你好,这一次呢,我们上次做了一些铺垫 讲了一些集合论的初步知识。
这一次我们讲一些最主要的逻辑-集合论悖论 第一个就是布拉里—弗蒂悖论
这是一个关于最大序数的悖论,上一节课我们简单地说 了一下什么叫序数。
1895 年 康托尔已经发现这个悖论,并于
1896 年 告知了希尔伯特,但未公开发表
这个 1897 年3 月 28 号
意大利数学家 Burali-Forti
在 巴尔,巴拉摩数学小组会上宣读论文
《超穷数本身的一个问题》,公开发表了最大序数悖论
该悖论呢与集合论中的良序集有关 可叙述如下。
在集合论中有这样三个定理:每一个良序集必有一个序数
凡由序数组成的集合,按其大小为序排列时 必为一个良序集。
一切小于或等于序数 α 的序数所组成的良序集,其序数为
α + 1 根据康托尔集合论的造集规则(概括规则),这个
概括规则,由所有序数呢可以组成一个良序集 Δ
其序数为小 δ,这个 δ 呢,小 δ 应该包括
由所有这个序数组成的良序集 Δ 之中
因为它是由所有序数组成的嘛 这个呢而根据(3)
由包括了 δ,小 δ 在内的所有序数组成的良序集大
Δ 的序数应为 δ + 1 比 δ 要大,故 δ
呢不会是所有 序数的集合的序数,由此产生逻辑矛盾
由此产生逻辑矛盾,这叫最大序数悖论 还有一个呢,前一个悖论与
序数有关,康托尔悖论呢与基数有关 是关于最大基数的悖论。
1899 年7 月 28 号和 8 月 31 号 康托尔在这,在给了
Dedekind 的信中写道,信中讨论了这一个悖论
素朴集合论有一条康托尔定理 任何集合 M
的基数小于其幂集 这个这个 P(M) 的基数。
根据概括规则,可由一切集合组成幂集 μ 由康托尔定理,μ
的基数呢小于 μ 的 幂集 P(μ) 的基数,但是
P(μ) 的基数,P(μ) 呢又是 μ 的一子集
又是 μ 的一子集,这个呢 μ
的基数呢,P(μ) 是 μ 的一子集 这可以证明的。
设 x 为 μ 的一个基数,子集 这个呢,即
x ∈ 这个这个 这个 μ 的幂集,由此可知呢
x 是一个集合 故 x ∈ μ ,因此
这个呢这个 μ 的幂集是 μ 的一子集 μ
的一子集,从而这个呢,μ 的幂集的基数小于或等于
μ 的基数 由此产生逻辑矛盾,这是最大基数悖论。
可能 这个呢电视机前有人听不懂,没关系
这个个别的地方听不懂没关系,我们跟着走,往前走就行了。
下面 这个这两个悖论呢涉及集合论的专门概念
和原则比较多,当时人们还存有一种希望 它们可能是由某种技术性错误引起的
从而有可能通过发现和改正错误而加以排除。
所以 这些悖论呢并没有引起当时数学界的足够重视和注意
在 1900 年巴黎国际数学大会上
这个数学大会啊非常有名,这个 著名数学家
Poincare 就是对那个 康托尔的集合论
也是横加指责的,一个人之一吧,大胆 宣称:"现在我们可以说:完全的严格性已经达到了。
" 数学呢就是严格性、 精确性之母,现在呢
通过集合论等等等等等等,这个完全的严格性已经达到了
事实很快证明,这个断言呢是过于乐观了 因为后面发现了罗素悖论
罗素悖论呢先说吧这是素朴集合论中的一个悖论
根据概括规则,就是任一条件可以定义集合 任一条件可以定义集合,那么我们就可以
由下面的条件定义集合,对于任一 x 而言 x
属于 s,当且仅当 x 不属于 x x
属于 s,当且仅当 x
呢不属于 x,那就是什么呢?由
不属于它自身的那些集合构成的一个更大的集合
那就是 s。
这个 s 的元素的条件是
成为 s 的元素的条件是,它不能是它自己的元素 在这个条件中,用
s 替换 x 得到悖论性结果,s 是 s 的一个元素
当且仅当 s 不属于 s,这个集合呢只涉及
"集合","集合的元素"的概,简单概念 所以这是一个著名的悖论叫罗素悖论。
那实际上 这个呢我们用自然语言来表述吧,用自然语言 来描述。
那呢我们说物以类聚 人以群分,世界上的事物呢是划分为很多的类别的
那呢我们谈类的吧,我们谈类
这个呢我们不照着那个 ppt
的讲,那 有很多的类,你比如有桌子类、
椅子类 植物类、 动物类、 人类
北大学生的类、 清华学生的类 大学的类等等等等,有很多很多的不同的类别
好,在这些类别 中呢,我们可以对这些类别再做一个划分
那就是什么呢?有些类啊 它那个类本身不能作
那个类的元素,那大部分类都是这样的类。
你比如椅子类 由椅子构成的类,它的元素是什么?一把一把椅子呗
一把一把椅子,但椅子的类是一个,一把椅子吗? 不是嘛。
椅子的类,椅子存在于物理时空中可以被感知,那个椅子的类
不在物理时空中,你没法感知
所以这个呢,那椅子的类呢就不能成为 椅子类的一个元素。
它就是不以自身为元素的类 人类也是这样的,绝大多数类都这样。
人类,人类的元素是什么啊?一个一个人,像你我他这样的 一个一个人,但人类是一个人吗?他不是
所以人类不能是人这个类的 元素,它是不以自身为元素的类。
还有有些类呢 它是可以作自身元素的
可以作自身元素的,有这样的类吗? 还真有。
你比如抽象事物的类 什么叫抽象事物啊?那就是不存在于物理时空中
不能被我们的感官所感知。
你比如存在我们的思维抽象中吧 你比如概念啊、
命题啊、 学说啊、 思想啊等等等等,这样
的,还有那个我们有的时候我们所说的 共相啊、
性质、 关系等等等等 这个呢这些抽象事物的类。
好 抽象事物的类,它的元素是一个个抽象事物吗?
那抽象事物的类 它存在物理时空吗?你能感知到它吗?不能
因此它也是一抽象事物,所以呢它也应该成为这个类的元素
你比如由所有集合所构成的一集合 它的,只要是一个集合都可以成为它的元素,那
所有集合的集合也是一个集合呀,所以它也应该包括
这个这个自身里面,这是以自身为元素的类
好,我们现在设想,把所有不以自身为元素的类
收集起来,构成一个更大的类,就是 所有不以自身为元素的类所组成的类
好,这个类的元素条件呢就是不能作为自身的元素
好,那现在由这些 类组成的一个更大的类,所有不以自身为元素的类所组成的类
既然它也是一个类,它也有一个,它是不是它自身元素的问题呀
那我们来看啊,如果它是以自身为元素的类
而这个类怎么组成的?是只把所有不以自身为元素的类收集起来的
它不符合这个条件,所以它不能以自身为元素 不能把它自己放到这个集合,类里面去
好,如果它是不以自身为元素的类
那个那大类是怎么组成的?把所有不以自身为元素的类收集起来构成的
它符合这个条件,所以它以自身为元素
所以这个类呢,所有不以自身为元素的类所组成的类
是自身的元素,当且仅当它不是自身的元素
这就是著名的罗素悖论 罗素悖论。
这个呢 罗素悖论呢,1901
年 罗素就发现了这个悖论,他怎么发现呢?他是在
这个读另一个,他之前的逻辑学家,数学家,哲学家 弗雷格的书的时候发现的。
他,1902 年 6 月 他罗素呢年轻人,那时候是一年轻人,二十多岁吧
给罗素写了一封信,对其工作大加赞赏
我发现我在一切本质方面都赞成您的观点
我在您的著作中找到了在其他逻辑学家的著作中 不曾有过的探讨,区分和定义。
不过,罗素接着写道 他只在《算术基本规律》,罗素的一,弗雷格的一本重要著作
第一卷的一个地方发现了困难,这就是后来著名的罗素悖论
弗雷格,科学家 我们看了啊,这两个科学家都非常诚实,非常诚实
他这个这个这个 罗素非常诚实
实际上是罗素呢独立地做出了 在逻辑学上面的很多发现,然后他
做出了他的发现之后,去读弗雷格的书,然后呢
发现弗雷格所做的好多工作呢,跟他所做的
是非常接近,非常类似,甚至就是同样的工作 但是弗雷格做的比他早
尽管罗素做的时候呢他根本不知道弗雷格的工作,他事后才知道,但是呢
这个在罗素之前 弗雷格的工作实际上很少被人关注
很少被人关注,很少被人注意,很少得到 科学共同体的承认。
罗素呢 在他的文章,他的书里面 大,极力推荐这个这个
弗雷格的工作,弗雷格的工作,然后 因为罗素的推荐呢,弗雷格后来变得非常有名
这个这个罗素呢非常诚实 弗雷格本人也很诚实,他发现了,罗素给他写信
他发现那罗素悖论,他知道罗素悖论,他立刻认识到
这个困难的严重性对他体系构成一个巨大的威胁
巨大的威胁,不是一个小麻烦,而是一个大麻烦。
当时他 赶紧采取了一些补救措施,其中之一是给当时马上就要出版的
《算术的基本规律》第二卷加写了一个跋语,报告了这个悖论
并且说到,并且写到,在工作结束的时候
却发现自己建造的大厦的基础之一被动摇了
对一个科学家来说,没有任何事情比这更为不幸的了
恰好在 本卷的印刷即将完成的时候,伯特兰·罗素先生的一封信
就把我置于这样的境地,成问题的是我的公理 V。
在 灾难中有伴相随,对于受难者来说是一个安慰
如果这也是一种安慰的话,那么我也得到这种安慰了,是反讽式的
因为在证明中使用了概念的外延 类,集合的每一个人,都与我处于同样的地位
成为问题的不仅是我建立算术的 特殊方式,而是算术是否完全有可能
被给予一个逻辑基础。
他充分认识到 他的问题的严重性,罗素悖论所导致的问题的严重性
好,这个罗素呢,为了把他的悖论呢通俗化
讲给普通人听也能听懂,他搞了一个,弄了一个理发师悖论
他说,本村庄里,有某个村庄里有这样一个理发师,他规定
给并且只给本村庄中不给自己刮胡子的人刮胡子
那么,有一个问题,这个理发师他究竟给不给他自己刮胡子呢?
他说,他给所有不给自己刮胡子的人,这个村庄里不给刮胡子的人刮胡子
并且只给这个村庄里不给自己刮胡子的人 刮胡子,换句话说,如果他给他自己刮胡子,他就不给他自己刮胡子,如果他给
所以就是,如果他给自己刮胡子,那个理发师就不给 他刮胡子,现在把这个规定应用于理发师本身
他给不给他自己刮胡子,如果他给他自己刮胡子,按照他的规定,他就不应该给他自己刮胡子
如果他不给他自己刮胡子,按照他自己的规定,他就应该给他自己刮胡子
由此就得到一个悖论性结果,就是这位理发师给自己刮胡子
当且仅当他不给他自己刮胡子
这是罗素悖论的一个日常语言的通俗版本
通俗呢常常意味着有些不严格 不严格。
这个理发师悖论呢,罗素悖论 很不好解决,罗素悖论涉及到我们
数学的基本概念,就是集合论基本概念,集合,元素,造集规则等等
而这个呢,那些究竟哪儿出,罗素悖论究竟
哪儿出的问题?不同的数学家,不同的人,有不同的认知,提出不同的办法
而这个悖论呢,有的时候很好的逃避掉 你比如说,有几种办法来逃避
这个理发师是本村庄里的人,但她是个女的,她不长胡子
因此她就不需要给自己刮胡子
因此呢,这位女理发师这么说呢,就没有悖论 没有悖论。
好,第二个办法,这个村,这位理发师呢
他给这个村庄里的人理发,刮胡子,理发,但他本人不是这个村庄里的
因此呢他的话没有矛盾,不会导致悖论 好,第三个办法
这个理发师呢他是这个村庄的 并且他也长胡子,他也需要他给自己刮胡子
那就是这个理发师呢说了一句自己不能
做出了一个自己不能兑现的承诺,说了一句疯话呗
不能把它当真,就像他说,他能够拔着自己头发上天一样 他不可能做到。
他就说了一句自己不可能 做到的一句疯话,这样呢你就别把它当真得了
这也没有悖论。
但是集合的悖论呢,罗素悖论 却是不是那么容易逃脱的。
我们要这个 特别是当时这个数学中有一个逻辑主义流派
他们认为什么?就是这个呢数学可以划归还原为逻辑
那什么意思呢?那就是从数学的概念
通过定义可以得到,从逻辑的概念通过定义可以得到其他
数学的概念,从这个这个逻辑的命题通过推演
可以得出其他的数学命题,然后我们呢由逻辑 逐步地发展出其他的数学理论。
我们保证逻辑是可靠的 一致的,由此我们就保证其他所有数学理论是可靠的,一致的,严格的 当时是这样的。
但是现在,在由逻辑发展及数学的
过程中,在中间步骤,由逻辑发展出集合论,由集合论发展代数理论
等等等等,然后有理数理论,然后复数理论,等等,这个开始过程中
就遇到了悖论,并且这个悖论呢,只与罗素悖论
这个罗素悖论只与一些最基本的数学概念,集合,元素,造集规则等等
有关,而那个布拉里福蒂悖论与素数啊
这个康托悖论与奇数,还有其他很多集合论里面专门概念有关
这个呢,罗素悖论很不容易解决 不那么容易解决,理发师悖论很容易解决
这个呢,所以那个罗素悖论 呢,据称导致了第三次数学危机
导致了第三次数学危机。
当然还有许多其他的逻辑数学悖论 我的悖论研究书中还写了,由于时间的关系呢
我们就不说它了,有兴趣的学员 自己去读我的书吧,或者读其他有关的书。
好,这一讲到这里。