Este curso forma parte de una secuencia con la que se propone un acercamiento a la Matemática Preuniversitaria que prepara para la Matemática Universitaria. En él se asocia un significado real con el contenido matemático que se aprende y se integran tecnologías digitales en el proceso de aprendizaje. La transferencia a varios contextos reales permitirá fortalecer un aprendizaje con significado e integrar tecnologías digitales especializadas. El objetivo es desarrollar un pensamiento matemático en el aprendizaje de contenidos relacionados con el Modelo Cúbico.El período de acreditación para la materia Introducción a las Matemáticas ha concluido. La última fecha para recibir certificados de Coursera es 24 de julio 2017. Informaremos oportunamente cuando la opción de acreditación esté disponible de nuevo. Curso con crédito académico para alumnos admitidos y aspirantes a ingresar a su primer semestre de un programa de profesional en el Tecnológico de Monterrey. Si estás inscrito en este MOOC con el fin de obtener el crédito académico para el curso de Introducción a las matemáticas (Matemáticas Remedial), confirma tu interés en la acreditación a la cuenta: mooc@servicios.itesm.mx. Consulta las preguntas frecuentes para conocer el proceso de acreditación.
Un parámetro "k" y dos efectos gráficos
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
3.- El Cálculo - Modelo Cúbico
87 calificaciones
De la lección
Aplicaciones con cúbicas
Hablaremos de la aplicación conocida como la optimización de funciones considerando el Modelo Cúbico. Con ayuda de la tecnología, interpretaremos el efecto gráfico que se refleja al introducir un parámetro en la representación algebraica de ciertas funciones cúbicas.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
Pues continuamos entonces.
Vamos a analizar lo que you hemos
obtenido algebraicamente pero ahora en este contexto gráfico.
Las cosas tienen que salir, tienen que corresponder ¿No?
Esta es una manera de estar conociendo más a profundidad a nuestro modelo cúbico.
Entonces, si volvemos a la animación,
recuerden ustedes, teníamos en la animación este
tipo de sensación de como la curva y igual a x cubica
se jalaba y luego se aplastaba y se jalaba por otro lado ¿No?
para dar máximos y mínimos.
Y por otro lado dentro del papel lo que nos dimos cuenta
fue de que dependiendo de estos valores de k, a veces tendríamos
el caso de que, de que solamente, no iba haber máximo y
mínimo y a veces el caso de que iba haber un máximo
y un mínimo ¿Verdad?
En el caso de que sí hay un máximo y un mínimo
es un caso como cuando paro yo por ejemplo, el software aquí.
De hecho es algo que pudimos habernos dado cuenta ¿No?
cuando observamos bien aquí las características del software ¿No?
Vean ustedes como ahorita tengo un menos 4 para,
estoy viendo acá abajo menos 4 para el parámetro.
O sea que estoy leyendo acá
y igual a x cúbica menos 4 x.
Y cuando es y igual a x cúbica menos 4 x tengo este caso de aquí ¿No?
¿Sí?
Podríamos incluso tomar esta como nuestra referencia.
Vamos a ponerlo por acá ¿No?
Y estamos con el caso del menos 4 y entonces vamos a tomar una imagen.
Sería una imagen de esta parte y entonces
sobre ella podríamos hacer nuestros ¿no? trabajos nuestros
procedimientos. Tenemos entonces aquí que es y igual a x
cúbica menos 4 x, ¿Cierto?
x cúbica menos 4 x, que su derivada es 3x
cuadrada menos 4. ¿Sí?
Que cuando igualamos a cero, se fijan, nos quedaría
aquí 3x cuadrada es igual a menos, menos 4.
Por eso es esto que nos queda el 4 positivo ¿No?
O sea, esta es la k negativa.
Esta k, perdón, esta k que está aquí vale menos 4.
¿Okay? Y entonces
ahora sí nos queda que x cuadrada es igual a 4 tercios,
de donde x es igual a más menos ¿Qué hay que hacer aquí?
Sacar raíz con la precaución de siempre poner este más y menos.
Y esto nos daría lugar, si repartimos el radical arriba y abajo, a un 2 entre
raíz de 3 y un menos 2 entre raíz de 3. Números irracionales ¿No?
Siempre nos acompañan los irracionales. ¿Okay?
Es que hay muchos, ¿No? Entonces 2 en raíz de tres y menos 2 en
raíz de 3 son lugares que aquí en el gráfico yo diría que están por aquí ¿No?
2 en raíz de 3 y menos 2 en raíz de 3.
Y si quiero usar una calculadora para saber más o menos por dónde ¿Y por qué?
Porque estoy viendo que tiene que ser donde éste
tenga su mínimo y acá donde tenga el máximo ¿No?
Entonces you con esto tendríamos que encontramos
el valor máximo y mínimo de esa función.
Queremos saber cuál es ¿No?
el valor mínimo y el máximo. Tendríamos que evaluar en la función ¿No?
Es algo que podemos hacer si solamente tenemos un poquito de paciencia ¿No?
Vamos a hacerlo aquí lo que haríamos es evaluar y en 2 raíz sobre de 3, ¿Y ésto
que nos daría? 2 entre raíz de tres al cubo, luego
menos 4 por 2 entre raíz de 3, ¿Sí?
Cuando estamos elevando al cubo un cociente se
eleva al cubo cada uno de los términos.
Entonces aquí tendríamos 8 y
síganme aquí en esto. Tendríamos raíz de 3 al cubo.
Eso hace que uno piense en raíz de 3 por raíz de 3 por raíz de 3.
¿Sí?
Eso es elevar al cubo ¿De acuerdo?
Cada vez que tengamos un expresión así, ésto que
está aquí, es lo mismo que el número 3 ¿No?
Porque raíz de 3 por raíz de 3 es raíz de 3 al cuadrado.
Entonces nos queda
un 3.
Entonces la simplificación aquí sería 8 entre 3 raíz de 3.
Luego aquí sería menos ¿Qué sería aquí? 8 entre raíz de 3 ¿Verdad?
Porque 4 por 2 son 8 entre raíz de 3. Total, ¿Qué cantidad nos está quedando?
8 entre 3 raíz de 3 menos 8 entre raíz de 3 ¿Okay?
Podemos hacer esta operación. ¿Cómo podemos hacerla?
Bueno, podríamos sacar un común denominador que es 3 raíz de
3 y nos va a quedar 8 menos 24 ¿Sí me siguen?
No, no lo sé.
3 raíz de 3 entre 3 raíz de 3 da a 1 por 8, 8.
Y luego 3 raíz de 3 nos va dar un 3 por 8, 24 ¿Sí?
Y entonces
aquí nos quedaría en que menos 16 entre 3 raíz de 3.
¿Vamos bien, o no vamos bien? Me parece que, que sí ¿Verdad?
Estaba yo checándolo, ajá. Esta cantidad que está aquí debe
de corresponder con este número ¿No? Con este número, ha de ser
un menos 16 entre 3 raíz de 3 ¿No?
Entonces ése sería, tenía que ser negativo ¿No?
Podríamos sacar el otro valor simplemente sustituyendo
ahora menos 2 en raíz de 3 teniendo
la precaución de que al elevar al cubo nos va a quedar una cantidad negativa ¿No?
Es más, véanlo ustedes aquí.
Esto es algo que me gusta cuando you tenemos el poder
del color.
Si yo estuviera evaluando el menos 2 raíz de
3, podría meter el menos aquí, el menos aquí.
Esto va a hacer que esta cantidad salga negativa y que esta salga positiva.
Cierto.
Y entonces lo único que va a cambiar es un signo ¿No?
O sea ¿Qué vamos a tener aquí como respuesta?
El positivo, ¿No?
Obviamente también ¿Por qué? Porque se puede ver una
cierta simetría en nuestra gráfica.
Entonces aquí tiene que ser 16 entre 3 raíz de 3 ¿No?
¿Okay?
Entonces, estas cantidades que estamos ahorita señalando en el gráfico
you nos dan el máximo y el mínimo y acabando
de hacer nuestro análisis, digamos completo, pues diríamos pues bueno,
de una vez, ¿En dónde está el punto de inflexión?
Y eso es algo que me gusta porque en el caso de esta función,
en ésta, ahí estamos viendo que la derivada de la derivada es un 6x.
Y vean que para eso no importó que estuviera ese menos 4 ¿Cierto?
O sea, realmente ahí el valor de k no importa ¿Okay?
Hemos ilustrado el caso en el que el software nos mostró un máximo y un mínimo.
¿Cierto?
Si mostráramos el caso en que la, en que el parámetro vale 4, entonces estaríamos
nosotros en un caso en donde no hay máximo ni mínimo y eso se va a notar ¿Por qué?
Porque simplemente, al hacer el despeje, le ecuación cuadrática nos va a quedar
algo negativo ¿No? Lo podríamos ilustrar, si quieren, no sé
que tanto tiempo nos quede ahorita para poderlo hacer.
Pero, valdría la pena ¿No?
Porque estos ejercicios de la graficación con las potencias
es algo si ofrece siempre muchas dificultades.
Entonces déjenme sacar una nueva imagen. Tenemos aquí entonces esto.
Y nos vamos a poner aquí a trabajar con este caso
en que la k vale 4 ¿No? Así lo hicimos con la k igual a 4 y
entonces nuestra expresión viene siendo (ahí la vamos a poner) viene siendo y
igual a x cubica, más 4 x. ¿De acuerdo?
La derivamos. Nos queda 3 x cuadrada más cuatro.
Igualamos a cero.
Esto que tenemos aquí es una ecuación cuadrática, pero fíjense que
ahorita yo no he sacado en mi memoria, la fórmula general.
¿Por qué?
Porque estas ecuaciones son aquellas de las
que you les he enseñado que son simples.
No merece la fórmula general.
Paso el 4 del otro lado y you, you quedamos.
Miren.
Quedó negativo. No puede ser que
un número cuadrado, que es positivo, sea igual a un negativo ¿No?
En este momento podemos decir que you estamos
ante la presencia de números complejos, o imaginarios.
En este caso, podríamos decir que que x es igual a más menos raíz de menos 4 entre 3.
Y esto lo podemos indicar como más menos raíz de
menos 4 que es 2 y, entre raíz de 3.
Y entonces ahí están los valores imaginarios ¿No?
Que salieron para esta ecuación cuadrática.
Esas raíces complejas me dicen que la gráfica de la derivada no corta el eje.
O por otra parte, que esta gráfica no tiene no más, no "min",
como estamos viendo en el gráfico. Y por otra parte, si volvemos
a derivarla, ¿Qué va a pasar? La derivada va a ser 6x otra vez.
Y entonces al volver a derivar ese 6x igualado a 0 nos da x igual a 0.
O sea, eso no importó para nada que fuera con una k igual a 4.
¿Se fijan?
O sea, la segunda derivada independientemente del
valor de la k nos va a
llevar a la expresión 6x igual a 0 de donde al igualar a 0,
nos queda x igual a 0. O sea que, todas, todas, todas estas
tienen un punto de inflexión en el origen ¿No?
Vamos entonces a terminar con este video, o sea enfatizando
eso pero a través de la derivada y de manera gráfica.
Entonces si nos regresamos aquí al software, si aquí tengo tecleado creo sí,
miren. Aquí la función que tengo igual a 3x
cuadrada yo debería agregarle aquí un más, que sería más
k, para poder tener la derivada de arriba. ¿Okay?
Vamos a quitarle el color a esta. Vamos a poner este en un tono rojo.
Y entonces lo que estaríamos haciendo es derivando la función con
tono rojo y la función la tendríamos en el tono azul ¿No?
Entonces vamos a hacer nuestras gráficas.
Hacemos nuestra animación y lo que obtenemos es...
Vamos a ver, dónde anda la derivada. Ahí está.
¿Se fijan? No había aparecido.
Podríamos ver esto desde un poquito más lejos.
A ver, para que sea más evidente ahorita.
Vean como viene la curva, parábola bajando y como se conecta con la
gráfica azul ¿Okay? Cada uno de estos casos, por ejemplo,
vamos a hacerlo aquí. En este en particular, vean ustedes.
Esta parábola está cruzando en éste lugar y en éste.
Y esto nos ofrece aquí de positivo y negativo
un máximo, de positivo y negativo un mínimo.
Sabemos que ahí aquí un punto de inflexión y esta,
este digamos, longitud menos 4 de la derivada me está
diciendo que si yo me acercara aquí, aquí a esta
gráfica, yo estaría viendo en esa gráfica una inclinación ¿Qué?
De menos 4, ¿No?
O sea una inclinación negativa ¿De acuerdo?
De 4
a 1.
Porque la derivada you me está dando la información
aún y cuando no me esté acercando al gráfico.
¿Okay?
En otro lugar, por ejemplo acá en un valor positivo, vean ustedes, estoy
en el 1.2 y entonces ahora no hay ni máximo ni mínimo y la altura 1.2
que tiene aquí la gráfica roja me está diciendo que si me acerco aquí,
entonces voy a estar observando esa inclinación de 1.2.
¿Okay?
Eso me hace la diferencia con respecto a la x cúbica original.
Entonces, en esta sesión si ustedes se
habrán dado cuenta, hemos tratado de manejar parámetros.
Hemos visto una función cúbica digamos de una forma más general.
Hemos encontrado que tenemos en estos casos máximo y mínimo
en algunas ocasiones, pero también en todas ocasiones, inevitablemente
hay la presencia de un punto de inflexión. Esta ha sido un
efecto, fíjense, de haber sumado a la cúbica una recta ¿No?
Que curioso ¿No?
Esto lo podría leer como cúbica más recta ¿No?
Y al hacer este agregado de la recta en la expresión algebraica
de la función, verán ustedes como este número k, este
coeficiente, en alguna forma está presente en la gráfica ¿No?
Porque me está indicando precisamente la inclinación de la curva.
Es como una herencia, ¿Sí?
O sea, la derivada realmente es una herencia que tiene la función.
O sea, yo no puedo estudiar esta magnitud,
no puedo saber lo que pasa con ella, si no veo a su derivada.
No sé si me expliqué.
Estas son la ideas en cálculo, ¿No? .
Estas ideas en cálculo nos dicen que ahorita
en nuestro caso, nosotros ¿Qué es lo que tenemos?
Tenemos funciones cúbicas.
Pero no estamos estudiando estas funciones cúbicas aisladas ¿No?
Estamos estudiando estas funciones cúbicas siempre
en relación con una función cuadrática. ¿Cuál función cuadrática?
Pues justamente la que hemos llamado su derivada.
Yo pienso que en el próximo video, bueno
pues, así como estamos haciéndolo ahorita pues a
la mejor valdría la pena decir "¿Y que tal si a la cúbica le sumo una parábola?
Nos vemos en el próximo video.
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