Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Ejemplificamos con números
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
99 calificaciones
De la lección
Función cuadrática y su derivada lineal
Hablaremos del Modelo Cuadrático desde la perspectiva del Cálculo, considerando su derivada. Con esto podremos retomar el tema de la parábola vertical y reconocer su utilidad para la identificación de puntos máximos y mínimos en una gráfica. Hablaremos de la construcción y optimización de funciones como aplicación de lo que hemos aprendido.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Regresamos entonces para continuar con nuestro
ejercicio de tomar uno de estos gráficos y ahora meterle los números, ¿no?,
que nos permitan tener una situación como se las estaba proponiendo.
Entonces regresemos a nuestra imagen.
Sí se acuerdan, yo les había señalado aquí que
me gustaría que ustedes a, hubieran hecho un ejemplo, ¿no?,
como este de esta
recta verde en donde tenemos una velocidad inicial negativa y una aceleración, ¿qué?,
positiva, ¿no?
Igual un gráfico de donde tuviéramos una
velocidad inicial positiva y fuese decreciente, ¿no?,
o sea con una aceleración negativa, ¿no?
Construir las funciones de la posición y ver las gráficas, ¿no?,
de estas.
Ahorita mi idea es que tomemos un recurso, ¿no?,
como es por ejemplo
la, la iPad en esta ocasión.
A me gustaría, este es uno de los softwares que les hemos dicho, ¿no?
que pueden tener, ¿no?,
que son libres, y entonces en este momento este software me va
a permitir, por ejemplo aquí, eh, jugar un poco con la expresión.
O sea, la expresión es el software este que les dije de Free
Calculator y vamos a ver ahorita el caso de esta recta verde, ¿no?,
se fijan.
Cuando la quiero
construir a esta recta verde, voy a usar aquí este, esta primera
digamos opción para dibujar una recta como la verde que tenemos acá.
No va a quedar verde, va a quedar roja por que el software la puso
roja, okay, pero la expresión aquí lo que
necesita, habíamos tener es un valor inicial negativo.
Propongamos que sea un menos 2, ¿si?, y luego tendríamos que poner un más, ¿por
qué?,
porque tengo una aceleración positiva, o sea para que sea esto de acá.
Podría ser menos 2 más, 5, vamos a atrevernos.
Yo pondría aquí t se fijan, pero en el graficador, ¿que tengo que poner?,
pues lo que me da chanza y, ¿qué me da chanza?,
pues x, ¿okay? Bueno pues x.
Entonces salvemos esa ecuación.
Tenemos menos 2 más 5 x.
Ahora vamos a graficar aquí en la que sigue lo que vendría siendo la
posición, ¿cierto?,
nada más que tenemos que hacer nuestra traducción, ¿se fijan?
O sea, aquí necesitaríamos que en el valor de
la posición inicial pues nos atrevamos a poner un número.
Ese no nos lo da la velocidad, eso es algo que nosotros vamos a suponer.
Entonces vamos a ponerle una posición inicial digamos como, ¿qué?,
un 7, ¿si?
Porque se me ocurre nada más.
Es más, podemos poner cualquier valor numérico, ¿no?
Y después le vamos a agregar v 0 t.
Ese v 0 t viene siendo el menos 2, ¿no?, que teníamos.
Menos 2 multiplicado por x, ¿no?,
y luego seguiría el más a 0 t cuadrada entre 2 y este a 0
que esta aquí es el valor numérico que teníamos acá para el a 0, ¿no?,
que ahorita, este, si bien recuerdan
ustedes cuanto había sido, era un 5, ¿no? Sí le ponemos aquí un 5
entonces nos va a quedar 5 entre 2 por t al cuadrado, ¿cierto?
Sí aquí hay un 5 aquí sería 5 entre 2 por t al cuadrado.
O sea vamos a ponerle aquí un más 5 entre 2.
Vamos a poner sí lo toma bien 5 entre 2, a ver como nos lo escri, escribe,
parece ser que si, por x al cuadrado, ¿no? Entonces vamos a salvarla, ¿okay?
Entonces, ¿qué es lo que tenemos aquí?,
bien sí esto you lo hicimos bien, ¿no?
Elegimos un valor inicial, el 7, y luego el menos 2 sería un menos 2
por x y este más 5 x se convirtió en 5 medios de x cuadrada, ¿okay?
Sí en este momento le pedimos que grafique vean el tipo de gráfica que nos quedó
y comparemos con lo que tenemos acá.
Ciertamente, o sea es un gráfico de velocidad que cruzó el eje, ¿cierto?,
y nos dio un gráfico de la posición, ¿no?,
tipo como, pues como alguno de estos, como el verde.
Aquí tengo yo la ventaja en este graficador
de poder hacer cosas como esta o esta, ¿no?,
y moverla a mi antojo para que ustedes vean mejor esas propiedades, ¿no?,
que tiene el gráfico
porque lo que quiero yo es hacerles ver
como otra vez tenemos una relación entre la derivada
y la función donde aquí el momento en donde
es 0 es justo donde tengo el mínimo, ¿no?,
y donde en toda esta zona que hay, eh, negativo en la
derivada tenemos decrecimiento y positivo en
la derivada corresponde con el crecimiento.
Aparte de que el crecimiento de
la derivada corresponde con la concavidad, ¿okay?
Vean como el graficador nos da la imagen completa, ¿por qué?,
pues porque realmente esta graficando una parábola, ¿no?,
la parábola completa.
Otra cosa es que nosotros usemos esa parábola en el contexto de
movimiento en cuyo caso haría algo como lo que estoy haciendo justamente ahora.
O sea, les tapo la zona negativa, ¿no?,
para usar el gráfico en la zona
que corresponde nada más para los tiempos positivos.
Entonces esta seria, digamos, la relación que
you habíamos establecido antes.
Aquí es donde diríamos o interpretaríamos que el chico va a la izquierda cada vez
más lento, se para, y luego va hacía la derecha cada vez más rápido, ¿no?
Lo hemos logrado, podríamos plantearnos diferentes preguntas.
Por ejemplo la pregunta más interesante aquí sería, ¿en qué, eh, posición vamos a
ponerlos así, o sea, vamos a poner esta pregunta sobre la mesa y decir,
¿en qué posición se, se
detuvo para devolverse?
¿Okay?
¿En qué posición se detuvo para devolverse?
¿Okay?
¿Qué es lo que hay que accionar en nuestra mente
para que podamos decir en qué posición se detuvo?
Lo que necesitaríamos nosotros pensar es justo
en lo que habíamos observado acá, ¿no?
¿Se fijan?
O sea, para que se detenga tengo que llegar al momento
este en donde el tiempo, eh, me señala una velocidad 0, ¿okay?
Este tipo de preguntas hace accionar en nuestra mente un proceso
que combina las dos gráficas. Tengo que
encontrar este instante y tengo que evaluarlo acá, ¿no?
Entonces, ¿cual sería la acción para responder esta pregunta?
La acción sería igualar la velocidad a 0 y después el valor
numérico del tiempo que sale al igualar a 0, sustituirlo para
evaluar la función de posición en ese lugar, ¿okay?
Entonces vamos ahora a hacer el siguiente ejercicio.
Yo voy a dejar estas preguntas así
abiertas ahorita para no dedicarle el tiempo, ¿no?,
a, a lo algebraico, sí no se nos acaba el tiempo
del vídeo, y mejor vamos a hacer el otro ejercicio, ¿no?
Voy a dejar estas dos funciones ahí sobre
la mesa y mejor usemos esta zona para poder
poner el otro ejemplo que decíamos de una velocidad como la roja dijimos, ¿no?
La roja que está aquí tendría, ¿qué?,
un valor inicial positivo.
Entonces pongamos un valor inicial positivo.
O sea, vamos, podemos poner cualquier valor inicial.
O sea, vamos a ponerle por ejemplo un 3.5, ¿okay?,
y a eso le vamos a agregar la aceleración por el tiempo.
Ahora para que este gráfico
vaya decreciendo, la aceleración tuvo que ser negativa.
Entonces tendríamos que ponerle aquí un menos y un valor negativo.
Vamos a ponerle un, ¿qué sería bueno?,
un .85, ¿okay?
Un .85
y aquí tendríamos que poner por x, acá sería por
t pero el graficador no nos lo va a permitir.
Entonces tendríamos menos .85
por x. Esa sería nuestra, déjenme apuntarla acá
porque luego se me pierde, nuestra, eh, siguiente función de velocidad.
Esta es una velocidad, vamos a salvarla, y vamos ahora a construir
la gráfica de la, no la gráfica, perdón, la expresión de la posición.
Entonces vamos a tomar esta expresión y la
vamos a, como lo hemos dicho, a antiderivar, ¿no?,
y asignar un valor numérico. Les propongo que asignemos un valor mi,
numérico como pues negativo, ¿por qué no?
Vamos a agregar un valor numérico negativo, después pondremos este por
la t y el otro por t cuadrada entre 2, ¿no?
Okay.
Ahí me quedo el mismo. Vamos a hacerlos acá.
Entonces vamos a ponerle un valor inicial negativo.
O sea, estoy tomando aquí una cosa como esta, ¿no?,
algo negativo. Entonces vamos a poner menos, eh,
5.689, por ejemplo, ¿no? ¿Por qué no?
Que al cabo lo va a hacer el graficador no nosotros, ¿si?
Ese es un valor inicial positivo y después
lo que haríamos es ponerle nuestro 3.5, ¿si?
Ese 3.5 va a estar multiplicado por la x, o sea, por el tiempo.
Estoy fabricando esto de acá, ¿no?,
y luego
sería la subcero que en nuestro caso es un menos .85
Entonces sería un menos .85
entre 2, ¿verdad?, por x al cuadrado.
Menos .85 entre 2 por x al cuadrado.
Okay, vamos a salvar, y veamos ahora nuestro gráficos, ¿no?
Serían el verde y el morado, ¿okay? Pedimos los
gráficos y ahora vamos viendo la zona ubicándonos.
El verde y el morado son estos de acá, ¿si?
Voy a traérmelos hacía acá. Voy a hacer algo como esto.
Yo creo que sería lo ideal para que lo vean ustedes mejor y ahí está, ¿no?
En esta zona tenemos esta recta que va decreciendo, ¿okay?
Comienza en un valor positivo ca, acaba, este cruza aquí,
¿no?
Parece el 4 pero seguramente que no ha de ser.
O sea, los puntos que puse, los números no eran tan
acertados aunque, no, no le atine al cuatro, claro que no,
y después de eso tenemos aquí como el gráfico morado en
este lugar en donde cruce que será, lo podemos encontrar claro, ¿no?,
vamos a tener aquí el máximo.
Ese máximo que se alcanza, venimos de valores negativos y luego
llegamos aquí y continuamos con el crecimiento después decrecimiento, ¿no?,
que sería cada vez, eh, que diríamos el movimiento cada vez más rápido, ¿no?
O sea, tenemos velocidad positiva y luego negativa.
Entonces el objeto va hacia la derecha cada vez más lento, se para
en este instante, y luego va hacia la izquierda cada vez más rápido.
Sí yo pregunto, eh, ahora por este lugar, por este máximo,
sería como preguntar, ¿en qué posición llegó lo más a la derecha posible, no?,
y eso sería otra vez una pregunta como la que hicimos anteriormente, ¿no?
Diríamos, ¿en dónde la velocidad es 0?
Sacamos el valor de la t, de resolver esa ecuación lineal, y ese
valor lo sustituimos en la función de
posición, o sea, evaluamos la posición, ¿no?,
pero mejor ahorita la pregunta que les voy a hacer con este ejercicio sería
otra en donde también los invito a que pensemos que
hay que hacer para resolverla, o sea, ¿cuál sería la pregunta?
La pregunta que les pondría yo es para que la respuesta sea esta.
O sea, ¿cuándo pasa por
el origen de la recta en que se mueve?
¿Cuándo pasa por el origen de la recta en que se mueve?
Estoy conectando con el movimiento y entonces aquí
diríamos que este, en este movimiento se comenzó en
esta posición inicial y va hacía la derecha,
cada vez más lento, y aquí pasó, ¿se fijan?
En donde cruza el eje, en este lugar es
cuando pasó y luego acá vuelve a pasar, ¿okay?,
y entonces tendríamos que la respuesta es 2 puntos y la pregunta es
un, ¿cuándo? La respuesta es un tiempo, ¿no?,
y en el caso del gráfico que
vamos, estamos viendo, la respuesta tiene dos tiempos.
Hay dos tiempos en que pasa por el origen de la recta en que se mueve.
¿Qué tengo que hacer para contestar esta pregunta?
Lo que tendría yo que hacer es pensar que aquí vale 0 la altura, ¿no?,
en la parábola, ¿no?,
y esa altura me la esta dando justamente la x, ¿okay?
Entonces aquí lo que habría que hacer es x de t igual a 0
y, ¿qué nos va a quedar al hacer x de t igual a 0?
¿Qué nos va a quedar? Aquí esta.
Bien, vean ustedes la x de t, nada más que
aquí ahorita la están viendo como y de x, ¿no?,
pero esta expresión que esta aquí, tan fea así como se ve, habría que igualarla
a 0 y eso lo que nos va a dar lugar es a una ecuación cuadrática.
Ecuación cuadrática que seguramente no es de esas que se factorizan y que
seguramente vamos a necesitar utilizar la formula general, ¿no?,
la formula general para resolverla, ¿okay? Entonces yo los dejo con esas preguntas
y con unas, eh, extras más.
Me gustaría que ustedes tuvieran este software por, por la
facilidad, se fijan, con lo que estamos, este, utilizandolo porque
ahora que lo estaba usando se me ocurre que pudiéramos
usar estos espacios, vamos a, a quitar, lo de aquí, ¿no?,
para poner los otros ejemplos que nos quedan, ¿no?,
y que vean ustedes como, como logro, ¿no?,
por ejemplo que sea una velocidad como esta que
siempre sea positiva.
Lo que tendría que hacer es que el
valor inicial sea positivo y la aceleración también.
Entonces puedo poner ahorita valores sencillos, ¿no?,
un 2 más, eh, 5 x como, como los, como esos valores.
Ay, lo borré todo, perdón. Es un 2 más 5 x, ¿no?
Es que estaba pensando que pude haber usado la otra, ¿no?,
y editar ahí.
2 más 5 x, ¿no?,
la salvamos, y entonces ahora en la posición, ¿qué es lo que vamos a poner?
Vamos a ponerle ahora un valor inicial
que empiece, por ejemplo, en uno negativo, ¿no?,
por ejemplo como esto de acá. Entonces vamos a ponerle un menos, eh,
cin, no menos 8 más, que era lo otro, más 2 por x y luego le habíamos
puesto 5 x.
Entonces sería más 5 medios que es un 2.5 x al cuadrado, ¿okay?
Quiero mostrarles algo con esto. Vamos a salvarlo.
Déjenme borrar estas para que no nos estén metiendo ruido y ahora si, okay.
Vámonos a la gráfica y vean ustedes, ¿okay?,
vean ahorita lo que pasó
con este graficador.
Por eso me gusta, eh, que ustedes pudieran tenerlo y
manipularlo, porque aquí una you tiene you una imagen de
lo que debe de pasar y entonces uno puede puede
mover el, el, graficador a la zona que conviene, ¿no?
Entonces sí estoy solamente en el caso del movimiento estaría yo viendo algo así.
Lo voy a alargar para que se vea más amplio, ¿no?
Sí estoy en el caso del movimiento
sería algo así. Voy a, enpa, enchaparrecer, ¿no?
Ahí esta.
Tengo una velocidad completamente positiva.
Tengo un gráfico completamente creciente, ¿no?
Tengo una velocidad creciente.
Tengo una concavidad arriba.
Pero claro que este gráfico así esta
siendo interpretado en el contexto del movimiento.
Sin embargo, el graficador, o sea, lo hizo completo, ¿ven?
O sea, si yo les muestro la imagen glo, eh, completa, ¿no?,
del graficador
ahí esta, por ejemplo, una buena imagen, ¿no?,
y ahí se ve claramente otra vez una situación global, ¿no?,
de una parábola, ¿no?, y una recta.
Parábola y recta que están conectadas, están relacionadas entre sí.
¿Qué es lo que esta pasando?
Estoy viendo la derivada de esta parábola y entonces donde
la parábola cruza el eje, justo ahí es donde tengo el
mínimo, eh, donde la derivada es negativa, en esta zona, es donde la gráfica de la
parábola decrece y donde la derivada es positiva
es donde la gráfica de la parábola crece.
¿Se fijan?
O sea, son los mismos resultados solamente
que ahorita estaríamos en otra zona distinta, ¿no?,
sí fuera el contexto del movimiento sería verlo hacia acá, ¿no?
Yo esperaría que ustedes usen este graficador y jueguen así.
O sea,
hagan ustedes sus propias expresiones algebraicas
y observen este tipo de relaciones.
Vean como uno cuando you conoce esto, ¿no?,
o sea, como se comporta numéricamente uno you sabe en donde hacer
así o así o así para tener justo la zona que me da una imagen global, ¿no?,
del gráfico en el sentido que les dije. Aquí esta función y su
derivada plenamente relacionadas entre sí, ¿okay?
Yo los invito para nuestro siguiente vídeo.
En el siguiente vídeo vamos a ahora si you
a relacionar nuevamente nuestro conocimiento pero con, eh, o,
contextos reales donde otra vez vean ustedes también en nuestro
discurso tenemos contextos, vamos y generalizamos abstraemos, simbolizamos,
¿no?,
y you tenemos un conocimiento matemático en Xs y Ys, ¿okay?,
y otra vez vamos a ter, a aterrizar en el contexto.
Las aplicaciones en matemáticas son realmente, el que
uno pueda aplicar, es realmente adquirir una competencia, ¿no?,
una competencia que nuestra perspectiva, nuestro punto de vista es
algo que se logra cuando el contexto real me hizo, ¿no?,
producir una generalización, una simbolización matemática y después vuelvo
sobre el mismo contexto real. No es teoría y luego práctica, no.
Es realmente problemática que da lugar a una teoría
que después, gracias a esa problemática de inicio, va y se aplica.
Los invito al próximo vídeo donde vamos a aplicar.
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