Sistemas con aleatoridad en las llegadas y servicio

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Del curso dictado por Pontificia Universidad Católica de Chile

Análisis de Sistemas de Transporte

335 calificaciones

Pontificia Universidad Católica de Chile

Análisis de Sistemas de Transporte

335 calificaciones

Este curso es una introducción a las metodologías fundamentales para la gestión, planificación y evaluación de sistemas de transporte de pasajeros. Se aprenderán técnicas usadas en la práctica para estimar la demanda, modelar la operación y realizar análisis económicos de proyectos de transporte. Algunos temas estudiados incluyen: modelo clásico de transporte de cuatro etapas, modelo de distribución de viajes gravitacional, modelo de elección discreta logit, teoría de colas, análisis de redes, paradoja de Braess, tarificación por congestión y evaluación social de proyectos de transporte.

De la lección

Teoría de colas

El objetivo de este módulo es que comprendas el concepto de variabilidad y los efectos que tiene sobre los sistemas y servicios. Al final de este módulo serás capaz de construir el diagrama de curvas de flujos acumulados para cualquier situación dada y, a partir de él, inferir información relevante. Esto te dará la información necesaria para resolver problemas de teoría de colas utilizando el Teorema de Little e identificar otro tipo de sistemas Markovianos.

Sistemas con aleatoridad en las llegadas y servicio9:42

Conoce a los instructores

Ricardo Giesen
Profesor Asociado
Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS, www.cedeus.cl); Centro de Excelencia en BRT (www.brt.cl); Centro de Gestión de Desastres Naturales (CIGIDEN, www.cigiden.cl)
Felipe Delgado
Profesor Asistente
Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS), All Latitudes and Cultures BRT Centre of Excellence (www.brt.cl)
Juan de Dios Ortuzar
Profesor Emérito
Departamento de Ingeniería de Transporte y Logística, Centro de Desarrollo Urbano Sustentable (CEDEUS), All Latitudes and Cultures BRT Centre of Excellence (www.brt.cl)

[AUDIO_EN_BLANCO]

Bienvenidos a la sesión cinco de sistemas de espera y teoría de colas.

En esta sesión estudiaremos sistemas con aleatoriedad en los

servicios y en las llegadas.

¿Por qué nos interesa estudiar aleatoriedad?

Porque cuando miramos sistemas reales,

nos damos cuenta de que los tiempos entre llegadas no son determinísticos.

Si uno tomara una fotografía aérea, por ejemplo, de un eje vial donde transitan

vehículos veríamos el dibujo que tenemos abajo más que el que tenemos arriba.

Veríamos distancias que no están equiespaciadas,

y que el tiempo entre pasadas no son iguales.

Lo mismo si uno ve el proceso de llegada a cualquier servicio.

En general, los tiempos entre llegadas no son determinísticos.

Son aleatorios.

Por otra parte, si uno mira los tiempos de servicio, en muchos sistemas sobre todo en

los sistemas no automatizados, los tiempos de servicio también tienen aleatoriedad.

En sistemas con muchos usuarios en general

lo que vamos a ver es que las llegadas se aproximan a un proceso de Poisson.

Por ejemplo en bancos, supermercados, sistemas de transporte, terminal de metro

un terminal aéreo, un terminal rodoviario.

En general lo que vemos es que si hay muchos usuarios que no se coordinan

y cada uno tiene un proceso independiente, la superposición de esos procesos de

llegada va a hacer que el proceso que nosotros veamos sea un proceso Poisson.

Eso no es cierto si los usuarios se coordinan o vienen juntos,

ya sea porque llegan todos en el mismo tren todos en un avión.

Cuando llega un barco a un puerto,

lo que uno ve es que llega un gran número de contenedores simultáneamente.

En todos esos sistemas lo que necesitaríamos es ocupar algo

más sofisticado.

Pero para efectos de nuestro análisis, sobre todo cuando llegamos al caso en que

hay usuarios en que llegan a una estación, por ejemplo, de metro desde sus casas,

independientemente, lo que uno normalmente vería es un proceso Poisson.

Y en este caso, un sistema muy sencillo de analizar donde todos

los procesos de llegada son Poisson, y que además los tiempos de servicios son

exponenciales vamos a ver este sistema MM1.

En este sistema MM1, las llegadas dijimos, tienen un proceso Poisson.

Luego el tiempo de servicio entre llegadas es exponencial,

el tiempo de servicio en el servidor es exponencial.

Veamos algunas relaciones que se pueden construir.

La tasa de utilización de este sistema va a ser ro

que es igual a la tasa de llegada partida por mu.

En el largo plazo, en el número total de llegadas va ser lambda por algún t grande,

dividido por la tasa de atención que es mu por un t grande,

se cancelan los t y nos va a quedar lambda partido por mu.

Para que el sistema sea estable, la tasa de llegada tiene que ser menor que

la tasa de servicio, y por lo tanto lambda partido por mu tiene que ser menor que 1.

Si eso se cumple la probabilidad de que hayan n usuarios en el sistema se puede

demostrar que es igual a 1 menos ro, por ro elevado a n.

También podemos demostrar que el número esperado de usuarios en el sistema

dada la ecuación anterior,

y desarrollando esos términos es ro dividido por 1 menos ro y que el tiempo

promedio de un usuario en el sistema es igual a 1 partido por mu menos lambda.

Esta fórmula la derivaremos en un video aparte para los que estén interesados

pero para los que no les interese la matemática,

nos podemos quedar con esta forma funcional.

El tiempo promedio en cola,

a partir de las relaciones anteriores si w era igual a 1 partido por

mu menos lambda restando el tiempo de servicio

podemos obtener el tiempo de espera en cola como ro partido por mu menos lambda.

Y la cantidad de usuarios en cola a partir del teorema de Little y la relación

anterior, podemos ver que es ro cuadrado partido por 1 menos ro.

Veamos en este gráfico el tiempo de espera en un sistema.

Si miramos el tiempo de espera en el sistema MM1,

lo que vemos es que a medida que nos movemos en el eje de las x

donde movemos lambda y donde la capacidad es mu, el sistema está definido,

la espera está definida en la medida que lambda sea menor que mu.

Si lambda es menor que mu y lambda es cercano a 0 o muy bajo.

El tiempo de espera en el sistema es igual al tiempo de servicio,

que es 1 partido por mu.

Por lo tanto, el sistema parte de acá en 1 partido por mu en el

en el comienzo de la curva.

En la medida que nos vamos moviendo y lambda es pequeño, la

espera no aumenta significativamente hasta que nos vamos acercando a la capacidad.

Cuando nos acercamos a la capacidad en sistemas donde las llegadas son

aleatorias y los tiempos de servicios son aleatorios, vemos que rápidamente la curva

empieza a subir y tiende a infinito a la medida que nos acercamos a la asíntota,

que en este caso es la capacidad del sistema.

Por lo tanto, una recomendación muy importante es tratar de

evitar llegar cercanos a la capacidad porque en esos casos nuestra espera

aumenta significativamente como vemos en el gráfico.

En este gráfico podemos hacer un dibujo, y voy a dibujar acá.

Si tenemos lambda acá y mu es la capacidad vemos que, a flujo libre, cuando no

hay nadie la espera es igual a 1 partido por mu, que es el tiempo de servicio.

En la medida que empieza a aumentar lambda el valor no crece

significativamente hasta que nos acercamos a la capacidad.

Cuando nos acercamos a la capacidad el valor crece significativamente.

Un análisis que podemos hacer acá es que cuando tenemos un sistema muy

congestionado, por ejemplo acá y aumentamos un poco la

demanda por ejemplo este aumento.

Llamemos a este aumento igual a delta.

Vemos que la espera aumenta significativamente.

Vemos que el delta de demora es significativo.

Si nosotros pudiésemos trasladar este delta de demanda a un período donde no hay

congestión, esta misma cantidad de viajes veríamos que

el cambio o la demora marginal en que incurren todos los

usuarios es bastante pequeña, casi despreciable.

Por lo tanto, es muy interesante poder en sistemas,

donde hay alta congestión en algunos períodos, trasladar parte de los viajes

en sistemas de transporte a periodos no congestionados.

Eso va a producir una gran mejora en el período congestionado

y no deteriorar mucho la demora en el período no congestionado.

Veamos ahora un sistema donde los tiempos de servicio son determinísticos.

En muchos sistemas, la atención puede

automatizarse y demorarnos siempre lo mismo con cada usuario.

En este caso, una forma de análisis que parece relevante es el

sistema MD1 para el cual también podemos obtener ecuaciones en estado de régimen.

En el sistema MD1 lo que vamos a asumir es que la llegada

al sistema es de acuerdo a un proceso Poisson.

O sea, el tiempo entre llegadas es distribuido exponencial, pero el tiempo

en que tarda al servidor en atender a cada usuario es constante, siempre el mismo.

O sea, tenemos llegadas Markovianas, y tiempos de servicio constantes,

determinísticos a una tasa 1 partido por mu

es el tiempo que me demoro con cada usuario.

Si eso es así, podemos demostrar,

entre otras ecuaciones que la cantidad de usuarios esperados en el sistemas

es ro por 2 menos ro partido por 2 por 1 menos ro.

Que el tiempo promedio en el sistema es 2 menos ro partido por 2 mu, 1 menos ro.

Y una cosa que es muy relevante, y mirémosla acá,

es que el tiempo en cola es igual a ro partido por dos veces mu 1 menos ro.

Si ustedes comparan este tiempo en cola con el sistema MM1, se pueden dar

cuenta que la espera en cola se reduce exactamente a la mitad si somos capaces de

pasar de un tiempo de servicio exponencial a un tiempo de servicio determinístico.

En muchos casos no tenemos como controlar el proceso de llegada de los usuarios

del sistema,

pero sí podemos controlar que el tiempo de servicio tenga menos variabilidad.

En el extremo, si somos capaces de pasar de un exponencial a uno determinístico,

vamos a haber reducido a la mitad los tiempos de espera en cola

que son los que más afectan a los usuarios.

Y también podemos calcular utilizando el teorema de Little,

la cantidad de usuarios en cola como vemos en la expresión que tenemos acá.

En resumen, vimos sistema MM1 y sistema MD1.

Vimos como la aleatoriedad puede cambiar significativamente lo

que habíamos obtenido para sistemas en que todo era determinístico.

Cuando todo era determinístico no había espera en colas

siempre y cuando la tasa de llegada fuera menor a la tasa de servicio.

En sistemas con aleatoriedad vemos que la espera

aumenta significativamente cuando nos vamos acercando a la capacidad.

También vimos como hacer más determinístico o reducir la variabilidad

en el tiempo de servicio puede reducir significativamente la espera en colas

en sistemas con un servidor y con llegadas exponenciales.

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