en la expresión que tenemos acá. En resumen, vimos sistema MM1 y sistema MD1. Vimos como la aleatoriedad puede cambiar significativamente lo que habíamos obtenido para sistemas en que todo era determinístico. Cuando todo era determinístico no había espera en colas siempre y cuando la tasa de llegada fuera menor a la tasa de servicio. En sistemas con aleatoriedad vemos que la espera aumenta significativamente cuando nos vamos acercando a la capacidad. También vimos como hacer más determinístico o reducir la variabilidad en el tiempo de servicio puede reducir significativamente la espera en colas en sistemas con un servidor y con llegadas exponenciales.
