Los cursos de Cálculo Diferencial y Cálculo Integral tradicionalmente se ofrecen separados y respetando ese orden. El primero estudia la derivada, y el segundo, la integral, siendo este momento en el que aparece el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) para establecer la relación entre ambos conceptos. En el presente curso vamos a hacer una diferencia: introduciremos la derivada y la integral como conceptos relacionados desde un principio. Vamos a iniciar con la interpretación del Teorema Fundamental del Cálculo, con esto nos referimos a descubrir su significado real en la solución de problemas. Llegaremos a asociar con él la actividad práctica de calcular el valor de una magnitud que está cambiando. Habiendo realizado esta interpretación, los conceptos de derivada e integral se verán relacionados desde un principio, lo que te permitirá predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Las nociones fundamentales de derivada e integral las identificaremos con las ideas de “razón de cambio” y de “acumulación del cambio”, y el TFC nos proveerá de la estrategia de solución. Recordarás que la Matemática Elemental incluye el Álgebra, la Geometría y la Geometría Analítica. Podemos decir que éstas son Matemáticas que estudian lo estático. En cambio, la Matemática Superior, que incluye el Cálculo, estudia lo dinámico. Con el Cálculo se inicia el estudio del cambio, una realidad presente en nuestro entorno cotidiano sin duda alguna. Costos, temperaturas, poblaciones, velocidades, energías, capitales de inversión, longitudes, etc., son algunos ejemplos de esto. En este curso podrás entender al Cálculo como una estrategia de solución para el estudio del cambio y diferenciarlo de las Matemáticas Elementales, aunque utilice de ellas bastante información. Al finalizar este curso podrás: Describir de qué manera los modelos matemáticos polinomial, exponencial natural, y trigonométricos (seno y coseno), son una construcción que responde a esta práctica de predicción. Los verás a todos ellos surgir de esta práctica cuando una magnitud real particular cumple ciertas condiciones en su “razón de cambio” con respecto a la magnitud de la que depende. Utilizar la introducción de procesos infinitos (¡no imposibles!) en la construcción de la respuesta de predicción, con ello entenderás por qué se habla de Matemática Superior y de un pensamiento matemático avanzado. Valorar una forma de pensar diferente, donde nuestro razonamiento matemático trascienda la sola manipulación de fórmulas algebraicas.
Simbolización: Entre cúbicas y cuadráticas.
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Del curso dictado por Tecnológico de Monterrey
Cálculo Diferencial e Integral unidos por el Teorema Fundamental del Cálculo
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Tecnológico de Monterrey
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De la lección
Modelo Cúbico
Abordaremos el estudio del Modelo Cúbico como el modelo polinomial en el cual la razón de cambio se representa con un modelo cuadrático. A través del análisis de sus gráficas podremos ampliar nuestro conocimiento incluyendo un nuevo tipo de comportamiento. El conocimiento de modelo cúbico se integra con el del cuadrático y del lineal, y con esto apreciaremos en el Cálculo el estudio del cambio, posible a través de las sucesivas derivadas de una función.
Conoce a los instructores
Dra. Patricia Salinas MartínezProfesora Titular
Campus Monterrey
[MÚSICA] Estamos ahora en nuestro módulo de
simbolización y vamos a hablar un poco entre cúbicas y cuadráticas.
En esta ecuación me gustaría que retomáramos nuestra situación
de aquel famoso tanque, ¿no?, que estábamos viendo cómo el nivel de agua
en el tanque variaba y tengo ahí una imagen con una afirmación.
Vean ustedes la parte de la izquierda, lo que viene siendo el gráfico.
Una vez que uno lo ve, tiene que entender, ¿no?,
que ahí está pasando algo con el nivel, está subiendo, el nivel es el azul,
sube cada vez más lento y luego sube cada vez más rápido, ¿cierto?
Esa diferencia en las concavidades nos marcó lo que llamamos el punto de
inflexión y tengo ahí una afirmación y se las puse, incluso, en distinto color.
En color azul ustedes leen en t igual a dos tercios se tiene un punto de inflexión
de h(t), y en color rojo ustedes leen en t igual a dos tercios,
es el mismo t, ¿sí?, se tiene un punto mínimo de r(t).
Esa es una cuestión importante.
El manejo, este, de los colores, se los hago a propósito,
porque ustedes están viendo ahorita dos gráficos y, entonces,
en su mente hay que distinguir que se está hablando de un mismo valor de t,
pero que se interpreta en cada uno de esos gráficos.
A lo mejor sea más clara si yo me vengo aquí,
en el papel, y quisiera yo mostrarles por qué esa afirmación es cierta.
Aquí tenía el tanque que teníamos nosotros la vez pasada, ¿verdad?, bueno,
pues, ya sabemos que había un nivel inicial de
15 centímetros y que su altura total era un metro, ¿no?
Y esta es la filmina que vimos en la ocasión anterior.
Marcamos el punto de inflexión y por qué podríamos, entonces, estar seguros
de que el punto de inflexión corresponde aquí con un mínimo, ¿no?, de la gráfica
de la razón de cambio, o sea, lo que afirmábamos ahorita en nuestra filmina.
Pues, la razón es algo que hemos venido cosechando, ¿no?, en el tiempo,
¿no?, en nuestro curso.
Vean ustedes cómo antes de este lugar, que es el mínimo,
el gráfico decreció, el gráfico de la razón de cambio, él decreció,
dando como consecuencia una concavidad hacia abajo,
y después creció, dando como consecuencia una concavidad hacia arriba,
o sea, el hecho de que aquí haya decrecido y luego crecido, provocó aquí cambios
de concavidad, según ya lo habíamos visto, ¿no?, en nuestro módulo anterior, pero,
al mismo tiempo, provocó que aquí dijéramos: Este lugarcito de aquí es
un mínimo, es un mínimo de la gráfica, ¿cuál?
De la roja, o sea, de la gráfica de la razón de cambio.
Realmente esto no es una casualidad, ¿okay?
Que el hecho de que aquí haya un punto de inflexión corresponda con un valor mínimo
acá en la razón de cambio, es un, digamos, teorema,
¿no?, en nuestra teoría del cálculo, ¿no?
No es una casualidad y ahorita podríamos preguntando,
perdón, preguntarnos ¿por qué mínimo?, ¿por qué no máximo, no?
Y claro que sí,
podríamos hablar de máximos si ahorita nos regresamos al contexto, ¿no?,
gráfico y me permiten ilustrárselo aunque tengamos que olvidarnos del tanque.
Entonces, si me acompañan aquí.
En esta traigo aquí preparado un graficador.
En este graficador vamos a observar, ¿sí?, que ya he introducido
con el color adecuado, las gráficas de 2 menos 4x más 3 x cuadrada,
que es la que corresponde con la razón de cambio y 15 más 2x,
menos 2 x cuadrada más x cúbica, que es la que corresponde con el nivel.
Si yo ahorita observo sus gráficas.
Aquí están, ¿no?
Este comportamiento que están viendo ustedes en el graficador,
si les pongo el comportamiento acá abajo de mi hoja, parece que se parecen, pero
igual fíjense cómo en todo esto el manejo, ¿no?, de las escalas es imprescindible,
¿no?, como para poder decir, encontrar lo que se mantiene en los gráficos,
las propiedades que se mantienen a pesar del movimiento gestual, ¿okay?
Bueno, ahorita estábamos con el tanque, pero si quisiera ver qué pasaría
si este fuera un máximo, quería yo proponerles algo que seguramente
les puede ser de utilidad en este terreno de derivar y antiderivar.
No sé si hayan ustedes notado que si en esta función, fíjense,
ya me olvidé de tanques, ya estoy con yes y equis, si pongo un signo negativo de,
me, puse, antes del 15, pongo un signo negativo y meto un paréntesis, ¿no?
O sea, lo que estoy haciendo con la función es meter toda la función
dentro de un paréntesis y meter un signo negativo.
Entonces, le estoy cambiando el signo a todas las yes.
Entonces el gráfico necesariamente va a sufrir una
reflexión con respecto al eje horizontal.
Vamos a salvarlo, ¿okay?
Si esta función la derivo.
Al derivar lo del paréntesis queda lo que tengo acá arriba, ¿no?
Pero ese signo negativo va a afectar la derivada,
porque ese signo negativo es un menos uno que está haciendo las veces de esa famosa
k que hemos manejado como parámetro en las funciones.
Entonces, si me meto aquí, voy a editar y le voy a meter un signo negativo.
Lo metemos, lo cerramos y, entonces, ahorita sabemos nosotros
que tenemos una función y su derivada, ¿okay?
Al meter ese signo negativo, ¿qué fue lo que pasó?
Vean ustedes los gráficos, justamente lo que les comentaba, ¿no?
O sea, lo que pasó fue que se hizo una reflexión con respecto al eje x.
Aquí está el eje x y, ahora,
el gráfico nos quedó, el de la derivada, que es la parábola, con un máximo,
y el gráfico de la función quedó en azul con un punto de inflexión.
¿Qué diferencia hay con respecto a lo que teníamos antes?
Pues que ahora Hay un máximo en la derivada y el punto de inflexión sigue
siendo punto de inflexión, salvo de que la concavidad cambió de ser
cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, como consecuencia de que el gráfico
de la derivada era creciente y después decreciente.
¿Se fijan?
O sea, realmente el resultado que estaba en nuestra filmina anteriormente, o sea,
podríamos incluso complementarlo y, este, y decir que se tiene un punto de inflexión
aún y cuando en el gráfico de la derivada tengamos un máximo,
osea, un máximo o un mínimo en la derivada provocan,
en la gráfica original o en la antiderivada, un punto de inflexión.
¿Qué es un punto de inflexión?
Es un punto del gráfico donde la concavidad cambió.
Puede ser de cóncava abajo a cóncava arriba
o puede ser que sea antes cóncava arriba, ese ya no se los voy a poder hacer,
sería cóncava arriba y después cóncava abajo, ¿okay?
Entonces, con esto me atrevo ahora ¿a qué?
Hagamos cuestiones más profundas todavía y, entonces,
en esta gráfica que tengo yo aquí, vean lo que vamos a hacer.
Nos vamos a olvidar, nos vamos a olvidar, es más,
hasta de los colores nos vamos a olvidar, y le vamos a poner aquí,
en lugar de h le ponemos y, ¿sí?
En lugar de r, ¿qué vamos a poner?
Ya se lo imaginan, y', ¿sí?,
y en lugar de t ¿qué vamos a poner?, pues x, ¿sí?
Y en este momento vuelve nuestro personaje,
nuestra función y igual a f(x) y estamos ahorita estudiando la función
cúbica, ¿no?, queremos estudiarla un poquito más a fondo.
Este fue un ejemplo de una función cúbica, pero el panorama simbólico,
¿no?, en cuestiones visuales, de la función cúbica es un panorama muy rico que
me gustaría que pudiéramos estudiar con ayuda de la tecnología, claro
que siempre en nuestro pensamiento habrá que utilizar el álgebra necesaria para
llegar al nivel de profundización que se requiere como a una habilidad matemática.
Entonces me gustaría que pasáramos a la filmina.
En la computadora tengo ahorita una segunda filmina en la cual lo que vamos
a ver es eso y el panorama se ve muy distinto, ¿no?
Ahorita estamos viendo fórmulas, fórmulas, fórmulas, letras,
letras, letras, ¿no?, y, realmente, bueno, pues,
eso conviene para nosotros, para poder estudiar a la matemática en sí.
Entonces, ahorita tenemos tres funciones.
Si yo me pusiera a leerlas, se van a aburrir bastante.
Lo mejor que quisiera es darles a entender un cierto patrón,
¿no?, en la forma de escribirse.
Ese es un polinomio de grado tres, un modelo cúbico.
Tenemos un término a sub cero, que es una constante,
no está multiplicada por la variable x.
Luego sería más a sub uno por x, es más, aquí en esa a sub cero pueden poner
x a la cero, porque x a la cero es un uno, ¿okay?
Después, en el a sub dos tenemos x cuadrada y en el a sub tres
tenemos x cúbica.
Pude haber puesto a más bx más c x cuadrada más d x cúbica,
pero prefiero que utilicemos esta notación de subíndices porque ahí se ve todo mucho
más organizado y uno puede encontrar cuál es el coeficiente, o sea, el a sub,
¿sí?, es el coeficiente, correspondiente a la potencia x a la, ¿no?
A sub dos corresponde con x al cuadrado, ¿okay?
El segundo renglón es nuestra derivada, o sea, ya sabemos cómo se calcula la
derivada, ¿no?, y ahí nos quedaría, el término a sub cero desapareció.
Nos quedó el a sub 1 solo, el número 2 de la,
cuadrado de a sub 2 x cuadrada bajó, y el número 3 de x cúbica también ¿se fijan?
O sea, estoy tratando de remembrar con ustedes ¿no?,
o sea ese proceso de derivación que es un proceso muy algorítmico,
o sea ya me perdí completamente del tanque ni lo que pasaba con el nivel,
solamente es un juego ¿no?, algorítmico de letras en donde estamos derivando.
Si me permiten, a lo mejor valdría la pena salirnos de aquí,
y yo les podría acomodar estar fórmulas o sea de una manera más entendible,
si empujara esta y se las pusiera por acá ¿se fijan?,
o sea estoy tratando de hacer que aquí vean una columna,
la columna de las a sub 1, la columna de las a sub 2 y de las a sub 3,
o sea se perdió el término sub 0, y ya me quedó mi función cuadrática.
Me traería una segunda, la segunda derivada,
y esta la colocaríamos por aquí ¿no?
Aquí ya se nos perdió el a sub 1,
ya no está a sub 1, pero en la columna de a sub 2 quedaron ellos ordenaditos,
y en la columna de a sub 3 también quedaron ordenaditos ¿no?
Todas estas son las derivadas.
¿Por qué salió aquí este 6?
Pues este 6 salió porque aquí había un 3 que se multiplicó por este 2,
este, este número 2 que estoy señalando con el cursor, pasa multiplicando al 3,
me va a dar un seis, por a sub 3 por x, ¿a la qué?, a la 1,
o sea a la 2, al 2 que está aquí le quito 1, me queda un 1, que aquí no se ve,
y ya como les he dicho en otras ocasiones les digo, en matemáticas,
o sea no sé qué, cómo nos entienden ¿no?
Si esa x no tiene nada arriba entonces hay que entender que tiene un 1 ¿okey?,
aunque no se vea, aunque no se escriba.
Entonces, con ese orden yo creo que es más entendible este proceso ¿no?,
de estar derivando.
Y entonces tenemos nuestras fórmulas, sabemos que todas ellas están
relacionadas, ¿cierto?, y sabemos que la primera de ellas es la función cúbica,
la segunda es su derivada que es una cuadrática,
y la tercera es una función lineal; o sea, todo nuestro curso hay está,
en una forma netamente algebraica ¿no?
¿Jugamos un ratitos con ellas?
Y vemos qué implicaciones tienen en su representación gráfica ¿okey?
Para eso necesito usar el lápiz y el papel.
Entonces, vamos aquí al papel, y vamos a empezar a hacer nuestras cuestiones ¿no?
Primera cuestión.
Yo diría que empecemos pensando eh, en de abajo hacia arriba.
Vean ustedes cómo en el curso también estamos entendiendo que es la razón de
cambio la que construye a la función.
Entonces, yo los invito a que consideremos primero y biprima de x,
y biprima de x que era incluso la más fácilita, entonces vamos a decir,
vamos a empezar con lo más facilito; la segunda derivada es 2 veces
a sub 2, más 6 veces a sub 3 por x.
¿Okey?
Estoy copiándomela de aquí de que lo estoy viendo en la pantalla ¿okey?
Entonces, este es una segunda derivada, es un modelo lineal,
podríamos pensar pues la gráfica es una recta ¿cierto?,
y es una recta que necesariamente corta ¿no?, el eje de las x.
¿Dónde corta?
Para contestar dónde corta, lo que uno haría es
la acción algebraica de igualar a cero la segunda derivada.
¿Okey?
Al igualarla a cero, entonces lo que vamos a tener que hacer es despejar esta x.
¿Qué quiere decir despejar esta x?
Dejarla solita ¿no?, pero para solita pues hay que respetar ¿no?, las reglas
de la aritmética y del álgebra ¿no?, que es una herencia de la aritmética,
y entonces tendríamos por ejemplo aquí 6 a 3 x igual a menos 2 a 2,
y finalmente x igual, este 6 y este a sub 3 van a pasar dividiendo,
me queda menos 2 a sub 2, entre 6 a sub 3,
y este número 2 y este número 6 no pueden quedarse de esa manera,
vamos a escribir menos a sub 2 entre 3 a sub 3 ¿no?,
menos a sub 2, entre 3 a sub 3, saqué mitad de 2, 1, mitad de 6, 3.
¿Okey?
Este valor numérico, x igual a menos a sub 2, entre 3 a sub 3,
tiene que ver con la función cuadrática ¿no?,
que es justamente su antiderivada ¿no?
¿Quién es su antiderivada?
La antiderivada es lo que acá teníamos como la derivada ¿no?, de la y.
y prima es la antiderivada de y biprima ¿se fijan?
Pero y prima es la derivada de y, ¿okey?
Y entonces la voy a copiar aquí, esa función era a sub
1 más 2 a sub 2 x, más 3 a sub 3 x cuadrada.
La función y biprima me informa de ella.
Esta función y prima yo sé que es una parábola.
¿Cierto?
Y siendo una parábola tiene su vértice, o sea ese mínimo o ese máximo ¿no?,
que, que se forma en su gráfica ¿no?
Para encontrar ese vértice, la información me la está dando esta función de acá.
Entonces, ya sabemos que ella tiene un máximo, vamos a ponerlo así.
Ella tiene un máximo o mínimo aquí.
¿Dónde? Aquí, aquí, en este x ¿sí?
¿De acuerdo?
Y ese máximo o mínimo va a tener repercusión en ella, y en
la función original, porque el máximo o mínimo de la derivada que acabamos
de entender, tiene que ser un punto de inflexión de la gráfica de la función.
Pero antes de llegar a esa determinación de ese punto,
me gustaría que ahora nos hagamos preguntas también sobre la derivada.
Esta derivada me va a informar de la función original.
Entonces, es importante que en ella me haga yo preguntas también,
preguntas por ejemplo de dónde corta el eje de las x, igual que lo hice acá.
Cuando yo igualo esto a cero, me estoy preguntando ¿no?
¿Dónde corta este gráfico el eje de las x?
Y al construir esto, al igualar a cero, lo que obtengo es una ecuación cuadrática.
Acá fue una ecuación lineal, aquí va a ser una ecuación cuadrática.
Esa ecuación cuadrática, vamos a ponerle aquí ecuación cuadrática,
se resuelve con la fórmula, famosa fórmula general, ¿se acuerdan?
O sea, esa fórmula que dice más o menos así, x igual a menos b más,
menos, estoy poniendo chiquito a propósito ¿eh?, b cuadrado menos 4 ac entre 2 a.
Y ya hablo y, hablo y escribo al mismo tiempo, ¿se dan cuenta?
Ahorita lo que quiero es que ustedes vean en esta expresión,
porque más que sacar valores ¿no?,
utilizarla, quiero que hagamos análisis, unos análisis más finos ¿no?
Y entonces preguntarnos eh, qué va a pasar cuando igualemos a cero,
porque realmente el escenario puede ser realmente muy variado.
Puede ser que esta parábola
o esta función o esta ecuación cuadrática, no tenga soluciones reales,
que sean imaginarias o complejas; puede ser que tenga una solución real
única que se llama repetida, o puede ser que tenga dos soluciones reales.
¿De acuerdo?
Podemos hacernos esa pregunta eh, tratando de hacer una interpretación ¿no?,
también sobre la función cúbica.
Para que esta función, fíjense, tenga dos soluciones reales,
vamos a ponerle aquí, dos soluciones reales, ¿qué es lo que necesitaríamos?
Que en esta partecita de aquí del radical fuera positiva,
que el discriminante sea positivo.
Entonces, para eso necesitaríamos nosotros que b cuadrada menos 4 ac,
lo que está dentro del radical sea positivo.
¿Quién es nuestra b en este caso?
Fíjense, en esta ecuación que tenemos arriba,
la que está haciendo las veces de la a es esta, la b es esta, y la c es esta.
¿Okey?
Entonces, si hacemos b cuadrada, b cuadrada que sería 2 a sub 2 al cuadrado,
menos 4 por la a, pero la a es un 3 a sub 3,
por la c que es una sub 1, ese sería nuestro discriminante.
Y nos va a quedar entonces, ¿qué nos va a quedar?
4 a sub 2 al cuadrado, menos 4 por 3 son 12,
menos 12 a sub 3 a sub 1, ¿de acuerdo?
Y yo no sé ustedes, pero a mí no me gusta dejar las expresiones así,
porque este 4 y este 2 se parecen ¿no?, o sea aquí puedo hacer un factor común aquí,
el 4, factorizar el 4, que me quedaría por a sub 2 al cuadrado,
menos 3 a sub 3 por a sub 1, ¿de acuerdo?
Manejado de esta manera el discriminante, podríamos decir para
que las dos soluciones sean reales necesitamos que esto sea mayor que cero.
¿Cierto?
Y para que 4 por esto sea mayor que cero,
pues lo que necesita ser mayor que cero es a 2 al cuadrado, a sub 2 al cuadrado,
menos 3 a sub 3 por a sub 1, esto tendría que ser mayor que cero.
¿De acuerdo?
¿De cuántas maneras es posible que a sub 2 y a sub 3 y a sub 1 cumplan esto?
Pues de muchas, uno se puede poner a inventar.
O sea, de hecho me puse a inventar unos y dije, no quiero complicar tanto las cosas.
Por eso vengo preparada y dije, vamos a darle valores a a sub 2,
a a sub 3, y a a sub 1, que nos permitan checar qué va a pasar gráficamente
cuando esto es mayor que cero, cuando es igual a cero, y cuando es menor que cero.
Entonces, les voy a proponer, o sea voy a poner aquí.
Propongo, ay, este ya no quiere escribir.
Propongo que tomemos
a sub 2 igual a 5 a sub 3
Igual a 4, y A sub 1 igual a 3.
¿Por qué?
Porque les digo, con esto nos va a salir todo muy bonito, y bueno,
y ustedes pueden proponer después otros valores,
lo importante es que encuentren números que cumplan con esto.
Ahora, no sé si me equivoqué, ahorita vamos a ver, 5 por 5 aquí sería 5
al cuadrado y 25, menos tres veces, ¿qué sería aquí?
A sub 3, 4 12 por 3, 36.
Entonces ahorita me está saliendo el valor negativo.
Me parece que entonces el que iría aquí es el 7.
No me acordé cómo los puse en el orden, vamos a poner aquí el 7 y sería 7 por
7 es un 49, menos 3 veces 12, menos 36, ya nos quedó positivo.
Luego ponemos el 6 y luego ponemos el 5, y así vamos a agotar todos los casos,
¿de acuerdo?
Y entonces me gustaría que ahorita con estos valores,
o sea, ¿los vamos a sustituir en dónde?
En nuestra función y vamos a usar un graficador.
Si se acuerdan esta es la derivada, esta es la segunda derivada,
y si me permiten, para pasar aquí a la computadora,
podríamos de una vez ver ahí la expresión de la función.
Tenemos que construir funciones en donde sustituyamos el valor A sub 1,
A sub 2 y A sub 3 que dijimos acá en el papel.
Y en el A sub 0 podríamos agregar cualquier valor.
Pero para hacer las cosas más cómodas, les propongo que A sub 0 sea igual a 0,
y así no nos complicamos estando cambiando ese
valor inicial de la magnitud de la que estuviéramos hablando.
Okey, entonces esa forma, o sea, y ahorita les pido que piensen en la primera de
las fórmulas, y vamos a traérnosla acá en
la calculadora, esta gráfica que tenemos por aquí.
Okey, estábamos con esta,
vamos a cambiar de graficador porque aquí tenía ya una cierta preparación.
Vamos a buscar, no sé si se alcanza a notar esta graficadora,
si tiene los números un poquito más chiquitos.
Gracias, entonces aquí vean esta.
Me parece que es la de azul, ¿no?
O sea, estoy tratando de meter dónde están los números en el A sub 0,
hablo en 0 por eso no hay un término que esté aquí solito, en el A sub 1 hay un 3,
es este 3 que está aquí, en el A sub 2 hay un 7,
ahí está el 7, y en el A sub 3 hay un 4.
¿Cierto? La azul es la que les estoy diciendo,
vamos a ver la gráfica de la azul y observamos esto.
O sea, ese caso era el caso en el que encontrábamos que la
derivada tenía dos soluciones reales, es la que está aquí abajo justamente.
Voy a permitirme mover esto un poquitito para que vean esta expresión, ahí está.
Metimos los valores de A sub 2, A sub 3 y A sub 1,
para que hicieran que esta cantidad fuese mayor que 0.
Eso provocó que la función cuadrática,
tuviera dos, la ecuación cuadrática tuviera dos soluciones reales.
Y vemos ahora que eso provocó que nuestra cúbica tuviera un máximo
y un mínimo, ¿cierto?
¿Lo alcanzan a ver ahí?
O sea hay un lugar en donde sube
más arriba en esta zona y luego baja más abajo en esta zona.
¿Okey?
Nos regresamos ahora a las funciones, ¿sí?
Y lo que hice con el graficador es, después, poner el caso en que,
vamos a ver es el rojo, ¿sí?
En el rojo ha de ser ese 5, que ahorita se me fue por acá.
Para que veamos el 5 cuando lo metamos en nuestra expresión,
voy a poner la expresión acá abajo, estaríamos analizando que en el
rojo tenemos un 3 para A sub 1, aquí habría un 3, un 5 para A sub 2,
y un que para A sub 3 tendríamos un 4 aquí.
Aquí fue un 3, aquí fue un 4, y aquí fue un 5.
Es justamente la expresión que me salió al principio.
25 menos 4 por 3 por otro 3 de aquí, ¿no?
Este 3 por otro 4, por otro 3, esto salió negativo, ¿no?
En el caso en que salió negativo
es el caso en donde asignamos a A sub 2 el valor de 5.
Nos vamos al gráfico rojo.
Y ahí tenemos A sub 1 es un 3 A sub 2 es un 5, y A sub 3 es el 4.
O sea, estoy construyendo la función cúbica que corresponde con esos valores
y que va a hacer que ese discriminante de la cuadrática sea negativo.
Y si es negativo, ¿qué pasa con la cuadrática?
No cruza el eje horizontal.
Vamos a ver ahora qué le pasa a la cúbica.
La cúbica aquí vamos a ver la gráfica.
Observen ustedes la diferencia.
Ahora esta cúbica ya no tiene máximo ni mínimo, ¿no?
¿Se fijan?
O sea, realmente ahorita la consecuencia de la cuadrática que no corta el eje es
que la cúbica no va a tener ni máximo ni mínimo, pero sí tiene punto de inflexión.
¿Okey?
Finalmente vámonos aquí a las gráficas y pensemos en el valor que haría 0.
Por eso escogí los números estos, porque les digo, cuando pongo como en la verde,
un 3, un 6 y un 4, el A2 al cuadrado es un 36
menos 4 por 3 por 4, menos 36 me da el 0.
Entonces, con esta función cúbica tendría el caso de la
cuadrática que tiene una sola solución real.
O sea, sé que en el caso de la cuadrática, la gráfica solamente toca el
eje horizontal, baja y toca y se levanta, o bien sube, toca y se levanta, ¿verdad?
Como no tenemos ahorita números particulares,
en este caso sí lo podríamos saber.
Total que ahorita estoy poniendo el último caso que sería cuando el discriminante es
igual a 0.
Y vemos una imagen tan bonita como la que tenemos acá.
Se fijan ahora qué pasó con la verde, si se nota cuál es la verde,
es la que está atrapada entre la azul y la roja.
Si era manipulaciones como estas,
yo no sé si ustedes alcanzan a percibirlo del todo, pero a mí,
este, me gusta ver que las diferencias, ¿no?
Aquí hay un máximo y hay un mínimo en el azul.
¿De acuerdo?
La verde no tiene ni máximo ni mínimo, ¿ok?
Sí hubo un lugar donde la derivada daba 0.
Pero eso no provocó un máximo ni un mínimo, ¿de acuerdo?
En esta gráfica.
Y en la roja, otra vez no hay ni máximo ni mínimo.
La consecuencia que puede ser, aún cuando una función es
cúbica y su derivada cuadrática, no tengo por qué pensar que una cúbica siempre
tiene un máximo y un mínimo, sino que se pueden dar sus casos, ¿no?
Casos en donde sí la hay, casos en donde no la hay,
y nosotros hemos hasta expresado con letras como un teorema, ¿no?
Bien matemático, ¿cuándo una cúbica tiene esos valores máximo y mínimo?
¿Cuándo no los tiene?
Solamente basta que con sus coeficientes seamos capaces de calcular el número
A2 al cuadrado menos 3 A3 A sub 1, como lo hicimos en el papel.
Ahora, veamos los puntos de inflexión.
Todas tienen punto de inflexión y tenía que ser, ¿por qué?
Porque desde que empezamos nuestro análisis, aquí esta.
Véanlo, este numerito que está aquí me estaba diciendo que, teníamos un
punto de inflexión de la gráfica, porque él es un máximo o mínimo, ¿de quién?
De la cuadrática, ¿okey?
Ya estamos a otro nivel.
El máximo o mínimo de la cuadrática ahora va a ser el punto de inflexión de la
función original.
Y si vemos nuestros gráficos otra vez de cerca, ahí podrían ustedes ver,
detectar dónde están esos puntos de inflexión, ¿no?
Tenemos el azul por aquí, en el verde está por aquí y en el rojo está por acá.
Este es el número que sale del cálculo, si lo hiciéramos con
la A sub 1, A sub 2 y A sub 3 que inventamos para este ejercicio.
Hay diferencias, ¿no?
Vean ustedes cómo la roja tiene una inclinación,
el punto de inflexión está como que medio así en 45 grados, diríamos.
Este está más horizontal, ¿no?
Y este, bueno, también tiene una inclinación pero hacia el otro lado.
¿Okey?
Los puntos de inflexión a veces uno cree que todos son como la verde, o sea que son
como planitos, que una gráfica viene planita y luego se desprende, ¿no?
Despacito, pero no.
Este punto de inflexión del rojo se ve que no es de ese tipo, ¿no?
Si esto estuviera modelando, ¿no?
El nivel de agua en el tanque, con la roja yo diría,
el nivel está subiendo cada vez más lento y sin pararse sigue cada vez más rápido.
En la verde yo diría, el nivel del agua está subiendo cada vez más lento,
se para un instante y luego sigue subiendo cada vez más rápido.
¿De acuerdo?
Y en la azul,
bueno pues, ahí tendríamos que decir, el nivel subió y bajó y luego volvió a subir.
¿Verdad?
Pero cuando iba bajando iba cada vez más rápido y de repente va cada vez más lento,
y luego se para y luego sube cada vez más rápido.
Es toda una interpretación aquí, ¿no?
Pero más que todo yo quería con estas dos,
convencerlos de que los puntos de inflexión son algo muy especial.
No son todo planitos, aunque fíjense,
me da la impresión de que con esta gestualidad que tenemos ahora en los
graficadores Yo puedo hacer que ustedes los vean prácticamente horizontal.
Es, o sea si aplasto, aplasto y aplasto,
ya los estoy haciendo que no vean lo escondido, ¿no?
Y entonces a lo mejor ahí podríamos pensar que el punto de inflexión de la
verde era igual que el de la roja y no es así.
Esto es digamos increíble,
es una oportunidad increíble ahorita para el análisis de los gráficos.
Este graficador por esta gestualidad me permite hacer eso, no siempre es así,
ahí también hay que aprender a ver la tecnología, a analizar en la tecnología.
Me gustaría que para terminar pasáramos a un graficador con el cual sí les
voy a poder mostrar algunas otras cosas, ¿no?
Importantes.
Vean ustedes cómo tenemos ahí las expresiones, ¿no?
Tecleadas previamente.
Este primer renglón nos está hablando de la función que tenía el coeficiente siete,
¿sí recuerdan?
Ese coeficiente siete provocaba que la cúbica tuviera un máximo y un mínimo,
de hecho es el color azul que estamos viendo, ¿no?
Ahí en el, en el graficador, y la ventaja del graficador este Graphmatica,
que seguramente habrá algunos ya que hagan esto, ¿no?
La, la ventaja es de que hace una derivación,
pero digamos visualmente lo hace él, él deriva y entonces por eso el renglón aquí
largo dice que esta y es la derivada de esta otra y, ¿se fijan?
Eso sí, no pone y prima, dice es la derivada de.
Y entonces, esa derivada que se hizo con uno de los menús, ¿no?
Del graficador, nos dio la parábola que estamos viendo ahorita aquí en color azul.
Vean ustedes cómo la parábola cortó en dos lugares, y esos dos lugares son los que
provocaron el máximo y el mínimo de la gráfica cúbica, ¿no?
Entonces, todo está correspondiendo.
Ese máximo y mínimo ahora los vemos conectados con la gráfica de su derivada
que es una parábola.
Nos vamos al caso que les estoy ahorita sombreando, en ese caso tenemos el número
seis, en ese coeficiente azul dos, y eso sí, ¿recuerdan?
Lo que hacía era ese 36 que se restaba con el 36 y nos daba el cero, ¿no?
Cuando trabajamos con aquel discriminante.
Entonces, eso hace que la gráfica de la parábola sea como esta verde,
que solamente llega y toca el eje x, ¿okey?
Eso provoca que aquí en la gráfica cúbica haya un punto de inflexión,
pero no ni un máximo ni un mínimo, ¿se fijan?
O sea, este es un lugar en donde la derivada es cero,
pero al mismo tiempo es el mínimo de la derivada,
y eso provocó que fuese un punto de inflexión en la gráfica original.
Por último tendríamos el caso de esta función con el número de coeficiente
cinco, que nos estaría diciendo que la cúbica solamente tiene punto de inflexión,
no tiene ni máximo ni mínimo.
¿Por qué?
Ahorita podríamos explicar que la razón es que su derivada que es la roja,
esta parábola roja no corta el eje horizontal.
Entonces si no corta, no da oportunidad para que haya un cambio de signo en la
derivada de la función cúbica, y eso hace que no haya ni un máximo ni un mínimo,
sino que la curva se encuentra siempre creciendo en este caso,
porque la roja está completamente arriba, ¿no?
Del eje horizontal, ¿okay?
Entonces con esta imagen, fíjense,
esta imagen que tenemos aquí, lo que hemos logrado ver es relacionar, ¿no?
Cuál, cuál es el comportamiento de la cúbica con respecto al comportamiento de
su derivada.
Graphmatica es un software que nos permitió verlo así,
no me va a dejar ahorita deformar ni quiero hacer deformaciones como lo hicimos
con la tableta, yo quiero mejor mantener esa imagen, ¿no?
Así, y bueno, pues terminar con ustedes viendo que todas estas
posibilidades de las funciones cúbicas.
Estamos viendo casos con eh,
unas parábolas eh, derivadas que tienen una cierta abertura.
Yo los invito para que se hagan de un graficador, y provoquen que esta parábola,
la que está puesta ahí por ejemplo, fuese más angosta o más ancha.
Lo que van a ver en consecuencia es, bueno, mejor no les quito, no,
no les hablo de, de la respuesta, preferiría que ustedes lo vivieran para,
lo que quería era aclararles de que estamos ahorita restringidos
a una abertura de la parábola, pero las parábolas pueden ser más abiertas o más
cerradas, y eso va a afectar, va a haber una cierta deformación en
las gráficas cúbicas, que este conviene analizar.
Por otro lado, los casos que estuvimos viendo aquí,
son casos en donde las parábolas derivadas fueron con concavidad hacia arriba,
o sea tenemos casos de mínimos.
Pero cualquiera de esas parábolas las pudimos haber volteado,
o sea tener casos de máximos, meter signos negativos ahí,
para que ustedes vieran completamente el panorama de las cúbicas.
Las cúbicas pueden ser de dos maneras, o vienen subiendo y algo hacen aquí y
luego acá van subiendo, o vienen bajando, hacen algo aquí y luego acá van bajando.
Las que estamos viendo en la pantalla ahorita son de las que suben,
y acá van subiendo; pero al subir pueden ser que hayan tenido un máximo,
después un mínimo y vuelvan a subir, o puede ser simplemente que tengan un
punto de inflexión que a lo mejor es horizontal,
o a lo mejor tiene otra inclinación y seguir subiendo, ¿no?
Igual sería para el caso de las que vienen bajando.
Pudiera dibujar con ustedes aquí un gráfico que baja, sube y baja, ¿okey?
O finalmente uno que baja, hace un punto de inflexión y sigue bajando, ¿no?
Sabiendo que ese punto de inflexión puede tener distintos comportamientos.
Yo quiero que con esto eh, terminemos este video de simbolización.
Recuerden que para nosotros la simbolización
es un logro importantísimo, ¿no?
De la matemática, y de nuestro aprendizaje.
Simbolizar no quiere decir nada más estar hablando de lo algebraico como hicimos acá
en el papel, quiere decir también voltear a ver este tipo de graficadores, ¿no?
Y las imágenes gráficas hablan de por sí mismas.
Si ustedes observan ese gráfico, yo los invito ver en él una simbolización,
ahí está simbolizado todo lo que puede pasar con respecto a una cúbica,
en cuanto a qué comportamientos de máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Claro que para encontrar esos valores numéricos es importante que uno
pueda manejar la representación algebraica y hacer las
operaciones o procesos algebraicos necesarios.
Con esto terminamos en este video, y los invito a que todo este conocimiento
lo volvamos a aplicar en nuestro siguiente video que es justamente sobre aplicación.
[MÚSICA]
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