Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
De vuelta a lo algebraico para contestar
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
101 calificaciones
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De la lección
De un MUA transferimos a un CUA
Hablaremos nuevamente de la importante acción de transferencia cuando aprendemos Matemáticas. El conocimiento generado en el contexto real del movimiento en línea recta lo vamos a transferir a otros contextos reales con la intención de, posteriormente, generalizar al contexto matemático.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Venimos de una sesión anterior donde tuvimos ocasion de armar un rompecabezas.
¿De qué estamos hablando?
Se supone que es una clase de matemáticas y hemos estado hablando de rompecabezas.
Realmente esto es una intención muy clara de nuestra parte por tratar de
hacer este aprendizaje de las matemáticas algo de cierta forma como un juego.
Lo que hicimos con el rompecabezas
fue realmente hacer una asociación entre gráficos.
Eso es algo que a mi forma de pensar se puede
hacer ahora en la actualidad gracias al uso de la tecnología.
Antes las clases de matemáticas estaban llenas de fórmulas y números.
Y probablemente ustedesd estén diciendo ¿Y ahora cuando vamos a hacer los ejercicios?
Sin embargo, como les digo ahorita,
la matemática es plena de imágenes.
Ahora podemos tener graficadores que no pueden estar diciendo, "diciendo"
entre comillas lo que está pasando con una expresión algebraica.
O podemos calcular valores numéricos gracias a que los vimos
en ese gráfico y esos valores numéricos son importantes para algo.
En ese sentido, encontrarán que este discurso siempre
estaremos tratando de enfatizar aspectos visuales
ó gráficos dentro de todo el desarollo.
No como una cosa aparte sino como algo integrado detro del mismo aprendizaje.
Entonces si venimos del rompecabezas y quedaron digamos
un poco asustados de si eso es ó
no es matemáticas, yo quisiera que me dieran
la oportunidad de retomar este tipo de temas.
A lo mejor posteriormente.
Pero, es importante que ahorita hagamos un regreso.
O sea vámonos a lo algebraico.
Voy a pasar de lo gráfico que
hemos aprendido, a un digamos parétesis algebraico
y numérico que es útil porque nuestra
intención es desarollar en ustedes una competencia.
Una competencia de estar pasando, transitando de una representación a otra.
¿Cuáles representaciones?
Pues la representación digamos del fenómeno real
que estoy analizando, en nuestro caso el movimiento.
La representación algebraica, la representación
gráfica, y la representación numérica.
Entonces, en este momento me gustaría que me
acompañaran nuevamente con nuestro software SimCalc, donde tenemos a
nuestra chica y aquí les voy a recordar a
ustedes como es que construimos algunas de las piezas
del rompecabezas.
Por ejemplo, esta imagen que ustedes tienen.
La idea sería evocar en ustedes you la sensación de
lo que va a ser el movimiento de la chica.
O sea, yo puedo pensar ahora viendo el gráfico de la velocidad, que esta
chica, al tener una velocidad positiva se va a estar moviendo hacia la derecha.
Y al tener una velocidad que aquí estoy viendo sus valores numéricos positivos
que estan creciendo, puedo decir que la chica
va ir a la derecha cada vez más rápido.
Y lo puedo comprobar.
O sea, si la pongo a caminar.
Esta es la ventaja que tenemos en este software que nos está
permitiendo ver en el tiempo la relación que existe entre los gráficos.
Ahorita por ejemplo, estamos viendo que este gráfico y este
gráfico tienen una relación entre sí, habíamos visto en el rompecabezas.
¿A qué me refiero?
Aquí veo un gráfico que está creciendo y con cambio hacia arriba.
Por otro lado, si yo acciono la velocidad y la pongo de
esta manera, vean ustedes como el gráfico de la posición también fue afectado.
Esta manera de afectar el gráfico que ahora lo vemos cóncavo hacia abajo
y decreciente, esa afectación también me esta diciendo algo del movimiento
de la chica.
Tengo ahorita velocidades negativas Eso me dice que la chica está volteando mal.
Debería de estar volteando para la izquierda.
Bueno, inmediatamente la animación lo va a hacer.
Tengo además valores de velocidad negativos pero
que digamos son más negativos cada vez.
O sea, realmente dentro de los números reales tengo que
decir que esa es una sucesión digamos de valores numéricos
de velocidad que está decreciendo ¿Ok?
Sin embargo en términos de rapidez, uno tendría que
decir que hay más rapidez solo que a la izquierda.
Nuestra chica efectivamente se va a ir hacia la izquierda cada vez más rápido.
Y ahora observamos en esta relación de los gráficos que tenemos una velocidad
negativa, una posición gráfica decreciente, una velocidad decreciente
y una gráfica de posición cóncava hacia abajo.
Y si solamente ahora hago el ejercicio mental
de pensar en la gráfica de posición, yo debería
de interpretar que el hecho de verla decreciente
me dice que la chica iba para la izquierda.
Y el hecho de verla ahora cóncava hacia abajo, piensen en aquellos triangulitos
que les he puesto a medida que pasa el tiempo, y comprueben entonces
que puede uno interpretar que corre más distancia a medida que pasa el tiempo.
Eso me dice que la chica va hacia la izquierda cada vez más rápido.
Finalmente, si ahorita acciono el software y lo subo acá.
Vean ustedes como se afectó el gráfico de la posición.
Ahora vemos una gráfica de posición creciente y cóncava hacia abajo.
El hecho de ver esta velocidad
decreciente me implicó esta concavidad hacia abajo en el gráfico de posición.
Puedo hacer mi interpretación con cualquiera de los dos gráficos.
Si veo la velocidad, entonces lo que estoy viendo es que
una velocidad positiva por ende la chica va ir a la derecha.
Veo una velocidad que está decreciendo en valores positivos.
Entonces puedo decir que la chica va cada vez más lento.
¿Ok?
Eso lo estoy haciendo interpretando
el gráfico de velocidad.
Si interpreto el gráfico de la posición tendría que ver un crecimiento
y concavidad hacia abajo lo que me indica que el crecimiento de
la chica va a la derecha y la concavidad hacia abajo pensando
en esos triángulos viendo la posición, cuánto avanza, en cada instante posterior.
Podría decir entonces que la chica va cada vez más lento.
Y el software, claro, me va a permitir poderlo decir.
O sea, les digo ahorita tenemos como tres ventanas, tres ventanas para que
nuestro pensamiento se ponga a funcionar. Esta, bueno, pues es más visual.
Ver la animación.
Esta es interpretar en términos de una velocidad
lo que el movimiento va a hacer y
éste se interpreta en términos de la gráfica
de posición lo que el movimiento va a hacer.
Por otro lado podemos decir que hay una relación entre
ésta y ésta.
Entonces, nuestra pieza del rompecabezas me dice que
la pieza donde la velocidad tiene este tipo de
comportamiento corresponde con una gráfica de posición como esta,
donde quedamos en que la posición inicial era cero.
¿Recuerdan?
Para no alterar ahorita digamos en ese sentido nuestros gráficos.
Por otro lado lo que nos faltaría sería tener el caso de una velocidad que fuera,
que sea negativa pero que estuviese creciendo.
Así como ésta.
Y entonces ésta sería como un cuarto tipo de movimiento que sería, que diríamos
nosotros al ser negativa las velocidades tendría un movimiento hacia la izquierda.
Al estar teniendo datos de velocidad cada vez más cercanos al
cero diríamos que va cada vez más lento hacia la izquierda.
Este gráfico de la posición también me lo indica.
El decrecimiento del gráfico me dice que la posición de
la chica va hacia la izquierda y por otro lado el
hecho de que el gráfico sea cóncavo hacia arriba me está
diciendo que la chica se esta moviendo cada vez más lento.
Es este gráfico cóncavo hacia arriba que está decreciendo.
Fíjense entonces que finalmente tenemos
como que cuatro tipos de movimientos distintos
sobre los que vamos a tener que accionar.
Vean como este último que tengo you exige
tener una velocidad inicial que no sea cero.
Cosa que no habíamos hecho cuando hemos trabajado con la representación
algebraica y no me voy a pasar ahorita a considerar este caso.
Quisiera que antes repasemos un poquito más aquella situación en
donde la velocidad inicial sí era cero y entonces lo que
voy a hacer ahorita es permitirme mover algo así pensar an algo como esto.
O sea pensar que es una velocidad negativa que está decreciendo.
Pensar que nuestra chica va ir hacia la izquierda cada vez más rápido
y moverle un poquito la posición inicial ahorita a ella, no a la velocidad.
Vamos a dejar una velocidad inicial cero. Vamos a afectar la posición
inicial de la chica para observar un tipo de movimiento como es este.
Va a ser un movimiento hacia la izquierda que va ir cada vez más rápido
y en este momento hagámosnos preguntas que podamos
contestar con la representación algebraica y la numérica.
Entonces para eso, voy a abrirles aquí un documento donde
you tenía yo un caso en particular para meter ahorita
los números apropiados y podamos observar que estamos llegando a lo correcto.
Esa también es una de las ventajas de estar transitando entre
lo algebraico y lo gráfico y lo numérico, que uno tiene
la oportunidad de ver en lo gráfico si lo que está
saliendo en los procesos algebraicos ó numéricos es o no es correcto.
Entonces si ahorita me acompañan en la pantalla
tengo una imagen en donde la chica va
a moverse a partir de la posición inicial 15 y se mueve hacia la
izquierda cada vez más rápido. Vamos a encontrar por ejemplo este lugar.
Si ustedes están viendo ahorita el cursor donde yo lo tengo, se trata
del lugar en donde que en donde la chica pasó justamente por el origen.
de la recta en que se mueve.
¿Por qué?
Porque estaría haciendo yo que la posición sea cero.
Si yo animo
ahorita (vean ahorita lo van a ver con la chica), es justo cuando pase por aquí.
El momento en que ella pase por aquí,
ése es el momento que nosotros anamos buscando aquí.
Ahí fué.
O sea donde podríamos tratar de mover esta recta, hacerlo paso
por paso para ir viendo más o menos por donde es.
Se va a ver como en slow-motion a
la chica, tratando de capturar el momento ahí.
Hasta me pasé un poquito
el momentito donde iba a pasar por ahí.
Bueno, ese momentito lo vamos a sacar pero con números con formulas algebraicas.
Entonces para eso es importante que
sepamos construir primero la función de velocidad.
¿Cuál es la función de velocidad que tenemos en este caso?
Ahí necesito observar muy bien los números que estan en el gráfico.
Esta velocidad,
si ustedes me permiten, vamos a tomarle aquí una foto para
que la podamos llevar a otro lado y poder escribir sobre ella.
Esta velocidad tiene digamos un dato inicial, digamos
de ser una velocidad inicial igual a cero.
Cierto.
Sabemos que es una recta. También eso lo sabemos.
Entonces nuestra velocidad tiene un valor inicial que es un cero,
más y luego aquí lo que tendríamos que es la razón
de cambio de la velocidad que es algo constante y que es
justamente la pendiente de la recta, o sea su razón de cambio.
Esa razón de cambio la podríamos percibir como un delta v entre un delta t.
Y esa delta v entre delta t lo andamos
buscando en el gráfico sabiendo que tenemos este punto.
El punto este que les estoy ahorita señalando, lo acomodé para
que fuera un diez coma menos siete.
Pensemos que es diez coma menos siete y entonces
tratemos de construir lo que sería la razón de cambio de v con respecto a t.
Si ustedes piensan por ejemplo en, fíjense en
los triángulos que yo les he trazado son como
éste o como éste, puedo trazar un triángulo
enorme, que vaya de aquí de aquí hasta acá.
Este triángulo tiene su respectiva delta v que es
menos siete, y su delta t que es un diez.
¿Entonces del delta v entre el delta t cuánto nos quedó?
Menos siete sobre diez ¿no?
Entonces aquí pondríamos menos siete entre diez, por la t.
¿Ok?
Por otra parte, en el
gráfico de la posición, you hemos aprendido que esta posición que
corresponde con una velocidad igual a a por t, es igual a la
posición inicial más un medio de la aceleración, la letra a.
En este caso sería menos siete entre diez.
Menos siete entre diez por, ¿que nos faltaría aquí?
Nos faltaría t cuadrada.
Esa sería nuestra expresión para la posición.
Si hacemos un poquito de las operaciones, me gustaría que me acompañaran aquí en el
papel para ver como podríamos con una poca más de simplicidad las expresiones.
Entonces yo las voy a copiar de las que tengo aquí en la ventana.
Tengo una velocidad v de t, que es
igual justamente con ¿que dijimos? cero más menos siete sobre diez por t.
Vean como esta expresión parece complicada.
Voy a simplificar siete entre diez, este es un punto siete ¿no?
Entonces aquí me queda un menos punto siete por t.
A veces no es costumbre trabajar con los decimales, con los quebrados.
Igual vamos a hacerlo ahorita y de una manera tratando de
hacer que sea natural y fluido. La posición por su parte, la posición la
tenemos igual, dijimos acá a la posición inicial más un medio ¿de qué sería?
del menos punto siete por t cuadrada.
¿Ok?
O sea en este caso ese valor inicial de la posición si recuerdan ustedes
en el software donde teníamos a la chica, era una posición inicial de quince y
aquí nos quedaria menos un punto siete entre dos t cuadrada.
De acuerdo, hice la multiplicación de un medio por menos punto siete.
Me queda menos punto siete entre dos.
O sea esto sería un quince menos punto treinta y cinco t cuadrada.
¿De acuerdo?
Entonces esta sería nuestra expresión de la posición.
Y ésta es nuestra expresión de la velocidad.
Estas dos expresiones juntas me estan modelando lo que pasa en el movimiento
de la chica, que es que su movimiento hacia la izquierda es cada vez más rápido.
¿Que nos vamos a preguntar?
Nuestra pregunta fué: ¿Cuándo, cuándo pasó por el origen?
¿Cuál origen?
O sea el origen de la recta en que se mueve.
Acuérdense que estamos hablando de un rectilíneo.
¿Entonces cuándo pasó por el origen de la recta en que se mueve?
Esa sería una pregunta que tendremos
que contestar utilizando estas dos informaciones.
Es importante en este momento que cuando tengamos la pregunta sepamos interpretar.
¿La pregunta de un cuándo está
haciendo alusión a qué?
"Cuándo" está haciendo alusión a un tiempo.
Y la condición que yo tengo, o el dato, es que pasó por el origen
de la recta en que se mueve. O sea, la x va a ser igual a cero.
O sea la x que depende del tiempo va a ser cero.
¿Ok?
Eso nos está forzando a que volteemos
a ver a esta expresión. Y en esta expresión lo que vamos a hacer
es una igualación. Una igualación a cero en la expresión.
Esto nos lleva a que quince menos punto treinta y cinco t cuadrada igual a cero.
O sea, voy a pasar éste como es negativo al otro lado.
Quince es igual a punto treinta y cinco t cuadrada.
¿De
acuerdo? ¿Cuál sería el siguiente paso?
Este punto treinta y cinco que multiplica a t cuadrada va a pasar dividiendo al
quince y entonces nos queda quince entre punto treinta y cinco es igual a t
cuadrada y finalmente you podríamos nosotros pues escribir, (vamos
a escribir acá) que nuestra t es igual a más menos la raíz
de quince entre punto treinta y cinco. Puse más menos
por sacar un radical pero siendo justos con la situación ¿qué vamos a decir?
Ese menos no nos interesa porque no estamos en el
pasado, no son tiempos negativos y lo único que nos
resta ahora es traer nuestra pequeña calculadora para hacer la
operación y comprobar que nuestros trazos algebraicos fueron los correctos.
Vamos a poner aquí la calculadora.
¿Entonces que es lo que vamos a decirle a la calculadora?
Calculadora saca la raíz de un cociente.
¿Ven como esta calculadora tiene esta ventaja.
Nos está escribiendo perfectamente lo que queremos hacer.
Vamos a poner aquí un quince. Nos bajamos.
Ponemos un punto 35 y yo creo que será suficiente.
A ver.
Igual a seis punto cinco cuatro seis cinco tres
seis siete cero siete cero ocho. Uy.
Será ése un número racional? Probablemente sí.
Me gustaría que este momento volteemos
nuevamente a nuestra pantalla en la computadora.
Y comprobemos que ese número, ese número que
sacamos es ese número que anda por aquí.
Yo tengo ahorita este viendo mi calculadora.
Entonces puedo ponerle aquí aproximadamente seis punto
cinco cuatro seis cinco y etcétera y etcétera.
Pero ahorita podemos hacernos a la idea
de que hemos hecho nuestras operaciones correctamente.
¿Por qué?
Pues porque estamos viendo que incluso en el gráfico se nota que es el
valor que esperabamos. Siendo exactos tendríamos que decir que
t es igual a la raíz de quince entre punto treinta y cinco ¿no?
Ok, que es algo que incluso podríamos
nosotros interpretar y poner en términos de
radicales de un quebrado de enteros como,
podríamos poner mil quinientos entre treinta y cinco.
Esta sería una manera de para que podamos nosotros
expresar digamos como la raíz de un número racional.
Seguramente se va a tratar entonces
de un número irracional hemos dado una aproximación de
él , y con esto hemos hecho ahorita un
pequeño repaso donde lo gráfico nos llevó a lo
algebraico y de lo algebraico pasamos a lo numérico.
Después regresamos a lo gráfico para
comprobar que nuestro procedimiento fué correcto.
Nos vemos en la próxima presentación donde ahondaremos en este tema.
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