you en la sesión pasada tuvimos oportunidad de analizar nuestra situación inicial cuando teníamos una partícula que se mueve en línea recta con una velocidad constante. Estuvimos analizando las distintas representaciones matemáticas y en esta sesión me propongo compartir con ustedes una manera de interactuar con las diferentes representaciones matemáticas. Esta interacción, o sea este estar usando las representaciones de una manera digamos, acertada es algo que para nosotros significa desarrollar una competencia matemática. Esta competencia está muy de la mano a nuestra forma de ver, muy de la mano con la comprensión de las matemáticas, por tanto verán que será algo muy común en nuestro discurso. Trataremos siempre de hacer uso de esta interacción entre las diferentes representaciones como lo veremos ahora, si me acompañan en la pantalla cuando estábamos viendo nuestra síntesis anterior. you sabíamos que teníamos una imagen del fenómeno. Tenemos una imagen de la representación numérica que hicimos de él. Observen ustedes como hicimos de una manera organizada nuestros cálculos. Esto nos permitió llegar a la identificación de una variable, nuestra x, misma que nos llevamos a nuestra representación algebraica. La bautizamos you como nuestra función de posición, tenemos nuestra función x de t igual a dos mas tres t. Finalmente también tuvimos ocasión de ver su representación gráfica. Aquí les presenté una animación con la partícula en vivo y a todo color y nos dimos cuenta cómo se genera esta recta. Esta recta, que no es la recta por la cual se mueve la partícula, es una representación matemática del movimiento y esta recta nos a va a permitir interpretar justamente el movimiento. Entonces aquí abajo de esta filmina me permití poner una serie de preguntas. Se las voy a enseñar así todas. Todas estas preguntas las vamos a poder contestar. Acuérdense que nuestra problemática es el conocer valores de una magnitud que está cambiando. ¿Cuál es la magnitud?, la posición en un movimiento en línea recta, y estas preguntas que nos estamos haciendo, digamos que todas son en un contexto de la práctica de predecir. Predecir el valor de la magnitud que está cambiando, y en determinadas, digamos, condiciones. Por ejemplo la primera de las preguntas dice ¿en qué posición estaba la partícula cuando comenzamos a observarla? Si yo me voy aquí a nuestra síntesis, ¿en qué posición estaba?, pues aquí lo estoy viendo, ciertamente. Estaba en la posición dos. Si me vengo a la representación numérica, lo que tomaría sería el renglón donde el tiempo es cero para decir dos. ¿Cierto?, bueno esto es evidente ahorita acá en estas dos imágenes, pero lo que yo quisiera es que lo viéramos también en las otras dos. Cuando estoy aquí en la representación gráfica vean cómo este punto donde les estoy ahorita apuntando con el cursor, es justamente el lugar en donde inicia, digamos, la observación de nuestro movimiento. Cuando estaba en la posición dos. O sea, aquí tendríamos que poner un número dos, en el punto donde está este comienzo del gráfico, y finalmente si me voy acá a la representación algebraica, en esta representación algebraica observen como el número dos se encuentra en esta posición. Es el número que está solo, que está aislado, no tiene la letra t consigo. Entonces esa es una manera de verlo. Ahora lo que yo quiero es que usemos las representaciones, en este caso me refiero a la representación algebraica. ¿Cómo se usa esta representación para encontrar ese número dos de una manera operativa? O sea, ahorita lo hicimos de una manera visual, vimos dónde estaba ese numerito solo. La manera operativa sería que nosotros fuésemos capaces de hacer algo como lo siguiente. O sea, para contestar esta pregunta vamos poniéndole aquí numeritos; esta es mi pregunta uno. Para contestar mi pregunta uno lo que yo estaría haciendo es como preguntarme en el tiempo igual a cero, ¿cuánto vale la posición? Y esto se contesta si utilizamos la representación algebraica de esta manera, o sea que estoy escribiendo equis evaluado en cero, sustituyo en la letra t el cero, en la expresión que tengo acá, en la algebraica, y entonces lo que vamos a obtener es aquí, un dos más tres por cero. O sea lo que hice en meter este valor t igual a cero, lo pongo aquí también en su lugar. Esto nos va a dar el dos más tres por cero que va a dar cero, y dos más cero que es igual a dos. Entonces los dos metros es un valor que you hemos obtenido utilizando nuestra representación algebraica. Pasemos a la segunda pregunta, dice ¿en qué posición se encuentra a los siete segundos? Ese era un lugar que me acuerdo quedó en nuestra animación de la partícula, entonces por eso decidí aquí ponerlo. Cuando yo me regreso a nuestra imagen o sea, aquí sería como tener la película, ser capaces de tener la película y poder darle clic, o sea parar en una foto cuando en mi cronómetro marquen los siete segundos. Eso sería posible si tuviera, si estuviera en presencia del fenómeno y tuviera claro todas las condiciones para hacerlo. Acá en la representación numérica se necesitaría que yo hubiera llegado hasta el siete, ¿se fijan?, o sea, igual hay quienes todavía insisten y piensan que en el cinco pues va a ser catorce más tres, y entonces da diecisiete y luego sumo otros tres, y me va a dar ¿cuánto sería? veinte, y luego sumo otros tres y llego al veintitrés, o sea esa acción que les decía de ir; como yo lo digo, brinco por brinco, es una acción que no fomenta el tipo de expresión algebraica como la tenemos aquí en donde tenemos declarado que al dos le sumo tres veces el tiempo que había transcurrido, que son los siete segundos. Justamente lo que nos dice nuestra representación algebraica de una manera compacta. ¿Entonces cómo contestaríamos esta segunda pregunta? Lo que haríamos nosotros, es en ella; vamos a poner aquí nuestro número dos; en ella lo que haríamos es simplemente otra vez evaluar equis en siete, y esto nos va a llevar a dos más tres por siete que es igual a ¿cuánto?, que es igual a dos más veintiuno igual a veintitrés ¿no? el veintitrés que les había platicado cuando llegué a ál, brinco por brinco, moviéndome tres y tres metros cada vez. Entonces you encontramos ese valor, gracias a la representación algebraica; de hecho mucho en la matemática tiene que ver con éste, éste es el lenguaje simbólico con el que digo, les digo nos tenemos que familiarizar. Vámonos a la siguiente pregunta, la pregunta número tres nos dice ¿en qué posición se encuentra a los cuatro veinticinco segundos? Les voy a platicar que me ha tocado aquí con estudiantes ver que hay mentes capaces de decir -oye, pues si a los cuatro segundos estaba en la posición catorce, y yo sé que recorre tres metros cada segundo, pues entonces en el punto veinticinco que está dentro de la pregunta, hacia aquí abajo en el cuatro punto veinticinco; este punto veinticinco es como hablar de un cuarto de segundo, entonces en ese punto veinticinco pues habrá recorrido tres cuartos de metro, ¿por qué? porque antes en un segundo recorrió tres metros, entonces en un cuarto de segundo recorre tres cuartos de metro-, y entonces me dan la respuesta numérica de catorce punto setenta y cinco porque tres cuartos de metro son punto setenta y cinco. O sea, hay mentes que tienen esa agilidad numérica. Pasaron un cuarto de segundo, se movía tres metros cada segundo, entonces se movió en ese cuarto de segundo se movió tres cuartos de metro, se los sumo a los catorce que you tenía; los cuatro segundos, y llegué al catorce punto setenta y cinco. Ahora igual, este cálculo fue sencillo. ¿Por qué?, porque el punto veinticinco es fácilmente reconocible como un cuarto. Con todo lo que hemos trabajado nosotros con los números aquí, pero vamos a tomar nuestra herramienta de la función de posición. Lo que tendríamos que hacer en este caso sería; entonces hacemos nuestra operación utilizando nuestra representación algebraica, que sería evaluar x en cuatro punto veinticinco. Esto nos llevaría a dos más tres por cuatro punto veinticinco, o sea esto es igual a dos, más; y hagamos esta multiplicación ahorita aquí mentalmente, que sería tres por cinco son quince, llevamos una, tres por dos son seis, y una son siete, no llevamos nada, tres por cuatro son doce. Doce punto setenta y cinco más dos nos da el catorce punto setenta y cinco que yo le había platicado acá arriba, que obtienen algunos estudiantes haciendo su operación numérica en la mente. Bueno, tenemos el refugio de esta representación algebraica que siempre nos va a permitir poder seguir adelante y dar las respuestas, aún y cuando fuera el número que fuera. O sea igual aquí me parece que; bueno vamos a ejemplificarlo con la siguiente de las preguntas, aunque en esta pregunta you les cambié la situación. Vean ustedes, dice, cuando estaba en la posición diez metros, la partícula, ¿cuánto tiempo había pasado desde que inició la observación? O sea esta pregunta, si ustedes se dan cuenta, you es una pregunta que va en el otro sentido, ¿por qué?, porque ahora lo que tenemos es un dato de la posición. Es como estar en este lado de la tabla numérica y querer capturar el dato de acá, del tiempo. Esto, aquí necesitaríamos haber tenido una tabla bastante extensa para tener el valor de diez, haber evaluado no en los enteros como está aquí, porque el número diez si se fijan, anda entre el ocho y el once, o sea tiene que ser un número que anda entre el dos y el tres seguramente, pero ¿cuál es ese número? No vamos a adivinar. Lo que vamos a hacer nosotros es usar nuestra representación algebraica. Entonces ¿cómo la usaríamos aquí en este caso? Lo que haríamos nosotros es; vamos a ponerle aquí el número cuatro, me voy a saltar esa expresión que está ahí. Tenemos número cuatro. Fíjense ustedes, cuando estaba en la posición diez metros; para mí, ésta es una información que digo, si x es igual a diez, cuando estaba en la posición diez metros ¿cuánto tiempo había pasado desde que inició? Si x es igual a diez, entonces ¿cuánto vale t?. O sea, estoy traduciendo digamos de forma sintética, a la pregunta ¿si x vale diez, cuánto vale t? Eso me obliga a que mi expresión; acá la tengo, x de t; esté yo, digamos mostrándole un valor a equis de t, o sea podríamos poner aquí diez es x de t, es igual a dos más tres t, y lo que se ha generado es una ecuación lineal, una expresión de la cual vamos a despejar la letra t. ¿Entonces que nos quedaría? Al despejar aquí t, ¿qué tenemos?, bueno voy a despejar tres t. you les he comentado este tres t, véanlo como si estuviera de este otro lado, o sea como si siempre en una expresión matemática ustedes pueden ver las cosas como en un efecto de espejo. Aquí está el dos más tres t de este lado y el diez de este lado, porque estamos acostumbrados a ver las letras del lado izquierdo, igual no pasa nada si la tenemos del lado derecho, pero bueno en este despeje que yo estoy haciendo, estoy viéndolo como está acá, y entonces voy a pasar el diez menos dos, el dos restando de este lado, me queda el ocho, y entonces me va a quedar finalmente que t es igual ¿a qué?, a ocho sobre tres. Este número tres estaba multiplicando a t, y ahora pasó dividiendo. Entonces en este momento hemos llegado a la solución de x igual a diez, la posición que se obtiene a los ocho tercios de segundo. Aquí me gustaría comentarles que observo en muchos estudiantes una actitud como ésta: ahorita tengo a mi lado mi pequeña calculadora; pequeña; suficientemente pequeña para poderla yo ver y entonces hay estudiantes que están habituados a que en el momento en que tienen que hacer una operación, entonces tenemos aquí por ejemplo el valor ocho dividido entre tres. Si hacemos ese ocho entre tres en la iPad, ese ocho entre tres de la iPad, al calcularse me va a dar igual a ¿cuánto? Fíjense la cantidad, dos punto seis, seis, seis, seis, seis, seis, seis, seis, seis, siete. Si ustedes recuerdan you nuestro discurso de los números, que hemos tenido con anterioridad recordarán que el número ocho tercios tendría una expansión decimal infinita periódica. Este siete último que me está dando la calculadora me está redondeando las cosas, entonces lo habitual en los estudiantes, es decir, lo habitual es considerar unas dos o tres cifras decimales, pensando que la calculadora es la que me da la cantidad, y entonces si hacemos acá nuestro cálculo, pensando que; o sea se los voy a poner con otro color porque no quiero que esto se malinterprete; hay quienes me ponen por acá, ven un ocho tercios, y entonces dice -es un dos punto seis, seis, seis, vamos a poner tres seises. Dos punto seis, seis, seis y dan esa respuesta, como que a los dos puntos seis, seis, seis segundos la partícula estaba en la posición diez metros. Fíjense si ponemos en tela de duda este tipo de procedimiento, lo que pasaría cuando evaluemos nuestra posición en dos punto seis, seis, seis. Al evaluar ahí, lo que obtendríamos nosotros es dos más tres por dos punto seis, seis, seis, y este valor nos va a llevar a dos más; hagamos la multiplicación, tres por seis son dieciocho, llevamos una, tres por seis dieciocho y una diecinueve, llevamos una, tres por seis dieciocho y una diecinueve, llevamos una, tres por dos son seis y una son siete. Llegamos a dos más siete punto nueve, nueve ocho, que es un nueve punto nueve, nueve ocho. ¿Y no que era diez? O sea ¿qué es lo que está pasando aquí en este procedimiento? Lo que está pasando es de que estamos haciendo una aproximación del número ocho tercios. Ahí es es en donde remarco la importancia de nuestros números, de nuestros números reales que hemos trabajado con anterioridad y yo les diría ésta es la respuesta. Ésa es. Si mi actitud es ir a una calculadora y quiero hacer algo como esto, tengo que tener la precaución de que este signo de igual lo considere como una pseudo igualdad, o sea, no es una igualdad. Tendría que decir en dado caso, si quieren, la respuesta es ocho tercios, y si quieren, podría decir, para decir más o menos anda entre un dos punto seis, seis, seis, o sea pero estar conscientes con esta simbología de que hice una aproximación. Porque es una aproximación. Porque exactamente ¿se fijan? no nos dio el valor de diez. Entonces dada esta observación, me gustaría llegar a la última de nuestras preguntas ¿ Qué dice nuestra pregunta número cinco? Dice, cuando estaba en la posición raíz de trece: vean ese símbolo de radical siempre se batalla con la escritura en matemáticas; raíz de trece metros, ahí me atrevo a pensar en raíz de trece metros como un número irracional, o sea no pasa nada, es un número tan número como los demás. ¿Cuánto tiempo habría pasado desde que inició la observación? Bueno, para dar esa respuesta ahora en nuestra nueva pregunta lo que estaríamos haciendo es si x vale raíz de trece, ¿cuánto vale t? Hacemos nuestro procedimiento. Raíz de trece es igual a dos, más tres por t. Vamos a despejar de aquí nuestra t, voy a ponerlo de este lado como si hubiera visto en un espejo, tres t es igual, acá nos quedaría el raíz de trece menos dos. Me faltó el uno; raíz de trece menos dos, y t es igual a raíz de trece menos dos entre tres. Ésta que está aquí nuevamente yo les diría, es nuestra respuesta, y es una respuesta exacta. Si quisiera yo regresarme por ver, por comprobarlo con ustedes que sí funciona esta respuesta, pues les diría fíjense ustedes, ¿qué pasa si sustituímos x en raíz de trece menos dos entre tres? Este nímero es un número irracional ciertamente, no lo voy a aproximar, no necesito aproximarlo, puedo hacer la operación con él. Vamos a ver qué complicaciones pudiéramos tener y si hago la sustitución entonces de este valor vean ustedes lo que pasa. Tengo un cociente, numerador, denominador ¿y este tres que está en la parte superior con este tres que está en la parte inferior, qué va a pasar? Los podemos cancelar, y al hacer la cancelación ¿qué nos quedó ahora? Nos quedó dos más raíz de trece menos dos. Dos menos dos, ¿qué vamos a hacer ahora?, pues cancelamos estos dos y llegamos como esperábamos a nuestra respuesta; raíz de trece. O sea, ¿se fijan? o sea, sí podemos llegar a la exactitud, cosa que no se logró cuando acá habíamos hecho aproximaciones. Entonces yo los invito con esto a que vean ustedes cómo hemos hecho uso de las representaciones algebraicas; ésta de aquí sobre todo, y con ella hemos operado con nuestros números, de todo tipo, enteros, racionales, irracionales, y todos nos han dado respuestas sobre puntos que están en esta recta. Puntos que a lo mejor visualmente son digamos, you difíciles de ubicar por toda la continuidad de la que hemos hablado, de los números reales contenidos en la recta. Sin embargo ahorita, digamos la que tiene la mayor aceptación seria nuestra representación algebraica. Con ella vamos a habituarnos a trabajar más, si me acompañan en la siguiente de nuestras sesiones.
