你好,这一次呢我们讲严格悖论是否具有统一结构
这个这个问题呢源自于,是这样
严格悖论现在我们仅限于就是,就是指有矛盾等价式的那些悖论
特别主要是逻辑和逻辑数学悖论以及这个语义学悖论 Thomson 于 1962
年发表一篇论文 《论几个悖论》,证明通常所谓的逻辑数学悖论
和语义学悖论实际上有
共同的结构,他利用了康托尔的对角线方法 证明了一条对角线定理。
这个定理是这样的,设 S 是任一集合 R 是至少在 S
上有定义的任意关系 则 S 中不存在这样的元素
它与且与 S 中所有那些与其自身没有
R 关系的元素 具有 R 关系,具有 R 关系。
这个对角线定理 这个用集合论的语言来表述呢
这个定理就是这样的,不存在这样一个 y,y 属于
S 并且对任意的 x,若 x 属于 S 那么
yRx 并当且仅当
x 呢不 R x,x 不 R
x 这个呢,这个是对角线定理
由于集合可以用相应的谓词来刻画 因此我们可以把集合的语言
y 属于 S 翻译为一阶语言 y 是
S,S 代表一谓词嘛
于是这条定理的一阶语言表达就是这样的,不存在一个 y
y 是 S,并且对于任意的 x,x 属于,如果
x 属于,x 是 S 那么 yRx 当且仅当并非
xRx,只要使用反证法 存在消去、
全称消去、 分离规则等等 就能证明这个公式是一阶逻辑的定理。
Thomson 指出呢 这个理发师悖论、 格雷林悖论、
理查德悖论 罗素悖论都是建立在对角线方法之上的
先看格雷林悖论 这是
Thomson 重点分析的对象 作为对角线定理的特例,没有哪一个形容词的汇集中
会含有这样一个形容词,它对且只对该汇集中
所有那些"非自谓的"(不适用于自己)的形容词为真
但另一方面,我们确实可以把那些 所有那些不适用于自身的形容词叫做"非自谓的"
这后一个形容词就刻画了所有这些形容词的共同性质
由此导致悖论,由此导致悖论 这个呢再看理查德悖论的一个变体
令 N 呢是正整数集合,并设 N 是按字典顺序排列的
以便我们能够谈论 N 中第一个名称,第二个名称
令 Rx 表示,Ryx yRx
吧,表示,如果已用 N 中第 x 个名称命名了一个整数集合 则
y 不在该集合之中,那么 作为对角线定理的特例,在
N 中一定存在这样一个正整数集合 在 N 中没有它的命名,这个集合就是
是由这样的 x 组成的,就是 x 不 Rx
但另一方面,这个呢 这个集合本身就给出了这个集合的命名
由此导致悖论,由此导致悖论。
再看罗素悖论 令 S 是集合的一个汇集,再令 S'
是 S 中所有那些正常集合 本身不能作为自己的一个元素的集合,正常集合就是本身不能作为自己
的一个元素的集合的汇集,作为对角线定理的特例 在
S' 中,S' 就不是 S 中的一个集合
换句话说,如果存在由并且只由 S
中所有那些正常集合组成的汇集 则 S' 就不是这个汇集的元素。
特别地,如果 S 中所有的集合都是正常集 则 S 就不是它自身的元素。
但另一方面 本身不能作为自己的一个元素的集合也是一类集合的一条性质
根据素朴集合论的概括规则,也能够构成一个集合
这个集合也应该把它本身包含在自己之内,由此导致悖论
再看理发师悖论 设
S 是某村村民的集合,Rx yRx
定义为,y 给 x 理发 作为对角线定理的特例,在
S 中不存在这样的村民,他给并且只给那些不给自己理发的人理发
因而从理发师的规定出发,必然导致悖论。
由于前面已经说过的原因 Thomson 呢把这个悖论叫做"伪悖论" 由于对角线定理对理发师悖论的分析
最容易理解,后来有的逻辑学家把对角线定理干脆叫做"理发师定理" Thomson
呢没有分析说谎者悖论 但是这个国内呢,较早
比较系统的对悖论进行研究的张建军教授呢对这个做了分析 设
S 是所有命题的集合,R yRx 定义为"y 说
x 真" 作为对角线定理的特例,不存在这样一个命题,它说
x 为真当且仅当 x 为假 但是,根据拉姆塞、
斯特劳森 等人所主张的冗余真理论,每一个命题都自动地说它自己为真
因此构成说谎者悖论的语句 "本语句是假的"也是如此,由此造成悖论。
按照 拉姆塞的分类呢,格雷林悖论 理查德悖论、
罗素悖论、 理发师悖论、 说谎者悖论属于不同的悖论类型
而按照 Thomson 的分析呢,所有这些悖论呢都是具有
都有统一的结构,这就实际上取消了拉姆塞的分类 拉姆塞的分类。
正因为如此,在 Thomson 之后呢,有些西方逻辑学家
把所有这些悖论统称为对角线悖论 这个呢,这个有人
实际上这里所说的这些悖论呢实际上是指
表现为矛盾等价式的那些悖论
主要有,主要指逻辑集合论悖论
和语义学悖论,它不包括
很多很多,不包括归纳悖论 认知悖论、
合理行动和决策的悖论、 道德悖论,等等等等
还有芝诺悖论等等等等,所以 这个呢,不能由 Thomson
定理得出这样的结论 不加限制地说,这个呢所有悖论呢都有统一的结构
我认为这个说法绝对的肯定的是假的
我前面一再说,甚至不是所有悖论都表现为矛盾等价式
或者至少能划归为矛盾等价式,大多数 在文献中被称为悖论的
大多数悖论不表现为矛盾等价式 只是矛盾。
你比如 这个归纳悖论,杜亚悖论,彩票悖论
这个这个这个这个,渡鸦悖论呢,彩票悖论
这个 这个认知悖论,意外考试悖论,芝诺悖论
等等等等,纽康姆难题,等等等等,它都不表现为矛盾等价式
所以,不能那么 那么那么那么,不能把一些
断言呢不加限制的 加以推广。
实际上这个对角线悖论呢 只涉及很少一部分悖论
很少一部分悖论,你不能由对角线悖论呢得出说
所有悖论都有统一的结构,这个这个说法绝对是虚假的
你说芝诺悖论和 这个这个意外考试悖论,它们有什么统一的结构?
统一结构也许会有,还没发现 还有那彩票悖论,等等等等
那它们也表现为什么对角线定理,你用对角线定理去构造构造看 构造构造看。
这个不能把 有些适用于少部分悖论的一个说法
做无限制的推广,说它适用于所有悖论
因为在文献中被称为悖论的东西太多了
差别太大太大,所以我本人根本不相信
你能够在文献中通常所说的悖论 那些悖论里面找出某种
统一的结构,特别是找出像对角线定理这样的统一结构 我觉得不可能。
所以我们做科学研究的时候呢 你做推结论的时候,要十分的小心
谨慎,某个悖论 只适用于某个特定范围,你就不能把它说到超出这个范围之外
而某个范围在比较弱的意义上成立,你就不能
某个某个说法在比较弱的意义上成立,你就不能把它强化,把它变得很强很强
所以科学研究是一个非常
这个小心谨慎的事情,是一个非常细致的事情,我们这个这个
这个这个中国人呢,我们的传统思维里面呢,缺乏精细
精确严格这样的这样的要素
喜欢做一些大而无当的 这个这个说法,大而无当的说法
讨论大问题,就大问题做宏大 叙述,然后呢提出一些宏大的断言
根本没有做很仔细的思考,还是要避免,还是要避免
西方的学者 至少在我看到,特别是分析学者
做结论做分析的时候特别的小心谨慎,小心谨慎
这个不
把这个过弱的结论夸张到很强
不把适用范围很小很窄的说法把它变得很强
变得适用范围很广,这一点值得学习,科学研究
必须十分的小心谨慎 [空白_录音]