Merhaba. Bir önceki oturumumuzda düzlemde işlerin nasıl olduğunu görmüştük ve buradan da uzaya geçtik. Yani düzlemde sonsuz küçük alanlar buluyorduk ve bunu da Kartezyen koordinatlarda ve dairesel koordinatlarda yaptık, bir de genel olarak eğrisel koordinatlarda yaptık. Şimdi burada Kartezyen koordinatlardan üç katlıya geçişi kolaylıkla görmüştük, silindir koordinatlarında da gördük her ikisinde de x y var birincisinde z'yle çarpıyoruz, delta z'yle çarpıyoruz burada da r teta vardı delta z'yle çarpıyoruz. Küresel koordinatlarda biraz farklı dedik, dönel hacimlere bakacağız ve genel eğrisel koordinatlarda da düzlemdekinden çok farklı değil Jakobiyanla iş görüyoruz. Şimdi gene bu yaptığımız işleri bir mukayeseli bir ortamda karşılaştırmalı bir ortamda görürsek tek değişkenli fonksiyonlarda fonksiyonun bir x j noktasındaki yüksekliği ile delta x'i çarpıyoruz, bu küçük bir alan veriyor. Bunları topladığımız zaman bu f fonksiyonunun altındaki alanı buluyorduk bu a'dan b'ye kadar integraline karşıt geliyor bu şekilde hesap ediyoruz limitini aldığımız zaman delta x'ini. İki değişkenli fonksiyon olduğu zaman tabi iki değişkenli fonksiyonda düzlemde noktaları i j ile belirlemek lazım veyahut burada j k demişiz. Fonksiyon x'in ve y'nin fonksiyonu uzayda bir alan gösteriyor. Bu alanın bir noktasındaki yüksekliği tabandaki delta x delta y'yle çarpınca bir hacim buluyorduk. Bu hacimleri toplayınca da bu yüzeyin altındaki hacim oluşuyor. Delta x delta y limitlerine gidince de burada bunu bir integralle buluyoruz. Üç boyuta gelsek aynı düşünce elli boyuta da gelsek aynı düşünce fakat bu sefer geometri yapamaz hale geliyoruz çünkü iki değişkenli fonksiyon olduğu zaman bir de bağımsız değişken z üç boyutlu uzayda bir şekiller elde ediyoruz. Ama üç değişkene geldiğimiz zaman x y z yanısıra bir de bunu bağımlı değişkeni w'si var dolayısıyla dört boyutlu uzaya ihtiyaç var. Dolayısıyla burada artık geometriyi benzeşimi çok ilerletemiyoruz. Buradaki f herhangi bir yoğunluk olabilir bir madde yoğunluğu, bir ısı enerjisi yoğunluğu, bir elektrik yükü yoğunluğu, bunların toplamına eşdeğer geliyordu bu hacim. Burada ise gene benzer büyüklüklerin bu hacim üzerindeki toplamı gene toplamı verecek toplam elektrik yükü, toplam ısı enerjisini, toplam kütleyi verebilir, veya bu bir olasılık dağılımı olabilir toplam olasılığını verir bir olayın. Artık ama bunları çizme olanağımız yok çünkü dört boyutlu bir uzaya ihtiyaç olurdu ama hesaplarda hiçbir tereddüt edecek bir şey yok, gene bu üçlü toplamanın limiti üç katlı entegral veriyor burada Kartezyenlerle başlıyoruz. Bütün bu entegralleri yaparken elli katlı da olsa iki katlı da olsa ilki aynı. İki katlıda çok ciddi uygulamalarını da gördük. Örneğin x'i sabit tutuyoruz önce tek değişken oluyor y'ye göre entegrali alıyoruz sonra x'i değiştiriyoruz. Üç katlı entegral olunca da önce örneğin x ve y'yi sabitleyeceğiz, bir tane değişkenin değişmesine izin vereceğiz o tek katlı entegrali yapacağız. z gittikten sonra geriye x ve y kalıyor, bu sefer gene bir tanesini sabit tutacağız bir tanesini değiştireceğiz ve gördüğünüz gibi her adımda tek katlı bir entegralle iş yapıyoruz. Yani demek ki temel yaklaşımın bir tanesi bu art arda tek katlı entegrallere çeviriyoruz, n katlı entegralse n tane tek katlı art arda hesaplanan entegrale geliyoruz. Tabi ki pratik zorluklar olabilir elli katlı bir entegralse bunun entegralini böyle elle kağıtla kalemle yapmak mümkün olmaz ama ilkesi aynı, bu ilkeleri bilince de işte bilgisayarda da yapılabilir bu işlemler. Gene iki katlı entegrallerde görmüştük önce y üzerine entegrali yapsak veya önce x üzerine entegrali yapsak entegralin değeri değişmiyor. Bu da şundan dolayı değişmiyor bu toplamayı siz önce buradaki k'lar üzerine yapsanız sonra j'ler üzerine yapsanız veya önce j'ler üzerine sonra k'lar üzerine yapsanız aynı toplamı bulursunuz, toplamda çünkü a'yla b'yi toplamak b'yle a'yı toplamanın aynısıdır yani sırası toplamanın değerini değiştirmez. İki katlarda olduğu gibi üç katlı entegralde de elli katlı entegralde de entegralin sırası sonucu değiştirmez ama iki katlı entegrallerde gördük ki bazı pratik farklılıklar doğuyor. Bazen x üzerine entegrali almak daha kolay bazen y üzerine ilk entegrali almak daha kolay. Bu bir strateji, hesabı kolaylaştırabilmek için bir fark oluşuyor bu da önemli. Gene iki katlı entegrallere dönersek bir anımsatma olarak daha ayrıntılıları ellinci ve elli birinci sayfada var. Bölgelerimiz sabit x değerleri ve sabit y değerleriyle tanımlanabilen dikdörtgen bölgeler olabildiği gibi sadece sabit x değerleriyle ama y yönünde değişken değerlerle, eğrilerle tanımlanabilen bölge veya bunun tamamlayıcısı bunun eşdeğeri deyebileceğimiz y üzerine sabit değerler olup x yönünde değişken sınırlar olması. Bunun da, üç yönde de değişkenlik olabilir dört yönde de değişken olabilir ama esası burada. Birinci dikdörtgende hangi sırada entegrali alırsanız alın pek de bir şey farketmez ama bu türlerde değişken sınırlı türlerde gördük ki buradaki y yönündeki değişken sınırları eğriler olan durumda önce x'i sabitleyip y üzerine entegrali almak sonra da x üzerine entegrali almak daha uygun. Her zaman ana ilke olarak da dıştaki entegralin sabit değerler arasında olması lazım aksi takdirde bir değişken bir şey çıkar halbuki biz bir sayı bulmak istiyoruz bunun, bu toplamanın değerini bulmak istiyoruz. Bu üçüncü türdeki bu sayfadaki entegral türünde de önce x üzerine entegrali almak lazım sonra y üzerine çünkü y'nin sınırları sabit değerlerle belirleniyor. Bunun eşdeğeri üç katlı entegrallerde de var üç katlı entegrallerde de gene x yönünde y yönünde ve z yönünde sabit değerlerle tanımlanan sınırlar olabilir bu bir prizmanın içindeki bir entegraldir, entegral bölgesi bir prizmadır dikdörtgen bir prizmadır. Burada sırayı hangi yönde alırsanız alın çok büyük fark olmaz. Bunun bir özel türünü görmüştük sadece iki değişken olduğu zaman fonksiyonun sadece x ve y'nin fonksiyonlarının çarpımından oluştuğu durumlara değişkenlerine ayrılabilen fonksiyon diyorduk. Burada da aynı durum burada da bir z olursa olacaktır üç değişkenli çalıştığımız için. Herzaman tabiki bu kadar çarpımlarına ayırmak kolay olmaz ama ayrılabiliyor ise ve sınırlar da sabit değerler ise bu üç katlı entegrali üç tane tek katlı entegralin çarpımına indirgeyebiliriz ki bu hesapları fevkalade basitleştirir. Üç katlı entegralde de bu var yani benim amacım zaten üç katlıda sınırlanmamak. İki kat, bir katlı entegralden iki katlıya geçerken önemli şeyler öğrendik, ama ikiden üçe geçmek basit, ikide yaptığınızın bir tane daha fazlasını yapıyorsunuz, elli katlı olsa da gene aynı şekilde bütün bunlar geçerli. Şimdi eğer iki yönde sabit değerlerle verilen yani bir x y düzlemine bir dikdörtgen sınır var ama z yönünde değişken sınırlar varsa eğrisel yüzeylerle sınırlanıyorsa önce z üzerine entegrali almak uygundur. Bu z üzerine entegrali alınca z gidecek entegralden çünkü sınırlara x ve y'nin fonksiyonlarını yerleştireceğiz. Bunu yaptığımız zaman sadece x ve y'nin entegrali kalacak iki katlı bir entegral, bu da sınırları sabit olan iki katlı x ve y'nin fonksiyonu bir entegral olacak. Daha önce bildiğimiz usullerle gene bir tanesi üzerine entegral alıp sonra da diğeri üzerine alabiliriz. Ama bir tek yönde sabit sınırları varsa örneğin x'te sabitleri varsa y ve z yönlerinde farklı değişken sınırlar oluyorsa önce z'den başladığımızı düşünelim z bu sefer uzayda x ve y'nin fonksiyonu olan yüzeylerle sınırlanacak. Bu entegrali yaptığımız zaman geriye sadece x ve y'nin fonksiyonu kalacak, ama y bu sefer x ve y'nin fonksiyonu olamaz, y sadece x'in fonksiyonu olabilir. Bu iki katlı entegralde sınırları x olan şekilde hesaplayınca geriye sadece x kalır. Son adımda da sadece x'in fonksiyonu olan bir entegralin x'e göre entegralini hesaplayıp sabit değerlerdeki sınırlardan bulduğumuz değerle bir sayı elde ederiz. Tabii hiçbir yönde de sabit değerlerle tanımlanamayan bölgeler de vardır, doğada da vardır bu, teknolojide de vardır bu çeşit şekiller her zaman olabilir. Tabii bunun genel bir formülü de yok nasıl yapılacağının ama konunun özünü anlayınca uygun etkin bilgisayar yazılımları da var o çeşit problemler çözülebilir. Bundan sonra silindir koordinatlarına geçmek istiyorum bunu zaten gördük fakat geometrisini biraz daha açmak istiyorum onun için şimdilik burada duraklayıp bundan sonra silindir koordinatların arkasından dairesel koordinatlardaki sonsuz küçük hacimleri bulacağız. Şimdilik hoşçakalın.
