Regresamos entonces para continuar con nuestro ejercicio de tomar uno de estos gráficos y ahora meterle los números, ¿no?, que nos permitan tener una situación como se las estaba proponiendo. Entonces regresemos a nuestra imagen. Sí se acuerdan, yo les había señalado aquí que me gustaría que ustedes a, hubieran hecho un ejemplo, ¿no?, como este de esta recta verde en donde tenemos una velocidad inicial negativa y una aceleración, ¿qué?, positiva, ¿no? Igual un gráfico de donde tuviéramos una velocidad inicial positiva y fuese decreciente, ¿no?, o sea con una aceleración negativa, ¿no? Construir las funciones de la posición y ver las gráficas, ¿no?, de estas. Ahorita mi idea es que tomemos un recurso, ¿no?, como es por ejemplo la, la iPad en esta ocasión. A me gustaría, este es uno de los softwares que les hemos dicho, ¿no? que pueden tener, ¿no?, que son libres, y entonces en este momento este software me va a permitir, por ejemplo aquí, eh, jugar un poco con la expresión. O sea, la expresión es el software este que les dije de Free Calculator y vamos a ver ahorita el caso de esta recta verde, ¿no?, se fijan. Cuando la quiero construir a esta recta verde, voy a usar aquí este, esta primera digamos opción para dibujar una recta como la verde que tenemos acá. No va a quedar verde, va a quedar roja por que el software la puso roja, okay, pero la expresión aquí lo que necesita, habíamos tener es un valor inicial negativo. Propongamos que sea un menos 2, ¿si?, y luego tendríamos que poner un más, ¿por qué?, porque tengo una aceleración positiva, o sea para que sea esto de acá. Podría ser menos 2 más, 5, vamos a atrevernos. Yo pondría aquí t se fijan, pero en el graficador, ¿que tengo que poner?, pues lo que me da chanza y, ¿qué me da chanza?, pues x, ¿okay? Bueno pues x. Entonces salvemos esa ecuación. Tenemos menos 2 más 5 x. Ahora vamos a graficar aquí en la que sigue lo que vendría siendo la posición, ¿cierto?, nada más que tenemos que hacer nuestra traducción, ¿se fijan? O sea, aquí necesitaríamos que en el valor de la posición inicial pues nos atrevamos a poner un número. Ese no nos lo da la velocidad, eso es algo que nosotros vamos a suponer. Entonces vamos a ponerle una posición inicial digamos como, ¿qué?, un 7, ¿si? Porque se me ocurre nada más. Es más, podemos poner cualquier valor numérico, ¿no? Y después le vamos a agregar v 0 t. Ese v 0 t viene siendo el menos 2, ¿no?, que teníamos. Menos 2 multiplicado por x, ¿no?, y luego seguiría el más a 0 t cuadrada entre 2 y este a 0 que esta aquí es el valor numérico que teníamos acá para el a 0, ¿no?, que ahorita, este, si bien recuerdan ustedes cuanto había sido, era un 5, ¿no? Sí le ponemos aquí un 5 entonces nos va a quedar 5 entre 2 por t al cuadrado, ¿cierto? Sí aquí hay un 5 aquí sería 5 entre 2 por t al cuadrado. O sea vamos a ponerle aquí un más 5 entre 2. Vamos a poner sí lo toma bien 5 entre 2, a ver como nos lo escri, escribe, parece ser que si, por x al cuadrado, ¿no? Entonces vamos a salvarla, ¿okay? Entonces, ¿qué es lo que tenemos aquí?, bien sí esto you lo hicimos bien, ¿no? Elegimos un valor inicial, el 7, y luego el menos 2 sería un menos 2 por x y este más 5 x se convirtió en 5 medios de x cuadrada, ¿okay? Sí en este momento le pedimos que grafique vean el tipo de gráfica que nos quedó y comparemos con lo que tenemos acá. Ciertamente, o sea es un gráfico de velocidad que cruzó el eje, ¿cierto?, y nos dio un gráfico de la posición, ¿no?, tipo como, pues como alguno de estos, como el verde. Aquí tengo yo la ventaja en este graficador de poder hacer cosas como esta o esta, ¿no?, y moverla a mi antojo para que ustedes vean mejor esas propiedades, ¿no?, que tiene el gráfico porque lo que quiero yo es hacerles ver como otra vez tenemos una relación entre la derivada y la función donde aquí el momento en donde es 0 es justo donde tengo el mínimo, ¿no?, y donde en toda esta zona que hay, eh, negativo en la derivada tenemos decrecimiento y positivo en la derivada corresponde con el crecimiento. Aparte de que el crecimiento de la derivada corresponde con la concavidad, ¿okay? Vean como el graficador nos da la imagen completa, ¿por qué?, pues porque realmente esta graficando una parábola, ¿no?, la parábola completa. Otra cosa es que nosotros usemos esa parábola en el contexto de movimiento en cuyo caso haría algo como lo que estoy haciendo justamente ahora. O sea, les tapo la zona negativa, ¿no?, para usar el gráfico en la zona que corresponde nada más para los tiempos positivos. Entonces esta seria, digamos, la relación que you habíamos establecido antes. Aquí es donde diríamos o interpretaríamos que el chico va a la izquierda cada vez más lento, se para, y luego va hacía la derecha cada vez más rápido, ¿no? Lo hemos logrado, podríamos plantearnos diferentes preguntas. Por ejemplo la pregunta más interesante aquí sería, ¿en qué, eh, posición vamos a ponerlos así, o sea, vamos a poner esta pregunta sobre la mesa y decir, ¿en qué posición se, se detuvo para devolverse? ¿Okay? ¿En qué posición se detuvo para devolverse? ¿Okay? ¿Qué es lo que hay que accionar en nuestra mente para que podamos decir en qué posición se detuvo? Lo que necesitaríamos nosotros pensar es justo en lo que habíamos observado acá, ¿no? ¿Se fijan? O sea, para que se detenga tengo que llegar al momento este en donde el tiempo, eh, me señala una velocidad 0, ¿okay? Este tipo de preguntas hace accionar en nuestra mente un proceso que combina las dos gráficas. Tengo que encontrar este instante y tengo que evaluarlo acá, ¿no? Entonces, ¿cual sería la acción para responder esta pregunta? La acción sería igualar la velocidad a 0 y después el valor numérico del tiempo que sale al igualar a 0, sustituirlo para evaluar la función de posición en ese lugar, ¿okay? Entonces vamos ahora a hacer el siguiente ejercicio. Yo voy a dejar estas preguntas así abiertas ahorita para no dedicarle el tiempo, ¿no?, a, a lo algebraico, sí no se nos acaba el tiempo del vídeo, y mejor vamos a hacer el otro ejercicio, ¿no? Voy a dejar estas dos funciones ahí sobre la mesa y mejor usemos esta zona para poder poner el otro ejemplo que decíamos de una velocidad como la roja dijimos, ¿no? La roja que está aquí tendría, ¿qué?, un valor inicial positivo. Entonces pongamos un valor inicial positivo. O sea, vamos, podemos poner cualquier valor inicial. O sea, vamos a ponerle por ejemplo un 3.5, ¿okay?, y a eso le vamos a agregar la aceleración por el tiempo. Ahora para que este gráfico vaya decreciendo, la aceleración tuvo que ser negativa. Entonces tendríamos que ponerle aquí un menos y un valor negativo. Vamos a ponerle un, ¿qué sería bueno?, un .85, ¿okay? Un .85 y aquí tendríamos que poner por x, acá sería por t pero el graficador no nos lo va a permitir. Entonces tendríamos menos .85 por x. Esa sería nuestra, déjenme apuntarla acá porque luego se me pierde, nuestra, eh, siguiente función de velocidad. Esta es una velocidad, vamos a salvarla, y vamos ahora a construir la gráfica de la, no la gráfica, perdón, la expresión de la posición. Entonces vamos a tomar esta expresión y la vamos a, como lo hemos dicho, a antiderivar, ¿no?, y asignar un valor numérico. Les propongo que asignemos un valor mi, numérico como pues negativo, ¿por qué no? Vamos a agregar un valor numérico negativo, después pondremos este por la t y el otro por t cuadrada entre 2, ¿no? Okay. Ahí me quedo el mismo. Vamos a hacerlos acá. Entonces vamos a ponerle un valor inicial negativo. O sea, estoy tomando aquí una cosa como esta, ¿no?, algo negativo. Entonces vamos a poner menos, eh, 5.689, por ejemplo, ¿no? ¿Por qué no? Que al cabo lo va a hacer el graficador no nosotros, ¿si? Ese es un valor inicial positivo y después lo que haríamos es ponerle nuestro 3.5, ¿si? Ese 3.5 va a estar multiplicado por la x, o sea, por el tiempo. Estoy fabricando esto de acá, ¿no?, y luego sería la subcero que en nuestro caso es un menos .85 Entonces sería un menos .85 entre 2, ¿verdad?, por x al cuadrado. Menos .85 entre 2 por x al cuadrado. Okay, vamos a salvar, y veamos ahora nuestro gráficos, ¿no? Serían el verde y el morado, ¿okay? Pedimos los gráficos y ahora vamos viendo la zona ubicándonos. El verde y el morado son estos de acá, ¿si? Voy a traérmelos hacía acá. Voy a hacer algo como esto. Yo creo que sería lo ideal para que lo vean ustedes mejor y ahí está, ¿no? En esta zona tenemos esta recta que va decreciendo, ¿okay? Comienza en un valor positivo ca, acaba, este cruza aquí, ¿no? Parece el 4 pero seguramente que no ha de ser. O sea, los puntos que puse, los números no eran tan acertados aunque, no, no le atine al cuatro, claro que no, y después de eso tenemos aquí como el gráfico morado en este lugar en donde cruce que será, lo podemos encontrar claro, ¿no?, vamos a tener aquí el máximo. Ese máximo que se alcanza, venimos de valores negativos y luego llegamos aquí y continuamos con el crecimiento después decrecimiento, ¿no?, que sería cada vez, eh, que diríamos el movimiento cada vez más rápido, ¿no? O sea, tenemos velocidad positiva y luego negativa. Entonces el objeto va hacia la derecha cada vez más lento, se para en este instante, y luego va hacia la izquierda cada vez más rápido. Sí yo pregunto, eh, ahora por este lugar, por este máximo, sería como preguntar, ¿en qué posición llegó lo más a la derecha posible, no?, y eso sería otra vez una pregunta como la que hicimos anteriormente, ¿no? Diríamos, ¿en dónde la velocidad es 0? Sacamos el valor de la t, de resolver esa ecuación lineal, y ese valor lo sustituimos en la función de posición, o sea, evaluamos la posición, ¿no?, pero mejor ahorita la pregunta que les voy a hacer con este ejercicio sería otra en donde también los invito a que pensemos que hay que hacer para resolverla, o sea, ¿cuál sería la pregunta? La pregunta que les pondría yo es para que la respuesta sea esta. O sea, ¿cuándo pasa por el origen de la recta en que se mueve? ¿Cuándo pasa por el origen de la recta en que se mueve? Estoy conectando con el movimiento y entonces aquí diríamos que este, en este movimiento se comenzó en esta posición inicial y va hacía la derecha, cada vez más lento, y aquí pasó, ¿se fijan? En donde cruza el eje, en este lugar es cuando pasó y luego acá vuelve a pasar, ¿okay?, y entonces tendríamos que la respuesta es 2 puntos y la pregunta es un, ¿cuándo? La respuesta es un tiempo, ¿no?, y en el caso del gráfico que vamos, estamos viendo, la respuesta tiene dos tiempos. Hay dos tiempos en que pasa por el origen de la recta en que se mueve. ¿Qué tengo que hacer para contestar esta pregunta? Lo que tendría yo que hacer es pensar que aquí vale 0 la altura, ¿no?, en la parábola, ¿no?, y esa altura me la esta dando justamente la x, ¿okay? Entonces aquí lo que habría que hacer es x de t igual a 0 y, ¿qué nos va a quedar al hacer x de t igual a 0? ¿Qué nos va a quedar? Aquí esta. Bien, vean ustedes la x de t, nada más que aquí ahorita la están viendo como y de x, ¿no?, pero esta expresión que esta aquí, tan fea así como se ve, habría que igualarla a 0 y eso lo que nos va a dar lugar es a una ecuación cuadrática. Ecuación cuadrática que seguramente no es de esas que se factorizan y que seguramente vamos a necesitar utilizar la formula general, ¿no?, la formula general para resolverla, ¿okay? Entonces yo los dejo con esas preguntas y con unas, eh, extras más. Me gustaría que ustedes tuvieran este software por, por la facilidad, se fijan, con lo que estamos, este, utilizandolo porque ahora que lo estaba usando se me ocurre que pudiéramos usar estos espacios, vamos a, a quitar, lo de aquí, ¿no?, para poner los otros ejemplos que nos quedan, ¿no?, y que vean ustedes como, como logro, ¿no?, por ejemplo que sea una velocidad como esta que siempre sea positiva. Lo que tendría que hacer es que el valor inicial sea positivo y la aceleración también. Entonces puedo poner ahorita valores sencillos, ¿no?, un 2 más, eh, 5 x como, como los, como esos valores. Ay, lo borré todo, perdón. Es un 2 más 5 x, ¿no? Es que estaba pensando que pude haber usado la otra, ¿no?, y editar ahí. 2 más 5 x, ¿no?, la salvamos, y entonces ahora en la posición, ¿qué es lo que vamos a poner? Vamos a ponerle ahora un valor inicial que empiece, por ejemplo, en uno negativo, ¿no?, por ejemplo como esto de acá. Entonces vamos a ponerle un menos, eh, cin, no menos 8 más, que era lo otro, más 2 por x y luego le habíamos puesto 5 x. Entonces sería más 5 medios que es un 2.5 x al cuadrado, ¿okay? Quiero mostrarles algo con esto. Vamos a salvarlo. Déjenme borrar estas para que no nos estén metiendo ruido y ahora si, okay. Vámonos a la gráfica y vean ustedes, ¿okay?, vean ahorita lo que pasó con este graficador. Por eso me gusta, eh, que ustedes pudieran tenerlo y manipularlo, porque aquí una you tiene you una imagen de lo que debe de pasar y entonces uno puede puede mover el, el, graficador a la zona que conviene, ¿no? Entonces sí estoy solamente en el caso del movimiento estaría yo viendo algo así. Lo voy a alargar para que se vea más amplio, ¿no? Sí estoy en el caso del movimiento sería algo así. Voy a, enpa, enchaparrecer, ¿no? Ahí esta. Tengo una velocidad completamente positiva. Tengo un gráfico completamente creciente, ¿no? Tengo una velocidad creciente. Tengo una concavidad arriba. Pero claro que este gráfico así esta siendo interpretado en el contexto del movimiento. Sin embargo, el graficador, o sea, lo hizo completo, ¿ven? O sea, si yo les muestro la imagen glo, eh, completa, ¿no?, del graficador ahí esta, por ejemplo, una buena imagen, ¿no?, y ahí se ve claramente otra vez una situación global, ¿no?, de una parábola, ¿no?, y una recta. Parábola y recta que están conectadas, están relacionadas entre sí. ¿Qué es lo que esta pasando? Estoy viendo la derivada de esta parábola y entonces donde la parábola cruza el eje, justo ahí es donde tengo el mínimo, eh, donde la derivada es negativa, en esta zona, es donde la gráfica de la parábola decrece y donde la derivada es positiva es donde la gráfica de la parábola crece. ¿Se fijan? O sea, son los mismos resultados solamente que ahorita estaríamos en otra zona distinta, ¿no?, sí fuera el contexto del movimiento sería verlo hacia acá, ¿no? Yo esperaría que ustedes usen este graficador y jueguen así. O sea, hagan ustedes sus propias expresiones algebraicas y observen este tipo de relaciones. Vean como uno cuando you conoce esto, ¿no?, o sea, como se comporta numéricamente uno you sabe en donde hacer así o así o así para tener justo la zona que me da una imagen global, ¿no?, del gráfico en el sentido que les dije. Aquí esta función y su derivada plenamente relacionadas entre sí, ¿okay? Yo los invito para nuestro siguiente vídeo. En el siguiente vídeo vamos a ahora si you a relacionar nuevamente nuestro conocimiento pero con, eh, o, contextos reales donde otra vez vean ustedes también en nuestro discurso tenemos contextos, vamos y generalizamos abstraemos, simbolizamos, ¿no?, y you tenemos un conocimiento matemático en Xs y Ys, ¿okay?, y otra vez vamos a ter, a aterrizar en el contexto. Las aplicaciones en matemáticas son realmente, el que uno pueda aplicar, es realmente adquirir una competencia, ¿no?, una competencia que nuestra perspectiva, nuestro punto de vista es algo que se logra cuando el contexto real me hizo, ¿no?, producir una generalización, una simbolización matemática y después vuelvo sobre el mismo contexto real. No es teoría y luego práctica, no. Es realmente problemática que da lugar a una teoría que después, gracias a esa problemática de inicio, va y se aplica. Los invito al próximo vídeo donde vamos a aplicar.
