Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real del movimiento en línea recta será el marco con el cual asociamos un primer significado y recapitulamos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Lineal. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx . Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Situación: el buzo en el océano. Representación gráfica.
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
1.- El Cálculo - Modelo Lineal
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De la lección
Aplicamos: del Contexto Matemático de Nuevo al Contexto Real
Hablaremos ahora de la función lineal que hemos construido en el contexto matemático, y regresaremos con ella a nuevos contextos reales. De este modo vamos a practicar con la aplicación del conocimiento matemático.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Nos quedamos en la situación del buzo, estábamos viendo la situación de peligro
a las once atmósferas, y vimos que había un tiempo de cuarenta punto veinticuatro
minutos para que él estuviera you en peligro.
Vean como en esta representación que hemos hecho, o sea, si jugamos ahora con
las letras, en el sentido de que construimos un modelo matemáticos en
términos de la profundidad a la que está el buzo, pero también construimos el
modelo matemático en términos del tiempo que transcurre suponiendo que el buzo
esta bajando a razón de dos punto cinco, qué eran, metros por minuto.
Esto me hizo pensar en las cuestiones gráficas, ambos modelos son modelos
lineales, ambos modelos tendrán su representación como una recta, pero
quisiera ver estos modelos en un paquete en donde podamos hacer las relaciones
entre ellos de manera simultanea, o sea, verlos al mismo tiempo porque eso creo
que es un buen ejercicio para nuestra habilidad de interpretar un gráfico.
Si me acompañan usaría ahora nuevamente el Graphing Calculator, y en ese Graphing
Calculator tengo introducidas, en esta ocasión, dos gráficas porque son dos
funciones lineales. La primera de ellas es la función que
corresponde con la presión en términos de la profundidad.
Y la segunda es la que corresponde con la presión en términos del tiempo, ¿se
fijan? En el software no tengo yo la oportunidad
de distinguir cuando es el tiempo y cuando es la profundidad, todo está en mi
cerebro, o sea, tengo que saber interpretar las cosas cuando veo el
gráfico. Una cosa que hemos notado en los
estudiantes y que es punto también de investigación educativa, es esto de la
visualización, en particular, cuando veo un gráfico no está nuestra mente
acostumbrada a decir qué estoy graficando en el eje vertical y qué estoy graficando
en el eje horizontal, porque de eso depende la interpretación que se haga del
gráfico. Un gráfico, así como lo ven ahorita en la
pantalla, es toda una visión global. Compacta global.
Pero cuando la vemos con ojos de análisis, necesitamos precisar campos de
visión en particular, números, expresiones, o sea, no es lo mismo ver
que visualizar. No me refiero a eso con visualizar,
visualizar para mí, en eso estamos también investigando, es ese poder de
transitar incluso entre las representaciones matemáticas.
De hacerse preguntas y ser capaz de contestarla, y la contestación, la
respuesta es algo que va al terreno numérico o al terreno algebraico, aún y
cuando la información venga del terreno gráfico.
Entonces en ese sentido quisiera que viéramos una visualización como un algo
más, un algo más que se necesita desarrollar, y en ese sentido, les
propongo esta imagen. Ahorita que la están ustedes viendo,
cuando yo veo el eje x conectado con nuestra situación, si estoy viendo la
gráfica azul, tendría que estar pensando que x significa la profundidad del buzo.
Y si estoy viendo la gráfica en rojo, tendría que pensar que la x está
significando el tiempo que el buzo ha bajado, que lleva bajando desde la
superficie del océano, en el eje y, no me atrevo a cambiar la información, se
fijan, este gráfico, no les estoy graficando dos cosas separadas que nada
tienen que ver. Aquí en el eje y tenemos siempre la
representación de la presión a la que está sujeto el buco, o sea, las unidades
son atmósferas. Por eso coinciden los dos gráficos en el
uno, porque inicialmente, cuando el buzo estaba en la profundidad cero o en el
tiempo cero, la presión era una atmósfera, ¿no?
Coinciden esos dos valores. ¿Pero cómo podríamos ver entonces en
estos gráficos la respuesta por ejemplo de la situación crítica del buzo que
decíamos de que estuviera a una presión de once atmósferas?
Pensar en once atmósferas sería pensar en el eje vertical, buscando el número once,
si ustedes se fijan pudiera yo arrastrar aquí, y si veo aquí el número once, you
no vi nada de los gráficos, ¿cierto? Este once atmósferas está aquí, pero lo
tengo que conectar con los gráficos acá. Podríamos hacer un intento, gracias a
este programa, podríamos hacer un qué, sería aquí un alejamiento, zoom out, este
zoom out me está permitiendo ver valores mayores acá,¿se fijan?
you aquí puedo ver el once, aquí está el número once, en este lugar donde tengo el
cursor. Y podría irme por aquí, por la
horizontal, claro que si me fuera derecha derecha, eso no lo puedo yo garantizar.
Pero por aquí, más o menos en la roja, yo estoy viendo un lugar, que si lo bajo en
la vertical, llego a un cuarenta y si ustedes bien recuerdan nuestra sesión
anterior, la respuesta fue de cuarenta punto veinticuatro minutos para que el
buzo estuviera en peligro, o sea, este cuarenta punto veinticuatro que no
alcanzo a ver completamente en su aspecto numérico, si lo pude ver gracias a lo
algebraico acá, pero también en lo gráfico me está situando un punto de la
recta para el cual si yo me muevo ahora hacia acá llegaría al valor once.
Ese número once, ahorita en esta vertical, me señala un punto de la recto
roja, que si yo bajo,, voy a ir a dar con el cuarenta punto veinticuatro.
Y qué pasa con la azul ahí, la presión en el cuarenta no es el once, ese once de
presión está acá, siempre. En una horizontal que se encuentra a la
altura once. Entonces para encontrar justamente a qué
profundidad se encuentra el buzo en peligro, lo que tendríamos nosotros que
hacer es ahora buscar en el eje horizontal, no el cuarenta porque ese es
un tiempo, buscaríamos qué kilómetro corresponde con la altura once acá.
Eso haría que tuviera que mover mi gráfico más, se fijan.
Ahorita tendría que irme para acá, más para acá, más para acá, vayamos más o
menos por aquí, y yo diría que you hemos llegado, si yo me pongo aquí en el once,
ahí donde ven ahorita la manita, y si esta manita, soy capaz de llevármela en
horizontal hasta pegar con la recta azul, en ese momento voy a bajar y voy a poder
decir que dato es el que corresponde con la profundidad a la que el buzo estaría
en peligro. Voy a hacer un intento por hacer un zoom
out, otra vez, o sea, alejarme un poquito más para capturar ese número once más
fácil, si me permiten tomamos una imagen de esta situación, y entonces vamos a
hacer un poquito de álgebra y de aritmética, ¿Qué es lo que tenemos aquí?
Andábamos nosotros viendo que en la gráfica azul, probablemente no lo
encontré porque aquí llegamos, a no sí, en la gráfica azul andamos buscando el
lugar en donde la atmósfera sea once, o sea, ahora si, si aquí me pongo del diez
al veinte, hay ahí, cuanto cinco cuadritos o cuatro cuadritos, se me hace
que son, ahora si puedo ver, son cuatro cuadritos.
Entonces el once estaría por aquí más o menos, vamos a poner aquí un once.
Esas once atmósferas, me las tendría que llevar esta línea horizontal que otra
vez, estoy en peligro de no ir muy bien derecha, pero debo de llegar a un lugar.
Debo de llegar a un lugar en donde tope, suponganse que ahorita you me cansé y
digo yo sabrá dios en donde topa. Pero vamos a ver como encontramos ese
lugar con nuestras herramientas matemáticas.
Entonces, ¿qué es lo que tendríamos que hacer en esta ocasión?
Andamos buscando, ciertamente, que la presión sea once, entonces esa presión la
queremos hacer corresponder con un punto de la recta azul.
Si es la recta azul tendría que tomar la gráfica azul con su correspondiente
función azul, o sea, es esta que está aquí.
¿De acuerdo? Y ahí lo que tendríamos nosotros que
hacer es igualar con once, igualaríamos con once la presión y entonces nos
quedaría aquí que cero punto cero nueve nueve cuatro x es igual a menos uno que
da diez, de donde x es igual a diez entre cero punto cero nueve, nueve cuatro, y
este valor vamos a ver si podemos sacarlo con nuestra calculadora acá.
Este valor, rápidamente, vamos a ponerlo aquí, es un diez entre a pues teníamos
aquí el anterior, vamos a quitar este y ponemos el cero punto cero nueve nueve
cuatro igual y nos queda un cien punto sesenta treinta y seis veintiuno setenta
y tres cero cuatro, otra vez, seguramente esto esto es una representación decimal
que va a ser infinita y periódica, igual podría ser exacta, ¿no?
No vamos a averiguar ahorita, lo que vamos a hacer es hacer un redondeo
ahorita que les parece si nos quedamos con el punto seis, con la ventaja de que
teníamos ahí un cero después. Entonces vamos a poner en nuestro caso es
cien punto cero, qué era, ciento punto seis y ese cien punto seis es justamente
el valor que andábamos buscando por aquí. Ese cien punto seis, fíjense ahora fui
más o menos atinada, bueno aquí le puse la flecha, no había llegado hasta allí,
pero me estaría señalando por aquí, ese ciento punto seis es el lugar justamente
en donde tendremos la profundidad en la que el buzo se encuentra en peligro, o
sea, sería la profundidad en la que el buzo llegó, llega a recibir unas once
atmósferas de presión. Lo que hemos hecho, entonces, en este
dibujo fue enfrentarnos a una situación en donde hay dos gráficos presentes.
Esos dos gráficos presentes están señalando en el eje vertical una misma
información es la presión a la que se encuentra el buzo.
Pero la información que nos están dando los gráficos está en función de dos cosas
distintas. Si me voy por el gráfico rojo, entonces
estaría pensando en el tiempo que lleva el buzo hacia abajo, aumentando su
profundidad, y si me voy con la azul estaría pensando en los metros de
profundidad a los que estaría el buzo en ese momento, bueno en que estuviera ahí.
Entonces al hacer esto, yo lo que quería era enfrentarlos a una interpretación
distinta de un eje con la misma información de la presión y a la vez
mostrarles como un gráfico, como los dos que tenemos aquí, nos están señalando una
recta que sube, es una recta creciente. Es una recta que corresponde con una
razón de cambio que son estos números que es positiva con una derivada positiva.
La situación real que estamos viendo es la situación real del buzo que baja, ¿se
fijan? Dentro del contexto real, mi cabeza está
pensando en algo que baja. Sin embargo cuando veo la representación
matemática, estoy viendo una recta que sube, eso es importante de que podamos
diferenciarlo cognitivamente, ¿por qué? Porque en la interpretación matemática de
los gráficos, necesitamos estar muy conscientes de lo que estos están
representando. Estas rectas que están subiendo, que
están creciendo, están manifestándome que la presión está aumentando a medida que
el buzo está aumentando su profundidad, o a medida que el tiempo está aumentando.
Todo eso siempre se va a leer de esta forma.
Aumento la profundidad o aumento el tiempo, eso es moverme en el eje
horizontal, y lo que pasa con la gráfica es que la presión aumenta, sea porque
aumente la profundidad o sea porque aumente el tiempo.
Con esta imagen, entonces, nos despedimos por ahora, hemos vuelto a nuestro
contexto real pero con más elementos. Ahora hemos utilizado solamente la y y la
x, nuestro modelo lineal, su razón de cambio o su derivada.
Y hemos resuelto varias preguntas relacionadas con los contextos en
particular. Seguiremos adelante en nuestra
profundización, digamos, con el conocimiento matemático, atreviéndonos a
pensar también en casos en donde la razón de cambio no sea constante.
Pero para eso necesitamos un buen tiempo para descansar y reflexionar en todo lo
que you hemos aprendido.
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