[AUDIO EN BLANCO] Hola. En esta sesión de sistemas de espera y teorÃa de cola estudiaremos la notación de Kendall y sistemas D/D/1. Entonces veamos cuál es la notación de Kendall. Los sistemas de espera pueden tener distintas caracterÃsticas dependiendo del proceso de llegada, el proceso de atención y cuántos servidores hay. Para resumir todas estas caracterÃsticas, la notación de Kendall nos permite de una manera más o menos abreviada manejar todos estos términos. Un sistema de espera en la notación de Kendall resumida, que es la que revisaremos en el curso, se puede resumir en 3 indicadores. El primer parámetro, A, es la distribución de tiempos de llegadas. El segundo, S, corresponde a la distribución de tiempos de servicio. Y K, el número de servidores. Luego A, S, y K nos van a definir rápidamente cuál es el proceso de llegada, cuál es el proceso de servicios, y cuál es el número de servidores. ¿Cuáles son los valores más comunes, y para los cuales existen resultados? En general son poner como A y S, D, en el caso que sean determinÃsticos. Si llega un usuario cada un minuto entonces esto es un proceso D, o si llega cada n segundos, esto también va a ser un proceso D, determinÃstico, conocido. O si nos demoramos exactamente lo mismo con cada uno en atenderlo, este es un proceso D, determinÃstico, conocido. Si el proceso de llegada es Markoviano, o exponencial, tenemos un proceso de iii de llegadas, vamos a denotar todo eso como M. Y eso indica que el tiempo entre llegadas distribuye exponencial. La distribución exponencial es la que va a gobernar ese proceso y se conoce con la M de Markoviano porque es un proceso sin memoria. Lo mismo va a ocurrir con el tiempo de servicios. Si el tiempo de servicios distribuye exponencial entonces vamos a ocupar la letra M para distinguir ese proceso. En general se pueden ocupar otras letras. En algunos casos vamos a ocupar G para definir tiempos que tienen una distribución general. Y entonces cuando uno quiere denotar un resultado que es general, que sirve con cualquier distribución de tiempo entre llegada y cualquier distribución entre tiempo de servicios, vamos a hablar de sistemas G/G con M, por ejemplo, servidores o con un servidor. Y para eso vamos a notar que el sistema es G/G/1. Vamos a partir por el sistema más sencillo de analizar, que es el sistema donde los tiempos entre llegadas son determinÃsticos y conocidos, los tiempos de atención son constantes, determinÃsticos, y hay un solo servidor. Este es el sistema D/D/D que estudiaremos en esta sección. Todo es determinÃstico en este caso y tenemos un solo servidor. ¿Qué casos podrÃamos tener? Supongamos que la tasa de llegada es lamnda, y la de servicio es mu, que son las que comúnmente se utilizan para esto. Si las llegadas son menos que la capacidad de atención, por lo tanto la tasa de llegada es menor que mu, landa es menor que mu no se va a formar cola. Cada usuario va a ser atendido en el tiempo de servicio, 1 partido por mu y cada 1 partido por landa va a llegar un nuevo usuario. Por lo tanto si ustedes escribieran, y les recomiendo hacer el ejercicio, en el diagrama de llegadas y salidas acumuladas pongan subidas, llegadas, cada 1 partido por landa, y salidas, una vez que ocurrió la primera llegada en 1 partido por mu. Verán que la salida se produce antes de que haya ocurrido la siguiente llegada y por lo tanto el servidor queda vacÃo cuando llega el nuevo usuario y asà va a suceder indefinidamente. Este sistema no tiene gran complejidad, el tiempo de espera en cola es 0 y el tiempo de servicio es 1 partido por mu y no se forma cola. ¿Qué pasarÃa si la tasa de llegada es exactamente igual al tiempo de servicio? En un sistema completamente determinÃstico, no se formarÃa cola. Nuevamente vayan a sus diagramas de llegadas y salidas acumuladas descrito, y podrÃan hacer el dibujo y ver que cada 1 partido por landa unidades de tiempo llega un usuario, que es atendido en 1 partido por mu unidades de tiempo, sale del sistema y ustedes van a ver que justo cuando sale un usuario del sistema llega otro que ve el servidor vacÃo. En este caso es un sistema ideal, en el que el servidor está siempre ocupado y los usuarios no esperan en cola. Tiempo de espera en cola, tiempo de servicio 1 partido por mu y el servidor completamente ocupado. ¿Qué sistemas conocemos que funcionen asÃ? La lÃnea de producción. En una lÃnea de producción los elementos van llegando a una tasa constante y van saliendo justo cuando sale uno entra el otro. Esa es la idea. Que los servidores estén todo el tiempo siendo ocupados. ¿Qué ocurre si la tasa de llegada es mayor que mu? Mientras haya una tasa mayor que la tasa de salida, se va a formar cola. Si esto se prolonga en el tiempo, la cola se va a ir haciendo infinita y el sistema no va a estabilizarse nunca porque siempre va a llegar más de lo que sale porque entonces podrÃa acumular infinito. Entonces ese no va a ser un sistema estable y tampoco tendrÃa mucho interés. Lo que si nos va a interesar, y para eso son útiles los diagramas de llegada y salida acumuladas, son sistemas donde eventualmente en algunos perÃodos la tasa de llegada es mayor que la tasa de salida, pero en otros perÃodos la tasa de llegada es menor que la tasa de salida y por lo tanto lo que a vamos a ver es que la cola que se forma en un determinado instante de tiempo, luego se va a ir disipando en la medida que nuestra tasa de salida es mayor que la tasa de llegada. Esto ocurre en muchos sistemas, en perÃodos punta, donde vemos más llegadas que la capacidad de atenderla y que luego son las colas se disipan en la medida que somos capaces de atender. Cuando cargamos un avión, por ejemplo, uno ve que la tasa de atención, el tiempo que demora cada persona en subir al avión es mayor, y normalmente uno acumula a todos los usuarios en un instante y tenemos una gran tasa que se va disipando hasta que el avión finalmente está cargado, está listo para partir. Y esto va a ocurrir en muchos otros sistemas de transporte. Si las tasas van cambiando en el tiempo lo que podemos ir viendo es que las colas se van formando y disipando en el tiempo. Y luego, si somos capaces de predecir bien cuáles son las caracterÃsticas de las tasas de llegada y cuáles son las caracterÃsticas de las tasas de atención, podemos ir analizando con nuestro diagrama de llegadas y salidas acumuladas, cuál va a ser la evolución del sistema. También nuestro diagrama nos permitirÃa diseñar el sistema de mejor manera porque podrÃamos evaluar si somos capaces de controlar cuál es la tasa de atención, tal vez programar turnos para poder atender más a usuarios en las horas que hay más llegadas, y tal vez proponer descansos de los servidores en horarios donde hay menos llegadas podemos minimizar las esperas de los usuarios en el sistema, programando mejor nuestra capacidad para los horarios crÃticos. En resumen, en esta sesión, estudiamos la notación de Kendall, que nos permitÃa resumidamente, con 3 parámetros, proceso de llegada, proceso de atención y número de servidores, indicar cuál es la caracterÃstica del sistema. Y luego estudiamos un sistema más sencillo que en notación de Kendall, D/D/1, que significa que los tiempos entre llegadas son determinÃsticos, que el proceso de atención es determinÃstico, que nos demoramos lo mismo con cada usuario y que hay un solo servidor haciendo las atenciones.
