Y para este módulo del modelo cuadrático voy a presentarles ahora cuál es la situación que comenzaremos a analizar. Si me acompañan entonces, vamos a ver algunas escenas a ver, que se les ocurre. Vamos a escalar, esos colores están preciosos. ¿Qué es lo que les evoca ustedes, qué están pensando? Seguramente en un movimiento, ¿no?, y ahí se ve que los chicos van ciertamente en una línea recta. Tenemos otro pasaje, también hermoso en donde observamos personas que están caminando, algo muy cotidiano, algo muy normal, no lo hacemos en paisajes tan lindos como esos, verdad, cotidianamente pero bueno, también caminamos. Finalmente en esta otra escena me gusto ese video sobre todo, porque ahí vean, no se si alcanzaron a ver a los perritos, ¿no?, que van y se acercan y luego regresan y van y se acercan y regresan. Ahí están las personas también moviéndose al ritmo de las olas y bueno, pues en todo este ambiente nos está preparando para hablar del movimiento en línea recta. Entonces estando en el movimiento en línea recta vamos a nosotros a comenzar a hacer nuestra introducción de las matemáticas al respecto y para eso pues me van a tener que acompañar acá en el papel y les voy a mostrar un movimiento en particular. ¿Qué tal, a poco no es aburrido verlo así? O sea como quiera uno tiene que entender que las matemáticas pues es una representación, es la representación de una realidad. Yo les estoy representando un movimiento con este sistema coordenado y con esta gráfica les estoy dando información al respecto y ahora lo que vamos a hacer es analizar, pensar que es lo que se está representando, como es el movimiento que se está representando de esta manera. Ya se que el paisaje no es tan bonito, ya lo se pero igual de eso se trata, es bien bonito también que en nuestra mente seamos capaces, ¿no?, de interpretar. Y para eso yo quiero hacerles una propuesta pequeñita al principio porque he observado que es importante en nuestra mente tener muy presente lo que representan los ejes. Cuando un tiene un sistema coordenado tiene un eje horizontal, tiene un eje vertical, aquí hay 90 grados, ¿de acuerdo? Ahorita el eje horizontal significa el tiempo y entonces es muy posible que estemos pensando en el movimiento aquí hacia acá pero realmente cuando pensemos en esto, lo que hago con el marcador, lo que les estoy dejando la impresión es de que el tiempo pasa, ¿no? En el eje vertical por otra parte vamos a tener ubicadas distintas magnitudes y ahorita es importante saber qué estoy graficando, una velocidad o una posición porque cada uno de esas casos de magnitudes me estaría informando de distinta manera el gráfico. O sea si aquí arriba, a propósito no le puse una letra, ¿no?, pero puedo poner diferentes letras que me van a decir como se comporta esta magnitud con respecto al tiempo. Es muy importante también que en un sistema coordenado seamos capaces de ver que aquí hay números en esta recta pero que son números positivos. O sea si yo les pongo aquí un tiempo, puedo marcar por ejemplo este tiempo de aquí con un tres porque veo tres rayitas, pueden significar tres segundos, tres minutos, tres horas, que se yo. Si aquí está el dos, entre este y este hay cuántos números, una infinidad de números y cada uno de esos está representando un instante de tiempo, este tiempo continuo en el que nosotros habitamos, ¿no? Por su parte, si acá vean que no está el eje atrás, yo quité aquí la parte negativa del tiempo y como les he dicho en el otro curso, o sea es que ya lo pasado, pasado, no me interesa, ¿no? Realmente cuando estamos estudiando una magnitud con respecto al tiempo bueno, convenientemente para fines didácticos yo he elegido que pensemos en un tiempo siempre positivo, de aquí a adelante, ¿no? Por su parte en el eje vertical tendremos valores positivos aquí arriba pero también tenemos valores negativos, ¿cierto? Entonces, piensen ustedes que cuando estoy ubicada como en el marcador en esta zona, estoy pensando en una zona de tiempo positivo y con magnitud positiva. Cuando estoy ubicada en esta zona, estoy pensando en un tiempo positivo y con una magnitud que toma valores negativos. Eso es importante en nuestra mente para que podamos hacer interpretaciones y otra vez les voy a mostrar mi paisaje, el mio propio de un camino, ¿no?, sobre una recta es este, sí. Y ahí podríamos empezar a pensar, bueno es una velocidad, sí porque ahí dice velocidad v, bueno dice v y estamos interpretando a v como velocidad, la vaca no, ahorita ya la vaca ya se fue. Entonces tenemos una velocidad que está representada por esta recta, okey, y esta recta está atravesando valores positivos y valores negativos, ¿no?, pasa por un valor cero, ¿cierto? Eso es la continuidad de las que le he hablado que implícitamente le estamos conicibiendo porque es algo muy natural. Valores positivos de velocidad se transforman en negativos porque hay un lugarcito, un instante, un instante y un lugar en la gráfica en que esta corta el eje horizontal, corta el eje del tiempo. Este es un lugar donde la velocidad vale cero, ¿no?, y entonces estaríamos hablando de un movimiento con velocidades positivas y negativas y a la mejor ya en eso ustedes están como que un poco perturbados porque eso de pensar en una velocidad negativa pues, o sea podríamos dar ejemplos o no, es algo en lo que se tiene que habituar en nuestra cabeza. A mi me funcionó pensar en el coche, cuando estoy acelerando voy hacia adelante y qué tal si le doy de reversa, el pensar en que le doy de reversa me permite pensar en una diferencia, una diferencia de signo que obviamente el velocímetro no marca, en los coches nunca nos han puesto la velocidad negativa, ¿no? Debería de ser un rapidímetro ese no un velocímetro, porque la velocidad tiene su signo, se fijan, la velocidad tiene que tener ese signo que nos haga interpretar si el movimiento es en un sentido o en otro, ¿de acuerdo? Entonces ahorita había un cambio de sentido en este movimiento, habría una velocidad que se ve grande y por qué la digo grande, porque estoy poniendo mis dedos aquí, luego más chica, más chica. Piensen en la distancia entre mis dedos, que sería el valor de la velocidad, más chica, más chica, más chica, llega a ser cero y después empieza a ser más grande pero negativa, ¿cierto, okey? Y en lugar de estar aquí jugando con mis manos yo creo que es bueno que recordemos a este software, SimCalc, que ya he utilizado con ustedes en otros cursos, porque nos permitirá tener una idea más clara de esto, tal vez ustedes si pasamos a la computadora, pues aquí tenemos a esta chica del tec que se va a mover de acuerdo con esta gráfica de velocidad. Entonces si ahorita la accionamos a la mejor esto ya a ustedes les digo, lo tenían presente, va para la derecha, se para y luego regresa hacia la izquierda, hasta se ve que va cada vez más rápido, ¿no? Si ustedes se fijan ahorita en el movimiento de ella, es el hecho de que la velocidad aquí sea positiva nos dice que se está acercando a este edificio que es parte de nuestra institución, a este, está detrás de este cerro de iii que nos caracteriza aquí en Monterrey, ahí va la chica y se acerca al tec y después se regresa, ¿no?, se regresa y parece ser que cada vez más rápido. Una cosa es la velocidad, otra cosa es el fenómeno que estoy viendo cuando se mueve y regresa, pero otra cosa es la representación matemática de la posición y esa es la que quisiera que nosotros ahora ahondáramos, ¿no?, sobre ella y pensáramos como ha de ser esa representación. Recuerden que el eje horizontal, este tiene que ser el tiempo. Entonces si ya hicieron ustedes su apuesta de como va la posición, yo se las voy a enseñar aquí con el software, ¿no?, vean ustedes ahorita el movimiento a la chica, la posición que está aquí es el uno, ese es el uno que esta aquí en el gráfico, y a medida que ella se va moviendo hacia la derecha, vean lo que pasó, justo en el instante en que se regresó, va de nuevo, ahí va. Observen ustedes el momento en que llegamos por aquí, este software nos da la ventaja de recorrer el tiempo, ven como se está recorriendo el tiempo con esta línea, ¿no? que va pasando y va pintando a las gráficas, y entonces en este momento podríamos hacer el reconocimiento de algunos hechos, ¿no? Por ejemplo, toda esta zona donde la chica iba a la derecha se ve aquí con un gráfico que sube, sí, y no es que la chica anduviera brincando, okey, esa es la representación de que la chica venía hacia la derecha Después en el instante en que es cero fue justo cuando aquí llegó, ¿no? A regresarse, regresarse y después inmediatamente en velocidad negativas me dicen que acá el gráfico se ve que va bajando, decreciendo y no es que la chica caiga en un pozo tampoco. O sea es que ella va hacia la izquierda, ¿de acuerdo? Esta sería la forma de interpretar nuestros gráficos. Si ustedes me acompañan al papel les voy a enseñar aquí el paisaje, ¿no? El paisaje mío. Y entonces el grafico sería algo como esto. Quiero aquí mostrarles que tenemos gracias a SimCalc esta imagen, ¿no? De ambos gráficos, ¿cierto? Aquí tuve la precaución de ponerles de un color azul el gráfico de la posición y estamos encontrando relaciones entre ellos. Si ustedes ven ahorita mi dedo a medida que pasa el tiempo, ¿no? O sea hay que ubicar cuestiones que pasan en el gráfico azul y que pasan en el gráfico rojo. Cuando estoy haciendo esto necesito voltear a ambos gráficos pero en mi mente pudiera ser más útil pensar en juntarlos, ¿no? Y esa es mi propuesta ahora. Les propongo que veamos los gráficos de esta manera, ¿no? Conjunta para poder hacer más afirmaciones matemáticas importantes, ¿no? Y entonces, ¿qué podríamos decir? Podríamos decir por ejemplo que en este lugar la velocidad es igual a cero, ¿cierto? Y en este lugar justamente si yo levanto aquí una vertical en este lugar justamente es cuando la chica llegó a una posición más a la derecha, ¿no? Esto es lo que en matemáticas se llama un máximo. Le voy a poner así nada más abreviado, un máximo. Un punto máximo de una gráfica que en nuestro caso está representando el lugar al que llegó más a la derecha la chica antes de regresarse. Justo cuando la velocidad fue cero, ¿de acuerdo? Entonces tendríamos en nuestro caso el valor máximo justo, vean ustedes, donde la velocidad cambió de ser positiva a ser negativa, ¿okey? Esto es clave como para poder decir o garantizar cuando una magnitud, no necesariamente la posición, cualquier magnitud tiene un valor máximo. Es un lugar en donde su razón de cambio es cero y pasó de valores positivos a valores negativos cuando me muevo de izquierda a derecha como acostumbramos en los ejes horizontales, ¿no? Y bueno pues aquí tenemos una primera oportunidad, ¿no? De ver que gráficamente la información matemática está presente. Nos faltaría ver un poco más en cuanto a información algebraica, ¿no? Y para esa información algebraica pues vamos a hacer uso de lo que ya hemos aprendido en nuestro curso en la primera unidad. Esta gráfica de velocidad es una gráfica que es una recta. Y las rectas matemáticamente o algebraicamente se escriben como v de t. Vamos a ponerlo por aquí. Quisiera usar el color rojo, estaba pensando en el rojo por eso. O sea vamos a poner en el rojo una fórmula para esta gráfica que sería v de t igual a, ¿qué? Tendríamos que pensar eh, como pensamos en este curso en un valor inicial de la magnitud, velocidad. Si usamos este sistema coordenado que tenemos aquí podríamos decir el valor inicial está en este eje y sería uno, dos, tres, cuatro, cinco. Podríamos poner un cinco, ¿no? ¿De acuerdo? Y después de eso, ¿qué es lo que iría aquí? Si recuerdan ustedes en este lugar va la razón de cambio de la velocidad. La razón de cambio de la velocidad es lo que se llama en física la aceleración. Podríamos encontrarla en el gráfico si pensamos por ejemplo en un, no se, o sea en un triángulo que me permita encontrar la pendiente de esta recta. Vean ustedes que si muevo mi dedo, fíjense de donde estoy, este es el valor inicial, ¿no? Si pasa un tiempo hasta acá la velocidad bajó hasta acá. Estoy haciendo un triángulo pasa el tiempo hasta acá la velocidad bajó hasta acá. ¿Qué me falta aclarar? Me falta aclarar quién es el hasta acá. El hasta acá es justamente este lugarcito que está entre el uno dos tres cuatro. Entonces aquí hasta acá, este lugarcito vamos a ponerle justamente que sea el tiempo 2.5. ¿okey? Entonces la velocidad originalmente era un cinco, ¿sí? Y después pasaron 2.5 segundos y la velocidad bajó hasta cero. O sea estoy tratando de evocar con ustedes un, vamos a ponerlo con este color, un delta v entre delta t, cambio de velocidad con respecto al tiempo que la razón de cambio de la velocidad, ¿okey? Y aquí podríamos decir, bueno pues, con lo que hice pasaron 2.5 segundos. Eso es un cambio del tiempo. Y la velocidad que era cinco bajó hasta ser cero antes era cinco al final es cero y el cambio es una resta. Cero menos cinco, ¿cierto? El valor final menos el inicial y entonces, ¿cuánto nos va a dar? Menos cinco entre 2.5 pues justamente menos dos, ¿cierto? De esta manera hemos construido aquí la razón de cambio de la velocidad. ¿Qué es lo que nos falta ahora? Pues nos falta nada más agregar nuestra letra t, ¿cierto? Para construir el modelo matemático de la velocidad. Tenemos construido el modelo matemático de la velocidad y con él somos capaces de construir el modelo matemático de la posición. ¿Por qué? Pues porque nosotros ya sabemos, ¿qué sabemos? Sabemos antiderivar, ¿cierto? Y entonces vamos a antiderivar esta expresión. Vamos a escribirla como se acostumbra en matemáticas. Aquí hay un paréntesis de más, ¿se fijan? Podríamos decir v de t igual a cinco menos dos t, ¿correcto? Entonces ahorita está nuestra atención puesta aquí y lo que vamos a hacer es construir con azul la, no, ¿cuál gráfica? La fórmula, ¿no? La fórmula que me da la función de posición. Esta es su derivada. O sea que ella es la antiderivada de esta. Y para construir la antiderivada, ¿qué es lo que hacemos? Bueno, tendríamos que tener un valor inicial. ¿Cuál es ese valor inicial de la posición? Es donde andaba la chica cuando empezó a caminar que aquí está gráficamente representado con este valor. Vamos a poner que aquí fuera un uno, ¿okey? Que empezó en el uno, ¿no? Como si lo teníamos acá en el software y entonces aquí empezaríamos poniendo valor inicial, ¿cierto? Más y ahora el cambio que se produce en su posición es debido a esta velocidad. Aquí el cinco se va a convertir en un cinco por t para que la derivada de cinco t me de cinco y el menos dos le vamos agregar a la t el cuadrado y dividimos entre dos y entonces nos quedó igual a uno más cinco t menos t al cuadrado. Este es el modelo matemático para la posición de esta chica que se estaba moviendo, ¿no? Camino hacia el sedes, ¿no? Hemos sido capaces de construir algebraicamente nuestra expresión y si somos capaces de eso, somos capaces de mucho mas, sí. ¿Por qué, pues? Porque por ejemplo teniendo estas fórmulas esto me dice mucho más de lo que me está diciendo solamente el dibujo. Por ejemplo, o sea, si yo les dijera ¿a qué posición llegó la chica cuando estaba caminando a la derecha? ¿A dónde fue donde llegó más lejos? Lo que necesitaríamos ahí es precisar este valor y no me voy a ir diciendo pues más o menos aquí se ve que es como el cinco seis siete punto y algo, ¿no? Realmente lo podemos calcular. ¿Qué tendríamos que hacer para calcularlo. Tendríamos nosotros que evaluar la función de posición en 2.5, ¿no? Y entonces eso lo podremos hacer rápidamente. Vamos a ponernos en una hoja aparte para que no tengamos que rayar más aquí. Se me van a quedar cortadas mis fórmulas, pero bueno, ahorita las re escribimos. Era x de t igual a uno más cinco t menos t cuadrada. Y la pregunta que nos hicimos fue, ¿hasta dónde llegó a la derecha? ¿No? Lo más que llegó a la derecha. Para eso necesitábamos nosotros conocer cuándo v de t sea igual a cero, ¿no? Y nuestra velocidad era, ¿qué? Cinco menos dos t. Justamente de ahí se nota o sale el número 2.5 que habíamos puesto, ¿se fijan? O sea aquí nos queda, ¿qué? Pasando este para la derecha, cinco es igual a dos t, pasando la t para acá haciendo mi espejo que acostumbro me queda t igual a cinco medios. O sea el 2.5 y ese 2.5 lo vamos a introducir en la fórmula de arriba. Al evaluar x en 2.5 nos va quedar uno más cinco por 2.5 menos 2.5 al cuadrado. ¿Sí? Y con esto vamos a tener el valor numérico de esta posición. Lo podríamos sacar en una calculadora, se los dejo ahorita para que ustedes lo hagan. Para no, eh, dedicarle tiempo porque quisiera hacer con ustedes otra pregunta. Ahorita, este, preferiría que volviéramos a este gráfico pues se me ocurre que es importante conocer, este lugar, ¿se fijan? Este lugar que está aquí ¿qué significa si lo estoy viendo con la chica? Este lugar justamente, si podemos volver acá a la, a la computadora por favor. Ese lugar es justamente, vean ustedes. Ese no, ese ya lo sacamos ahorita, bueno, aquí va bajando el gráfico, va bajando y ahí. ¿Vieron lo que pasó?, ¿qué pasó con la chica cuando, cuando estoy señalando este lugar? Voy a ver si la puedo ahí medio detener, a ver si se deja, ahí. Ya se pasó un poquito pero miren, es donde está aquí el número cero en el sistema coordenado. O sea, aquí sería pasar por el origen de la recta en donde la chica se está moviendo, ¿no? Entonces esto cognitivamente me lleva a hacer una acción otra vez matemática que significa igualar. Ahorita regresamos al papel y entonces hace un momentito lo que estábamos haciendo fue qué, evaluar, esto es, evaluar y ahora lo que vamos a hacer es igualar, ¿no? Vamos a igualar nuestra función a, de la posición a cero. Y al igualar a cero, ¿qué me queda?, uno más cinco t menos t cuadrada igual a cero. ¿Okey? Y al igualar esto a cero, esto aquí y en todos lados se conoce como una ecuación cuadrática. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática? Con sumo cuidado, con una calculadora y lo más fácil. Pero ahorita yo les voy a recordar aquí cuál sería la fórmula general, ¿se acuerdan? Si yo veo esta expresión, con letras tes, tendría que decirle t es igual a menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrada menos cuatro a c entre dos a. ¿Sí?, ¿qué tal?, ¿quién es la a, la b y la c? La letra a tiene que ser el menos uno que está aquí. Detrás de t cuadrada la letra b es el cinco que está aquí, detrás de la t. Y la c es el uno. ¿Okey? Y con esos valores pues entonces aquí nos quedaría una expresión que podríamos, pues no sé, usar nuestra calculadora para hacerla. Ahora sí prefiero aquí escribirlo con ustedes para que veamos cuál es ese valor. Aquí traigo la calculadora, vamos a tratar de escribirlo la expresión. Poder poner esto con estos valores numéricos sería tanto como decir igual, ¿verdad? Vamos a decirle que sea igual a qué, menos b menos cinco, ¿sí? Menos cinco y luego diríamos el signo de más. Luego le diríamos acá una raíz cuadrada, ahí vamos a poner un paréntesis para que nos saque la raíz cuadrada de b cuadrada, pues ya nos lo sabemos que es un 25. Luego seguiría menos un cuatro que multiplica, vamos a ponerle un paréntesis a la a, que es un menos uno, lo cerramos y luego por la c que es un uno, pues mejor no le pongo nada, no mejor sí se lo pongo para que ustedes vean que que se tienen que poner todos los valores realmente, ¿no? Ahorita salió fácil. Ahora, todo esto cantidad nos va a dar algo que deberemos de dividir entre menos dos. ¿Sí? Si les parece ahorita calculamos este valor y luego le, lo dividimos entre menos dos y nos queda menos 0.1925. O sea, nos salió un valor menos 0.19258, etcétera. Okey. Y ese valor negativo, ¿será la respuesta que andábamos buscando? O sea se acuerdan aquí del gráfico. Será este de aquí, no, ¿verdad? O sea, realmente lo que está pasando es que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones, que son estas intersecciones y ahorita está está siendo esta la raíz que estamos sacando de la ecuación. ¿Qué nos faltaría de hacer entonces? Pues necesitaríamos nosotros que en nuestra expresión usemos el menos, ¿cierto? O sea, otra vez sería que menos cinco. Menos cinco, ahora seguiría menos la raíz cuadrada de qué habíamos dicho, ¿de qué?, del b cuadrada que es un 25 menos el cuatro por a por c, que es un menos uno. Vamos a poner el menos uno nada más ahora. ¿Okey? Y esto lo vamos a calcular. Y después le pedimos que lo divida entre menos dos, ¿okey? Y la respuesta es 5.19258, a ver 5.1925824 etcétera, etcétera, ¿no? por ponerlo así, okey. Como ven este valor numérico, realmente ese es el valor en donde la chica, eh, pasa por el origen de la recta en que se mueve, ¿no? Realmente hemos aprendido con esto, si vamos otra vez al software. Pensemos ahora en en este lugar. Este lugar que está aquí es justamente el lugar en donde, eh, o el tiempo en que la chica pasó por el origen de la recta en que se mueve. Tuvimos que hacer. ¿Qué, qué tuvimos que hacer para encontrarlo? Resolver una ecuación cuadrática, ya lo recordamos. Me gustaría terminar en este video mostrándoles con SimCal la ventaja de hacer esto, ¿no? O sea, si ustedes recuerdan en este software podríamos cambiar la velocidad. Lo que yo quisiera ahorita es cambiárselas de tal manera que estuviera en el menos cinco y que después hiciéramos lo mismo en el 2.5 que cruzara la recta. Estoy tratando de producirles una, eh, velocidad, ¿sí? En donde lo único que hice fue que como que cambiar la orientación. O sea, realmente la orientación de la gráfica antes iba de bajada, si se acuerdan ¿no?, en nuestra imagen se les muestra que aquí va de bajada. Y lo que estoy haciendo ahora es provocar que la velocidad vaya de subida, ¿sí? Y entonces, inmediatamente, el software ya me hizo una modificación de la posición. ¿Qué va a pasar con nuestra chica?, la dejamos en su posición inicial uno, y entonces lo que tendríamos es que la chica va primero hacia la izquierda, se para y luego regresa hacia la derecha. Cada vez más rápido. En esta ocasión ustedes podrían también construir la fórmula, la función lineal que cumple la velocidad, antiderivar para encontrar la fórmula de la posición de la chica y ahora sí encontrar estos dos lugares, ¿no? Los dos lugares en donde ella pasa por el origen de la recta en que se mueve, pero más que todo para mí también es importante decirles que podríamos hacer una unión de esos dos gráficos, y ahí los invitó a que vean mi imagen acá. Al unir estos dos gráficos en uno solo nuestra mente es capaz de decir grandes cosas, ¿no? Vemos el gráfico acá, y entonces lo que tenemos es que un lugar en donde la velocidad es igual a cero, y este lugar corresponde exactamente aquí con el lugar en donde aquí tenemos un mínimo, ¿no? Y ese mínimo ocurrió en donde la velocidad es cero y la velocidad cambió de valores negativos a positivos. Hemos encontrado una estrategia para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una magnitud. Ciertamente lo he hecho, apoyándome en el modelo cuadrático, pero hemos encontrado que este modelo cuadrático es el lugar ideal para que nuestro pensamiento, conociéndolo a fondo, pueda identificar estos grandes resultados del cálculo.
