Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Tanque con dos llaves distintas
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
99 calificaciones
De la lección
De un MUA transferimos a un CUA
Hablaremos nuevamente de la importante acción de transferencia cuando aprendemos Matemáticas. El conocimiento generado en el contexto real del movimiento en línea recta lo vamos a transferir a otros contextos reales con la intención de, posteriormente, generalizar al contexto matemático.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Ya hemos practicado bastante con esto de las interpretaciones de las gráficas.
Me gustaría ahora que avanzáramos un poquito más con las cuestiones
de la representación algebraica cuando ahora ya nos atrevamos
a que la velocidad no tenga que empezar en el valor inicial cero.
O sea eso es algo que no hemos tocado desde el punto de vista algebraico y
para eso voy a permitirme hacer un cambio de contexto, ya más o menos
los he habituado un poco a eso y entonces según como los dejé en la sesión anterior,
me gustaría ahora que sigamos pensando en tanques.
O sea vamos a pensar ahora en un tanque, ya lo hemos hecho
antes pero ahora que sí sea cilíndrico, o sea que sea un tanque común y corriente,
¿no?, un cilindro nada más y bueno, ya habíamos hablado que
una llave estaba introduciendo agua en ese tanque ¿cuál va a ser la variante ahora?
La variante es que nos vamos a traer una segunda llave que también
esté actuando en el nivel, o sea algo que va
a influenciar también que haya un cambio en el nivel de agua digamos,
se esta llenando el tanque de agua con ahora dos llaves, ¿no?
Yo tengo una versión de un tanque que tengo aquí en el papel,
me gustaría que me acompañaran al papel para que pudiéramos ver
qué sería lo novedoso desde el punto de vista algebraico.
Entonces para que lo veamos aquí en el papel, vamos a diferenciar las
llaves si me lo permiten, vamos a diferenciar estas llaves porque esta tiene
digamos un rojo aquí y la otra tiene un azul, okey.
Entonces tenemos nuestro tanque con sus dos llaves, las dos llaves están
arrojando el agua, okey, vamos a suponer ciertas condiciones,
condiciones iniciales por ejemplo pensemos que, ya me estoy entreteniendo yo aquí no,
de pensemos que no estaba, que estaba vacío el tanque,
o sea vamos a pensar de que estaba originalmente vacío el tanque,
entonces pues tendríamos aquí un nivel inicial, de cuánto,
pues tendríamos que decir de cero, ¿no?
O sea vamos a hablar en el color verde, de un nivel inicial,
la palabra, bueno la letra h no tiene nada que ver con nivel,
es una herencia del inglés, creo que ya se los había comentando, es mi costumbre,
bueno vamos a ponerle un h sub cero con eso estoy diciendo el nivel
del agua a los cero segundos, o sea cuando comenzamos a ver esta situación,
este fenómeno están actuando esas dos llaves pero estas dos llaves se van
a diferenciar porque la llave roja, digamos la llave roja va a ser
de un tipo mru, o sea si yo les digo las siglas mru
yo estaría ahorita asociando con movimiento rectilíneo uniforme,
o sea ese movimiento en donde la velocidad es constante.
Ahora hacer el cambio del contexto de movimiento al contexto ahora de estos
tanques me haría proponerles que pensemos ahora no en mru sino en cru,
qué significaría cru, cambio, no le tengo que quitar la r,
cu, cambio uniforme, ¿no?, o sea un cambio uniforme estaría diciendo
que si el nivel de agua va a ser afectado por esta llave roja entonces esta llave
roja va a ocasionar que el nivel aumente lo mismo en iguales intervalos de tiempo
cualesquiera que estos sean, o sea va a estar arrojando siempre la misma cantidad
de agua y va a provocar entonces que el nivel aumente de una manera uniforme, ¿no?
Entonces en ese sentido podríamos proponer que la razón de cambio del nivel
con respecto al tiempo por culpa de esta llave fuera una razón de
cambio igual a, a dos por ejemplo, qué unidades tendríamos aquí,
estos serían dos centímetros por segundo, ¿no?
Digamos que está aumentando el nivel gracias a la caída
de agua de esta llave dos centímetros cada segundo que pasa, okey.
Entonces esta sería una razón de cambio roja porque
tiene que ver con la llave roja que obedece a un cambio uniforme,
por otro lado en la llave azul tendríamos el nuevo caso que
hemos estado construyendo en donde esta llave digamos puede estar
respetando una razón de cambio igual a, por decir cuatro t, sí.
¿Qué querría decir esto?
Bueno esto ya me está hablando de que estoy cambiándoles al caso de
un movimiento uniformemente acelerado,
¿no?, o sea ahora estoy hablando, hágame la asociación,
la analogía con la velocidad, es una velocidad igual a cuatro t,
o sea es una velocidad variable pero varía uniformemente,
o sea la aceleración o razón de cambio de la velocidad sería este cuatro.
Ahora en el contexto de los tanques estaríamos hablando de la razón de cambio
el cuatro es la razón de cambio de la razón de cambio, okey,
y esta razón de cambio original del nivel estaría expresada con esta
función que es una función lineal, ¿no?
Entonces cambiando el contexto de los tanques, en lugar de decir mua,
qué vamos a decir, vamos a decir como el pato,
cua, o sea cambio uniformemente acelerado,
o sea estaríamos hablando del cambio en donde la razón de cambio de la magnitud,
en este caso el nivel es una expresión lineal,
o sea obedece a un cambio uniforme, la razón de cambio, sí,
la razón de cambio obedece al cambio uniforme y la magnitud original que sería
el nivel obedece a un cambio uniformemente acelerado, o sea un cambio donde la
razón de cambio tiene una razón de cambio que es constante.
Todo esto parece un trabalenguas realmente, ¿no?, pero
igual espero que me puedan seguir en este discurso cada vez con mayor facilidad.
Entonces tenemos dos llaves, dos llaves actuando en este tanque, una está haciendo
que el nivel aumente proporcionalmente con respecto al tiempo y la otra,
este cuatro t me está diciendo que la cantidad de agua que está cayendo por ella
es algo que está variando en el tiempo, es algo, es más, pasa el tiempo,
en el tiempo cero es cero, en el tiempo uno es cuatro, en el tiempo dos es ocho,
en el tiempo tres es 12, por hacer multiplicaciones fáciles, ¿no?
Pero con eso ya les estoy indicando lo que al principio cuando empezamos a ver este
fenómeno, esta llave estaba cerrada,
¿no?, la razón de cambio de r por cuatro t es cero.
O sea estaba cerrada y se está abriendo, pero se está
abriendo como quien hace algo así, ¿no?, que está abriendo la llave paulatinamente,
está abriendo la llave paulatinamente de tal manera que esa razón de cambio empieza
a aumentar, o sea cada vez que pasa el tiempo cae más agua, okey.
Pero ese cae más agua es un cae más agua de una manera muy uniforme, okey.
Entonces para esta expresión ya tenemos algo avanzado,
para esta ya lo habíamos avanzado antes en nuestro modelo lineal.
Entonces si yo tomo el color rojo, ustedes estarán de acuerdo que
el nivel de agua va ser afectado por esta razón de cambio constante
con el factor o con un factor igual a dos t,
o sea si yo pensara nada más en que el nivel del agua de este tanque
con una sola llave, yo diría que ese nivel va a estar expresado como dos t.
Si fuera nada más la llave roja.
Si fuera nada más la llave azul sería como un ejercicio como
el que hemos hecho anteriormente, ¿no?, hace poco y diríamos ahora que el nivel
para esta llave azul estaría afectado de tal manera que aquí nos quedaría qué,
la letra a se acuerdan es este cuatro, cuatro y luego tendríamos t cuadrada
entre dos, t cuadrada entre dos que hemos construido ya con anterioridad,
entonces nos quedaría al final de cuentas aquí un dos t cuadrada.
¿De acuerdo?
Entonces esto sería si solo la llave azul actuara
y esto sería si solo la llave roja actuara, okey.
Sin embargo si vamos a estudiar la situación donde ambas llaves intervengan,
entonces necesariamente tenemos que considerar los aportes de ambas llaves,
¿no?, de tal manera que espero que les haya yo convencido
de que el nivel del agua tendría que estar formado, vamos a ponerlo con color negro,
vamos a ver si funciona este negro, o sea el nivel del agua ahora estaría
expresado como un nivel inicial que es cero porque dijimos que era cero, sí,
más la aportación del nivel del agua que tiene que ver con la llave roja más
la aportación de agua del nivel del agua que tiene que ver por la llave azul, sí.
Entonces nos quedaría una expresión que más compacta es un dos t,
este marcador no me gustó mucho pero bueno ahorita lo cambiamos, más dos t cuadrada.
O sea tengo una expresión para el nivel del agua que es dos t más dos t cuadrada,
esta expresión ya me estaría aquí
tomando en cuenta lo que la acción de ambas llaves, ¿no?
En ese sentido esta, este contexto del llenado de tanques es un contexto
Ideal para que pasemos ¿no?
a la situación en donde tenemos ahora una velocidad inicial no cero, que
en nuestro caso sería lo que tiene que ver con esta razón de cambio constante ¿no?
de la llave roja.
¿Okey?
Entonces construida esta situación me gustaría que contestáramos pues al menos
una pregunta ¿no?
Hagámonos una pregunta que pudiera tener sentido en esta situación.
Yo diría que, si dejo mi imaginación ¿no?
volar este nivel de agua va a estar subiendo ¿cierto?
Y por, el hecho de que esta llave va a estar aportando
cada vez más y esta sigue aportando siempre su dos ¿no?
Entonces el nivel del agua tendría que subir cada vez más rápido ¿okey?
O sea, a lo mejor ya en su mente he logrado que piensen que gráficamente aquí
tendríamos como si graficáramos el nivel necesariamente tiene que ser algo así.
¿No?
Algo que crece con concavidad hacia arriba
indicándonos que el nivel sube cada vez más rápido.
¿Okey?
Entonces siendo así una pregunta interesante podría de ser,
¿cuándo se llena, no?
O sea, cuando el nivel alcanza la altura máxima que puede tener,
o sea, que sería justamente a la altura de este tanque.
¿Cuánto mide este tanque de altura?
No sé, no lo habíamos puesto.
¿Verdad?
Pero pues podemos poner algo.
¿Qué pondríamos?
Pongamos un metro.
Si estamos trabajando en centímetros entonces pensemos que este nivel,
perdón que esta altura son 100 centímetros ¿no?
100 centímetros.
Entonces la pregunta que nos podríamos nosotros plantear en este
video sería, ¿cuándo se llena el tanque?
¿Cómo contestar esta pregunta?
Bueno pues, las indicaciones que les he dado antes o sea,
siempre es importante interpretar incluso ¿no?
las preguntas.
Un cuando, ¿es una pregunta de qué?
De un tiempo.
Y la situación que estamos viendo es un cuando se llena el tanque,
que se llene el tanque quiere decir que el valor del nivel llegue a un cierto valor.
O sea, en cierta forma la pregunta la podría yo reescribir así ¿no?
¿Cuánto vale t no,
para que el nivel en ese t sea igual a 100?
Okey.
Eso nos lleva aquí a un proceso, ¿de qué?
Un proceso algebraico, ¿de qué?
¿Qué tendríamos que hacer?
Lo que tendríamos que hacer es igualar ¿no?
A ver, vamos a igualar el nivel con
el valor 100 y eso nos va a generar esta expresión.
A ver, si n es igual a dos t más dos t cuadrada.
¿De acuerdo?
Y de esto, lo que tendríamos es que encontrar el valor de t apropiado
para que esto se satisfaga.
No me voy a poner aquí o sea, una primera impresión que me pasa con los estudiantes
es de que cuando ven esta expresión ya quieren meter el dos, el tres,
el cuatro en la t como viendo a ver si le atino.
O sea, por ejemplo un dos por cinco son diez, más dos por cinco al cuadrado es 25.
Entonces me queda aquí un diez más un 50, van 60, no me dio 100.
Claro que ellos lo hacen con la calculadora,
yo se los estoy haciendo mentalmente ¿no?
Bueno, no es la idea andar aquí adivinando ni probando sino generar ahorita
o dar con el proceso algebraico que es el adecuado para contestar con exactitud ¿no?
Si ustedes se ponen a ordenar esta expresión o se las ordeno yo, ¿no?
a la mejor la van a reconocer.
Voy a poner el dos t cuadrada ahí primero, luego el dos t hagan de cuenta que vi un
espejo y puse este dado acá y este si lo paso del otro lado donde están
ellos quedaría con un signo negativo ¿no?, menos 100 igual a cero.
A lo mejor en este momento ya recordaron lo que es una ecuación cuadrática ¿no?
Esta ecuación cuadrática tiene un término de t al cuadrado,
un término lineal y un término constante.
Es más en esta ecuación cuadrática yo me atrevería a sugerirles que
dividan todo entre dos, simplifiquemos en la medida de lo posible las expresiones.
Y entonces nos quedó t cuadrada más t menos 50 igual a cero ¿Okey?
Y entonces ahora sí vamos a aquí a expresar esto, a reconocer su nombre.
Esto se llama una, ¿cómo se llama este?
Esta es una ecuación cuadrática.
Para contestar nuestra pregunta entonces, ¿cuál pregunta?
Esta, ¿no?
¿Cuándo se llena el tanque?
Tendremos que resolver una ecuación cuadrática.
¿Saben resolver una ecuación cuadrática?
Si lo hicieron alguna vez y ya se les olvido, no importa.
Ahorita lo vamos a recordar y tratemos de hacerlo ¿no?
para poder tener la solución a nuestra pregunta ¿no?,
la respuesta a nuestra pregunta.
Hemos visto entonces que para contestar nuestra pregunta de,
¿cuándo se llena el tanque?
Vamos a tener que ser capaces de resolver una ecuación cuadrática.
Malo el asunto, si esto no les suena bien
porque ya están hartos de esas ecuaciones cuadráticas.
Sin embargo, yo les puedo asegurar que estas soluciones que vamos a hacer,
van a ser diferentes digamos de lo que ustedes hubieran podido haber visto antes.
Ahorita la ecuación cuadrática ha salido en nuestro discurso,
porque nos va a permitir dar respuesta nuevamente a una pregunta de predicción.
Yo los invito a que se den un momentito por investigar, a lo mejor por internet.
O sea, busquen nada más o busquen en su cabeza ese recuerdo,
¿de cuál es esa ecuación cuadrática de la que Patty ya está hablando ahora?
¿A qué se está refiriendo con eso?
Sino recuerdan nada, sino lo han visto no importa O sea,
la próxima ocasión en que me vean, yo voy a retomar con ustedes
la ecuación cuadrática desde un punto de vista muy general.
Van a reconocer esa estación,
como la hayan visto en otros lados o como la hayan recordado ustedes en su cabeza.
Pero, a la mismo tiempo vamos a ver como aplicarla en esta situación
del llenado del tanque para saber finalmente,
en qué momento o en qué instante el tanque de agua se va a desbordar.
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