[MÚSICA] Pues entrados en el tema, entonces comencemos con esta imagen. ¿Se nos antoja? Se trata de un café. Vamos a meter el café en el microondas, ¿y qué va a pasar? El café se va a calentar. Es una situación real por todos conocida. Que sacamos después la taza del café del horno, ¿y qué es lo que va a pasar? Se va a enfriar. Total. Caliente, frío, etcétera. ¿No son situaciones reales que la matemática nos permite analizar y estudiar a profundidad? Vamos a poner entonces esa situación en nuestras mentes para ver qué es lo que podemos predecir, ¿okey? Hay una idea que es sencilla y que, bueno, dentro de la ciencia se conoce la ley del enfriamiento de Newton. Pero la idea es sencilla. Sí les puede pasar a ustedes que se den cuenta que, cuando tienen algo bien caliente y ya lo sacaron de la lumbre, del horno o del micro, se va a enfriar obviamente, pero como que se enfría más rápido al principio. O sea, ya cuando el objeto o lo que sea se esté enfriando, llega más cercano a la temperatura del medio ambiente, entonces ya el enfriamiento es más lento. No se puede estar enfriando siempre, digamos, a un cambio uniforme o a razón constante, porque entonces estaría enfriando eternamente y hasta se congela, ¿no? Es necesario que la temperatura llegue a estabilizarse con la temperatura del medio ambiente. Bueno, estamos hablando de una magnitud, la temperatura, que está decreciendo. Pero ¿cómo decrece? Ese cómo decrece es lo que sube el cálculo, ¿no? Y sobre eso vamos a hablar con la ley del enfriamiento de Newton. Entonces, si vemos la ley del enfriamiento de Newton, ahí la tenemos ahorita en la pantalla, va expresando esto que les decía. Vean ustedes ahorita cuál es la expresión que tiene ahí para la ley. Déjenme ver si se las puedo aquí señalar. Se trata de Se trata de una expresión en donde la razón de cambio depende de este producto. Aquí dice en palabras, la rapidez r con la que baja la temperatura de un cuerpo en cualquier momento es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio. Vean ustedes la proporcionalidad en matemáticas entre dos cuestiones, dos magnitudes, siempre se expresa con este igual y con una letra k. Bueno, no tiene que ser una letra k, pero es lo común. O sea, esa constante de proporcionalidad está diciendo que esto es igual a k veces lo otro. Eso es lo que se dice proporcionalidad. Aquí del lado izquierdo tengo la razón de cambio de la temperatura y aquí del lado derecho de la igualdad tengo esta resta de temperaturas, que dice aquí. ¿Quién es T sub a? T sub a es la temperatura del medio ambiente y T la temperatura del cuerpo. Entonces, cuando estoy haciendo esta resta, vean ustedes aquí esta resta, esa resta nos está dando la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente. Eso es lo que les decía. Mientras esta diferencia sea más grande, el enfriamiento es más rápido. Y cuando ya la temperatura T se acerca a la temperatura del medio ambiente, esta diferencia es más pequeña. Y entonces esta razón de cambio es más pequeña y entonces el enfriamiento es cada vez más lento. Ahí están estableciéndose esas relaciones que hay entre la temperatura y lo que está ocurriendo con respecto al tiempo. Esta es una expresión que matemáticamente se conoce como una ecuación diferencial. Está hablando de la razón de cambio de la temperatura. Aquí hay una magnitud que está, digamos, escondida en la expresión. ¿Por qué? Porque la temperatura depende del tiempo y la letra T, la t minúscula, ¿ven que no está allí? ¿Por qué no está aquí? Porque está, digamos, internamente considerada. ¿Okey? Vamos a ver cómo podemos hacer entonces algo de predicciones con respecto a esta situación. Aquí abajo les puse esta expresión, caliento mi taza de café en el microondas hasta alcanzar una temperatura de 80 grados centígrados. La saco enseguida y se expone al medio ambiente que se encuentra a 20 grados centígrados. Supongamos que en este caso k es menos 0.056. Esta k es negativa. Si ustedes se fijan en la expresión matemática, esto es importante. Si aquí hay un signo negativo en la k y aquí este valor numérico de la resta es positivo ¿Por qué digo que es positivo? La temperatura es mayor que la temperatura del medio ambiente, entonces si a un número mayor le quito uno menor, queda algo positivo. Entonces, ahorita este número negativo de la k con esta multiplicación por un número positivo me está dando un valor negativo. O se hace que la razón de cambio es negativa. Y si la razón de cambio es negativa, eso me está indicando que la temperatura está decreciendo, ¿okey? Todo aquí se relaciona. Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer nosotros? Vamos a usar este método de Euler, que realmente es como estar pensando en que en cada intervalo de tiempo pequeño podamos considerar que la razón de cambio de la temperatura se mantenga constante. Es lo mismo que hicimos con nuestra vaca. Es lo mismo que hicimos con nuestro tanque también. Entonces, los invito a que veamos en Excel cómo transportar ahora esta expresión en una expresión que podamos manipular en Excel. Entonces, nos vamos a ir a Excel y ahora que tenemos Excel, veamos qué es lo que podemos hacer. Tengo ahí unos números ya medio metidos. Tengo aquí también llena mi hojita por si esto no funcionara bien. Pero quiero razonar con ustedes cómo es la manera de construir esta hojita. Eso es un pensamiento bien analítico, bien matemático. Vean ustedes que, en la columna T, lo que tengo son valores del tiempo. Estoy poniendo de una vez un delta T de 0.5. Estamos ahorita hablando de minutos. Creo que sí. Lo tenemos aquí en minutos. Y entonces tenemos de aquí a acá medio minuto, medio minuto, medio minuto, ¿no? Vamos a considerar que la temperatura la vamos a estar calculando cada medio minuto, ¿okey? En esta columna que metimos aquí, va a estar la temperatura. Aquí sí les puse que la temperatura, t mayúscula, depende de t minúscula, del tiempo. ¿De acuerdo? Y originalmente la temperatura es un 80. ¿Por qué? Porque como habíamos dicho, vamos a suponer que saqué la taza del horno y entonces tengo una temperatura de 80 grados centígrados. Después de eso, vean ustedes la columna C. En esta columna C, lo que hice fue introducir una fórmula. Se la voy a poner delante para que se vea. Dice, menos 0.056 por. Y aquí le digo B2 menos 20. Ese B2 menos 20 que viene siendo, si volteamos acá al papel. Veamos aquí. Vamos a tenerlo así conjuntamente para que sea más directo nuestro análisis. Tenemos aquí que es menos 0.056. Este número de aquí es un dato que está dado. Y, por otro lado, al decir a la temperatura que tiene el café, le quito la temperatura ambiente. Acá estoy diciendo que a B2, que es el dato que tengo en esta celda, le estoy quitando los 20 grados. ¿De dónde viene ese 20? Viene por aquí. Porque la temperatura del medio ambiente era 20 grados. Lo que estoy haciendo en esta columna C es calcular la razón de cambio de la temperatura cuando la temperatura es justamente 80, haciendo uso de esta ecuación que tenemos acá. Realmente es lo que se llama una ecuación diferencial porque está hablando. Debería de ser una ecuación en derivadas porque está hablando de la razón de cambio aquí, que es de la derivada. Bueno. Acá pasamos entonces en Excel a la siguiente celda. ¿Qué es lo que estamos haciendo? Esto es clave en nuestro método, ¿no? Al tomar este valor numérico, menos 1.68, como el producto de este número anterior con este delta t de acá, lo que estoy haciendo es una suposición de que la razón de cambio se mantenga constante en el intervalo de tiempo que va de cero a 0.5. Este momento es clave para el método de Euler. O sea, mantener la razón de cambio constante hace que aquí se haya producido. Esto es un valor que produce el cambio de la temperatura. Aquí este es el aprox. Esta columna va a ser para aproximar los cambios de temperatura. Pero el cambio de temperatura que tenemos ahorita solamente funciona de cero a 0.5. ¿Cierto? Sin embargo, con este valor, podríamos nosotros ser capaces de irnos a esta celda y decir, ¿cuánto va a valer ahora la temperatura dado que antes era 80 y tuvo este cambio de menos 1.68? Tomen en cuenta que aquí es nuestra idea fundamental, de que tengo un valor inicial que es 80. Y este es el cambio que sufre esa temperatura. Entonces, es justo que en esta celda yo pudiera poner una fórmula que dijera, igual, ¿si? Tome el 80 y súmale lo que tenemos acá. Si pongo B2+D2 estoy haciendo uso de esta idea fundamental, ¿no? Al valor inicial súmale el cambio que sufre la temperatura. Y nos va a dar este valor, ¿no? O sea, la temperatura ya al medio segundo, perdón, minuto ya cambió. Ahora es esta. ¿Okey? Y con este nuevo valor tendría acá que calcular un nuevo valor para la razón de cambio. Porque la razón de cambio, recuerden, depende de la temperatura, ¿no? Entonces, si en este lugar me pongo, déjenme usar este otro medio, ¿no? Me pongo y le digo autofill entonces al bajar esto lo que hizo Excel fue calcular, vean ustedes aquí la fórmula, o sea está calculando el mismo valor del menos 0.056. Déjenme se los hago, ahí está, menos 0.056 por, pero ahora dice B3 menos 20, o sea, ahora está considerando este valor. Tengo un nuevo valor de la razón del cambio y por tanto voy a tener un nuevo valor para esa razón de cambio multiplicada por el intervalo de tiempo de medios, medio minuto. Lo que tendríamos que hacer aquí es entonces en este lugar decirle autofill y tenemos un nuevo dato para el cambio de la temperatura del punto 5 al un minuto, ¿no? ¿Qué vamos a hacer con ese valor? Con ese valor podemos regresar a este lugar, ¿no? Y decirle a Excel, ahora, al nuevo valor que tenías o sea este es mi valor inicial, a ese valor súmale el cambio, ¿Okey? ¿Eso qué quiere decir? Que hagamos justamente aquí lo mismo que se hizo acá. O sea, si en este momento en Excel yo le digo autofill y bajo, tengo un nuevo valor ahí que es justamente la operación que decíamos, ¿no? Al valor que tengo arriba, que es el inicial ahora, le estoy sumando el cambio, ¿no? Y me queda B3+D3 le doy enter y entonces ya tengo un nuevo valor de la temperatura. Estamos reproduciendo en esta columna los valores de la temperatura de la taza de café. ¿Qué seguiría ahora? Bueno, este valor me va a calcular un nuevo valor de la razón de cambio porque ahora la razón de cambio va a cambiar porque la temperatura ya cambió. Y eso significa que en Excel hagamos esto, ¿verdad? Autofill, bajamos, autofill y bajamos y entonces tenemos nuevos datos, ¿de acuerdo? Todo esto va a ser lo mismo, ¿no? Para cada uno de los valores que tenemos, estamos haciendo una reproducción de valores de la temperatura. ¿Qué les parece si hacemos que excel nos haga esto en un ratito? O sea, vamos a hacer esto de acá yo no sé si ustedes conocen esta, esta manera de trabajarlo en Excel, pero igual ahí van a estar nuestros archivos en donde les digamos cómo ser mejores, ¿no? Eh, utilizando Excel. En la columna A vean que ya tenían una fórmula generada, eh, esto no se los había observado al principio, pero vean ustedes que aquí la fórmula es A2 más signo F, signo de pesos 2, que es estar sumando el punto 5, ¿no? Entonces eso ya está, ya está hecho desde antes, ¿no? Por eso aquí los valores los tenía recorridos hasta ya tengo un buen. Entonces vamos a dejarlo hasta allí, pero ahora vamos a, digamos a suponer que todas esas fórmulas que están aquí nos las vamos a llevar hacia abajo, ¿no? Ahí me está funcionando ¿vieron cómo hice el arrastrar? ¿No? Pero toda esa zona. Seguimos adelante y siguen avanzando los valores, lo voy a hacer ahora bastante, vámonos por acá. Ahí estamos en qué, 37.50, recuerden que la columna A, ¿qué nos está indicando? Nos está indicando la, el valor del tiempo, 37 minutos y medio, ¿no? Vamos a seguirle que al cabo en esto pues el que hace las operaciones es Excel y no nosotros, ¿verdad? ¿Si? Ahí tenemos un 111.50 y bueno pues vamos, tenemos una serie de datos, ¿se fijan? O sea, vamos a ver otra vez, todos estos datos que se generaron ahorita ¿qué nos están diciendo? Nos están diciendo valores de la temperatura y valores, estaba tratando de ponerles esta ventanita acá, pero bueno, ahorita no puedo. Miren, valores del tiempo y en ese tiempo temperatura. Y esa temperatura está bajando, vean ustedes esta columna. Los valores de la temperatura están bajando. Si me fijo en esa columna, yo podría decir que, por ejemplo, miren aquí del 39 al 40. Si a mí me gusta tomar el café a 40 grados centígrados, aunque me queme, entonces tendría que esperar, ¿qué? Practicamente 19 minutos, ¿no? Se calentó tanto esa taza de café que para que baje a 40 grados centígrados voy a tener que esperarme 19 minutos, ¿si? Ahora, esta forma de modelar la temperatura está haciendo que los números, digamos, están variando pero están variando cada vez menos. Si ustedes ven ahorita los valores de la temperatura vámonos ahorita, este, pensando en que estamos tratando de llegar al momento en que la taza ya tiene la temperatura del medioambiente. La temperatura del medioambiente eran 20 grados, ¿no? Entonces ahorita vamos en 26 grados, ya pasaron 40 minutos, 23, 22, 21, 20, ¿no? Podríamos pensar, osea ahorita, nunca voy a llegar exactamente 20 punto 000, ¿no? Porque realmente los valores de la razón de cambio acá, como los pueden ver, son números cada vez más pequeños pero siguen siendo, o sea, están aportando algo en el cambio de la, de la temperatura, ¿no? Sin embargo, en esto es donde el hombre interviene. O sea, el hombre ya dice, este es mi modelo matemático, ¿no? Ahorita muy de corte numérico y yo puedo decir que llegar a los 20 grados quiere decir que, pues, hayamos llegado a un primer 0 aquí digamos es donde les estoy poniendo el cursor. Supónganse que 20 grados quiere decir haber llegado a un primer 0 aquí, ahorita es 20.1, ¿no? Entonces si ahorita le damos abajo a Excel, que al cabo ni le duele, ¿verdad? Ya podríamos decir por ejemplo, miren ya, ya llegamos al 0 desde antes, ¿no? Entonces aquí este 09, ¿si? Ya podríamos decir son 113 minutos. ¿Que queremos que la aproximación sea mejor? Bueno, podríamos decir que sean dos ceros, o sea que no sea un sólo cero, ¿no? Ahorita te vamos que todavía un sólo 0, podríamos usar, jugar con Excel, bajar un poco más y ver que nos llegue a un solo 0, todavía no llega pero le seguimos adelante y le seguimos adelante, ¿qué tal? Estamos manejando la tecnología para poder ayudarnos en nuestro pensamiento y ahora, por fin, hemos llegado a un doble cero. Este doble cero me estaría diciendo 153.50 minutos y ya la taza de café está prácticamente a la temperatura ambiente. ¿Qué hemos hecho ahorita? Hemos hecho uso de este método de Euler para encontrar valores de la temperatura. ¿Qué decíamos en nuestro módulo anterior? ¿Esto se puede mejorar? Claro que se puede mejorar. ¿Qué habría que hacer para hacer una mejora en estos cálculos? Vean ustedes, me estoy regresando arriba, nuestro delta T fue de medio minuto. ¿Cierto? Pero nada me impide que piense en un intervalo de tiempo más pequeño. Si en este momento a delta T, le digo, en lugar de punto 5 consideremos punto 1, estaría yo diciéndole considera que un minuto lo vas a partir en 10 partes iguales, ¿no? ¿Si? Vean ustedes que en ese momento todos estos valores se cambiaron apenas en un minuto llegué a en el, en el renglón 12 llegué al primer minuto antes llegaba en el segundo renglón, ¿Okey? Nuestros cálculos ahorita están hasta cuántos minutos, vamos para abajo, no se mareen, no se mareen. Vamos abajo y abajo y abajo. Vean ustedes, hasta donde habíamos llegado son los 31 minutos. En esos 31 minutos la temperatura ahora es de 30, ¿no? De 30 grados centígrados, 30 y medio, ¿no? Vean ustedes que ahorita este cálculo es mejor que el anterior que teníamos, ¿por qué? Porque ahora estamos suponiendo que la temperatura se mantenga constante en un intervalo de tiempo menor. De un décimo de minuto, ¿no? Al hacer uso de Excel están haciéndose esos cálculos y entonces obviamente el modelo, así numéricamente como se ve aquí, ¿no? Para el comportamiento de la temperatura es mejor, ¿no? ¿Dónde está la, la taza de café a los 40 grados? Ahorita estaríamos viéndole aquí 19.5, o sea, realmente no hubo mucho cambio, ¿no? En aquel dato que habíamos ya tomado con el delta T de punto 5, ¿no? Lo que hemos hecho es ilustrar con ustedes que teníamos, si volvemos aquí al papel, teníamos una expresión matemática, ¿no? Que esta expresión matemática nos habla del comportamiento de la magnitud temperatura, ¿no? De la taza de café en este caso. Hablamos de cómo la razón de cambio de la temperatura depende de ella misma. Utilizamos esta información convenientemente en Excel, para que con Excel tuviéramos, volvemos a Excel, una serie de datos numéricos que nos hicieron pensar en cuál es el comportamiento de la temperatura. Pudimos contestar preguntas de predicción, por ejemplo, ¿cuándo me voy a poder tomar esa taza de café? A los 40 grados centígrados, ¿verdad? Y con esto, pues, hemos ilustrado el método de Euler implementado en Excel y si nos vemos en la próxima yo me voy por una taza de café. [MÚSICA]
