Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. El contexto real de llenado de tanques permitirá hacer una primera transferencia de significado y recapitularemos contenidos preuniversitarios relacionados con el Modelo Cuadrático. El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Variando la aceleración
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
2.- El Cálculo - Modelo Cuadrático
99 calificaciones
De la lección
Concibiendo un movimiento MUA
Retomaremos el Movimiento Rectilíneo Uniforme para con él concebir un movimiento en el que la velocidad varíe uniformemente. En esto la tecnología tendrá una participación decisiva. Podremos entonces hablar de un Movimiento Uniformemente Acelerado.c
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Regresamos ahora
con nuestra situación eh, del movimiento uniformemente acelerado.
Ya hemos obtenido varias cosas.
Ahorita me gustaría que avanzáramos un poquito más en esta situación.
Y hay una idea muy simple que es la que quiero poner en juego durante este video.
La idea consiste en lo siguiente.
Yo creo que voy a ser más clara si lo ponemos con nuestro,
con nuestro software, ¿no?
Para podérselos expresar visualmente.
O sea ahorita la imagen que tenemos es esa expresión que ya teníamos de,
desde antes, ¿no?
De la x de t igual a t cuadrada y v de t igual a dos t.
Porque aquí en 10 vale, vale 20, ¿no?
Tendría que sumarlo aquí vale 20, ¿okey?
Esta es la situación el que hemos manejado que ya llegamos a precisar la posición,
incluso, perdón agregando la posición inicial de la chica.
Aquí la expresión sería x de t igual a la posición inicial más t cuadrada, ¿no?
Bueno, pero ahora lo que quiero hacer es una pequeña variación en la velocidad.
Esa variación consiste en lo siguiente.
O sea, fíjense, yo lo que quisiera es que la chica
fuera a la mitad de la velocidad a la que iba siempre.
O sea esa es la idea que quisiera que pusiéramos en juego.
Si yo ya se que un objeto se mueve con cierta velocidad y llega a una
cierta posición en determinado tiempo, ¿no?
Resulta natural pensar que si se moviera a la mitad de la
velocidad que llevaba en cada instante eh, en cada instante.
Entonces es de esperarse que a la posición que llegue sea a la mitad
de la posición a la que llegó antes.
Entonces vamos a poner en la velocidad justamente en esta altura de 10, ¿no?
En esta altura de 10 yo lo que estaría haciendo es
provocando que la velocidad sea la mitad de la velocidad que llevaba antes.
Si lo hacemos así, no se si ustedes,
yo estaba acá muy atenta aquí en los cuadritos, ¿no?
Para ver en dónde le atinara, ¿no?
Pero no se si ustedes percibieron lo que pasó con este gráfico.
Debió de haberse hecho más, no se, bajo, ¿no?
Igual vamos a ver ahorita a la chica caminar.
¿Qué podríamos con eh, diferenciar con respecto al antes?
¿No?
Podríamos diferenciar en que ahora ciertamente se mueve cada vez más rápido
pero en esta ocasión ese movimiento no es tan,
tan rápido como lo era el anterior, ¿no?
¿Cierto?
La concavidad de esta curva tiene que manifestarnos algo sobre eso.
Si, si esto lo llevamos, digamos al terreno algebraico,
vamos a ponernos aquí a, a trabajar en el terreno algebraico,
si me gustaría que viéramos acá los apuntes que vamos a tomar.
O sea en el terreno algebraico lo que nosotros teníamos originalmente
era que la velocidad era dos t, ¿okey?
Y de ahí obtuvimos que la posición era t cuadrada, ¿no?
T cuadrada más el valor inicial.
Supongamos ahorita que no altero ese valor inicial y que solamente es un cero.
¿no? Que está ahí más un cero.
Ahorita lo que hicimos con el graficador fue provocar que la velocidad fuese
la mitad de la velocidad que llevaba antes en cada instante.
Eso entonces haría que esta velocidad fuese igual a dos t entre dos.
Esa es la mitad es como dividir todo entre dos y nos queda t.
O sea que la gráfica que estoy tomando en cuenta allí es v de t igual a t.
En ese caso nuestra implicación, les digo,
natural sería pensar que la posición ya no va a ser t
cuadrada como era antes sino va a ser la mitad de lo que llevaba antes, ¿no?
Sería t cuadrada entre dos, ¿okey?
De esta forma estoy haciendo corresponder con la velocidad igual a t
una posición igual a t cuadrada entre dos,
salvo la suma del valor inicial de la posición, ¿no?
Entonces en ese sentido podríamos ahora pensar de, de la otra manera.
O sea vamos a regresarnos de aquí a acá.
En nuestro pensamiento podríamos decir si la velocidad
originalmente era t la posición corresponde con t cuadrada entre dos.
Si yo ahora la velocidad la multiplico por dos o sea doblo
el dato de la velocidad que sea el doble de lo que llevaba en cada instante,
¿qué va a pasar entonces con el dato de la posición?
Va a tener que ser el doble del anterior.
O sea si a t cuadrada entre dos lo multiplico por dos
entonces me va a quedar aquí t cuadrada, ¿no?
Como lo teníamos originalmente.
De esta manera, con este pensamiento,
o sea yo podría tomar este digamos como mi origen, ¿no?
Mi inicio para el desarrollo del pensamiento, ¿no?
Esta base me va a permitir después
hacer otro tipo de expresiones algebraicas como por ejemplo.
O sea vamos a ponerla aquí, ¿no?
Una, el caso en que tengamos una velocidad
igual a tres t, por ejemplo.
Esta velocidad igual a tres t querría decir que
el dato que yo tenía antes lo multipliqué por tres.
O sea estoy pensando en el objeto que se mueve
con el triple de la velocidad que llevaba en cada instante.
Lo que es de esperar entonces es que su posición, la que alcance en
cada instante sea el triple de la posición de la que alcanzaba en,
en el instante pero con el otro dato, ¿no?
Cuando la velocidad era t.
Entonces aquí sería el triple, ¿verdad?
De esto, ¿sí?
El triple de esto nos queda tres t cuadrada entre dos, ¿okey?
Y, ¿qué tal si pienso que la velocidad del coche o del coche, cuál coche?
Ya me traje un coche ahorita, era nuestra chica, ¿verdad?
Entonces, ¿qué pasa si esa velocidad hubiera sido 1.5
veces la velocidad que tenía antes?
O sea multipliqué por 1.5 la t original de acá.
¿Okey?
En ese caso nuestra posición sería igual a, ¿qué?
A 1.5 veces la posición que tenía antes el t cuadrada entre dos.
O sea nos quedaría 1.5 por t cuadrada entre dos, ¿okey?
¿Qué estoy provocando con esto?
Si estoy provocando en ustedes que se atrevan
a tomar esta expresión que tengo aquí en verde como mi inicio, ¿no?
Del razonamiento.
Y que en esta expresión juguemos
metiendo un coeficiente que multiplica la velocidad.
Como aquí el tres, como aquí el 1.5.
Y que vean que ese coeficiente que multiplica la representación algebraica de
la velocidad va a afectar a la representación algebraica de la posición,
simplemente por aparecer como un nuevo factor aquí.
¿Okey?
Si lo vemos gráficamente,
me gustaría que tuviéramos una imagen gráfica de esto, ¿no?
Ahorita tenemos x de t igual a t.
Bueno creí haberle atinado ahí el t, pero pensemos ahorita que estuviéramos en una,
en una, vamos a subirnos al, ¿qué diríamos ahorita?
Al, no porque no voy a alcanzar ahí.
Vamos a ponerlos en el cinco.
Déjenme mover un poquito aquí la escala para no batallar tanto.
Voy a ponerle que llegue hasta el, perdón, hasta el 15.
Vamos a ver.
Ahora sí está mejor, ¿no?
Y entonces aquí pensemos que en los 10 segundos la velocidad llegó
a ser, ¿cuánto?
Quiero que sea cinco.
Entonces vamos a bajarla un poquito para que llegue ahí al cinco.
¿Okey?
Entonces si está llegando al cinco aquí la velocidad quiere decir que la expresión
de la velocidad aquí está dada por v de t igual a punto,
no, sí 0.5 por t.
¿Sí o no?
Vamos a verlo.
Fíjense voy a tomar una imagen aquí para que lo
podamos hacer con nuestra pluma, ¿no?
O sea tenemos aquí que
si este es el punto que está a la altura cinco, ¿no?
Entonces en este punto yo podría decir que a la velocidad
está tomando el valor que es la mitad de la velocidad de antes, ¿no?
Del, del t.
O sea aquí tendríamos que v de t es igual a un medio de t.
De esta manera cuando la t valga 10, 10 entre dos va a dar cinco, ¿no?
¿Sí?
Entonces para esta expresión este numerito que está aquí
es como el tres que les escribí acá o como el 1.5.
Ahora escribí un medio, ¿okey?
Con los quebrados.
¿Qué esperaríamos acá en la imagen de la posición?
Aquí esperaríamos ahora que aquella posición que teníamos antes que estaba
dada por t cuadrada entre dos se vea afectada por el número un medio, ¿no?
Este número un medio es justo el número un medio que estaba acá.
¿De acuerdo?
Este un medio viene y se deposita en este lugar Alterando la expresión
algebraica que teníamos antes ¿no?
Y nos va a quedar en este caso un cuarto de t cuadrada ¿okey?
Bueno, el paso siguiente sería como les digo atreverse a pensar más en general.
O sea, ya no quiero poner aquí el un medio, el tres,
el 1.5, el raíz de dos lo que ponga.
Cualquier número que ponga aquí en este lugar, yo sé que ustedes
pueden pensar es justamente el dato que está anterior a la letra t
que ya habíamos identificado como el valor constante de la aceleración.
Que tiene que ver con la razón de cambio de la velocidad.
En este caso la aceleración es constante y vale un medio ¿no?
Entonces siendo así podríamos nosotros
atrevernos a expresar la velocidad como v de t igual a a por t,
dónde la a va a ser el dato numérico de la aceleración constante en este movimiento.
¿Okey?
Si ese es el dato numérico de la aceleración constante,
entonces tendríamos una expresión de la velocidad como v de t igual a t
la cual vamos a conectar con una expresión de la posición x de t.
¿Que sería igual a qué?
A a veces t cuadrado entre dos, haciendo uso digamos de nuestro inicio ¿no?
Que cuando v de t era t, x de t era t cuadrada entre dos.
Entonces la expresión nos quedaría, probablemente ustedes la van a recordar
cuando la escriba de esta manera, un medio de a por t cuadrada ¿okey?
Y siendo un medio de a por t cuadrada aquí tendríamos que ser
más precisos en que no le habíamos agregado aquí un valor ¿se acuerdan?
O sea, no lo debería de hacer aquí porque aquí tengo un igual.
Vamos a ponerlo acá, si la posición inicial ¿no?
de la chica esta es, es más vamos a hacer también ahí
una generalización es x sub cero ¿okey?
Entonces en la expresión algebraica para la posición va a ser x sub cero,
más un medio de a por t cuadrada ¿no?
Donde la a viene siendo la aceleración constante en este movimiento.
Si ahorita en este momento ustedes recuerdan el inicio no, de nuestras
presentaciones piensen en aquella situación que decíamos cuando Galileo
¿no?, estaba pensando en esto de la ley de la caída libre de los cuerpos ¿no?
A lo mejor ustedes recuerden que, bueno yo me acuerdo de cuando estudiaba
eso en la secundaria de una formulita que decía más o menos así ¿no?
No tenía con la letra s, este es un recuerdo ¿no?
¿Okey?
Bueno pues esa situación lo que está diciendo es justamente lo
que nosotros estamos encontrando en este caso aquí.
Salvo de que esa a ¿no?
que en este caso era el un medio o el tres o el 1.5,
para el caso de la caída libre de los cuerpos es un número que
Galileo fue capaz de experimentalmente estar tomando valores ¿no?
datos para poder precisarle con cierta, con cierta exactitud ¿no?
Y es el famoso 9.81,
bueno a eso tomando una aproximación metros sobre segundo cuadrado ¿no?
Entonces a lo que hemos llegado ahora en esta presentación
ha sido ir un paso más allá.
Una velocidad v de t igual a a t está asociada con una
posición que es x de t igual a x sub cero, más un medio de a por t cuadrada.
En este caso tenemos completamente resuelto el problema de predicción
para la situación en que una velocidad cambia uniformemente.
O en dado caso podríamos decir cuando la aceleración que viene siendo la razón
de cambio de la velocidad es constante y vale en este caso a.
Vean ustedes como en esta forma hemos pasado de una
razón de cambio constante a un modelo lineal y ahora de una razón,
digo sí de una razón de cambio lineal a un modelo cuadrático.
Y es así como estamos dando lugar ¿no?
al estudio de nuestro modelo cuadrático, analizando
primeramente la situación de un movimiento en línea recta ¿no?
Comenzamos con la caída libre ciertamente también es un movimiento en línea recta,
retomamos nuestro software porque en el software también teníamos ese movimiento
en línea recta.
Consideramos estas condiciones de una aceleración constante y por ende una
velocidad lineal, y hemos logrado a través del uso del software descifrar ¿no?,
¿cuál sería la representación algebraica de la posición en este caso?
El problema de predicción, sería con respecto a la posición.
Hemos dado respuesta a la pregunta, ¿cuál va a ser la posición de
un objeto que se mueve en línea recta, cuando la razón de
cambio de la posición que es la velocidad respeta un cambio uniforme
o cuando la razón de cambio de la razón de cambio de la posición o sea,
cuando la razón de cambio de la velocidad es constante?
Yo creo que seguimos con esto posteriormente y van a ver como
este tipo de lenguaje va a ser algo que será más sencillo.
A lo mejor ahorita parecen trabalenguas ¿no?,
pero espero que en los próximos videos seamos, digamos más precisos
y que logren controlar digamos este tipo de lenguaje conectado con el cálculo.
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