Ders çok değişkenli fonksiyonlardaki iki derslik dizinin ikincisidir. Birinci ders türev ve entegral kavramlarını geliştirmekte ve bu konulardaki problemleri temel çözme yöntemlerini sunmaktadır. Bu ders, birinci derste geliştirilen temeller üzerine daha ileri konuları işlemekte ve daha kapsamlı uygulamalar ve çözümlü örnekler sunmaktadır. Ders gerçek yaşamdan gelen uygulamaları da tanıtmaya önem veren “içerikli yaklaşımla” tasarlanmıştır. Bölümler Bölüm 1: Multivar 1'in Özeti, Dairesel Koordinatlarda Entegraller Bölüm 2: Türev Uygulamalarından Seçme Konular Bölüm 3: Çok Değişkenle Zincirleme Türev ve Jakobiyan Bölüm 4: Uzayda Yüzey ve Hacım Entegralleri Bölüm 5: Düzlemde Akı Entegralleri Bölüm 6: Düzlemde Green, Uzayda Stokes ve Green-Gauss Teoremleri Bölüm 7: Stokes ve Green-Gauss Teoremleri ve Doğanın Korunum Yasaları ----------- The course is the second of the two course sequence of calculus of multivariable functions. The first course develops the concepts of derivatives and integrals of functions of several variables, and the basic tools for doing the relevant calculations. This course builds on the foundations of the first course and introduces more advanced topics along with more advanced applications and solved problems. The course is designed with a “content-based” approach, i. e. by solving examples, as many as possible from real life situations. Bölümler Bölüm 1: Summary of Multivar I, Integral in Circular Coordinates Bölüm 2: Topics of Derivative Applications Bölüm 3: Chain Derivatives with Multi Variables and Jacobian Bölüm 4: Surface and Volume Integrals in Space Bölüm 5: Flux Integrals in the Plane Bölüm 6: Green in Plane, Stokes in Space and Green-Gauss Theorems Bölüm 7: Stokes and Green-Gauss Theorem and Nature Conservation Laws ----------- Kaynak: Attila Aşkar, “Çok değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”. Bu kitap dört ciltlik dizinin ikinci cildidir. Dizinin diğer kitapları Cilt 1 “Tek değişkenli fonksiyonlarda türev ve entegral”, Cilt 3: “Doğrusal cebir” ve Cilt 4: “Diferansiyel denklemler” dir. Source: Attila Aşkar, Calculus of Multivariable Functions, Volume 2 of the set of Vol1: Calculus of Single Variable Functions, Volume 3: Linear Algebra and Volume 4: Differential Equations. All available online starting on January 6, 2014
Sonsuz Küçük Hacım: Kartezyen koordinatlarda
Loading...
Del curso dictado por Koç University
Çok değişkenli Fonksiyon II: Uygulamalar / Multivariable Calculus II: Applications
9 calificaciones
Koç University
9 calificaciones
De la lección
Uzayda Yüzey ve Hacım Entegralleri
Uzayda yüzeylerin açık, kapalı ve parametrik fonksiyonlarla gösterilmeleri ve eğrisel koordinatlar. sonsuz küçük yüzey alanları seçeneklerinin birleştirilmiş bir yaklaşımla elde edilmesi. Uzayda küre, koni, paraboloitler gibi temel yüzeylerin tanıtılması ve bunları içeren alanlarla hesaplar.
Conoce a los instructores
Attila AşkarProf. Dr.
Matematik Bölümü (Department of Mathematics)
Merhaba.
Bir önceki oturumumuzda düzlemde işlerin nasıl
olduğunu görmüştük ve buradan da uzaya geçtik.
Yani düzlemde sonsuz küçük alanlar buluyorduk ve
bunu da Kartezyen koordinatlarda ve dairesel koordinatlarda yaptık,
bir de genel olarak eğrisel koordinatlarda yaptık.
Şimdi burada Kartezyen koordinatlardan üç katlıya geçişi kolaylıkla görmüştük,
silindir koordinatlarında da gördük her ikisinde de x y var birincisinde z'yle
çarpıyoruz, delta z'yle çarpıyoruz burada da r teta vardı delta z'yle çarpıyoruz.
Küresel koordinatlarda biraz farklı dedik, dönel hacimlere bakacağız ve genel eğrisel
koordinatlarda da düzlemdekinden çok farklı değil Jakobiyanla iş görüyoruz.
Şimdi gene bu yaptığımız işleri bir mukayeseli bir ortamda karşılaştırmalı
bir ortamda görürsek tek değişkenli fonksiyonlarda fonksiyonun
bir x j noktasındaki yüksekliği ile delta x'i çarpıyoruz, bu küçük bir alan veriyor.
Bunları topladığımız zaman bu f fonksiyonunun altındaki alanı
buluyorduk bu a'dan b'ye kadar integraline karşıt geliyor bu
şekilde hesap ediyoruz limitini aldığımız zaman delta x'ini.
İki değişkenli fonksiyon olduğu zaman tabi iki değişkenli fonksiyonda düzlemde
noktaları i j ile belirlemek lazım veyahut burada j k demişiz.
Fonksiyon x'in ve y'nin fonksiyonu uzayda bir alan gösteriyor.
Bu alanın bir noktasındaki yüksekliği tabandaki
delta x delta y'yle çarpınca bir hacim buluyorduk.
Bu hacimleri toplayınca da bu yüzeyin altındaki hacim oluşuyor.
Delta x delta y limitlerine gidince de burada bunu bir integralle buluyoruz.
Üç boyuta gelsek aynı düşünce elli boyuta da gelsek aynı düşünce fakat
bu sefer geometri yapamaz hale geliyoruz çünkü iki değişkenli fonksiyon olduğu
zaman bir de bağımsız değişken z üç boyutlu uzayda bir şekiller elde ediyoruz.
Ama üç değişkene geldiğimiz zaman x y z yanısıra bir de bunu
bağımlı değişkeni w'si var dolayısıyla dört boyutlu uzaya ihtiyaç var.
Dolayısıyla burada artık geometriyi benzeşimi çok ilerletemiyoruz.
Buradaki f herhangi bir yoğunluk olabilir bir madde yoğunluğu,
bir ısı enerjisi yoğunluğu, bir elektrik yükü yoğunluğu,
bunların toplamına eşdeğer geliyordu bu hacim.
Burada ise gene benzer büyüklüklerin bu hacim üzerindeki toplamı
gene toplamı verecek toplam elektrik yükü, toplam ısı enerjisini, toplam
kütleyi verebilir,
veya bu bir olasılık dağılımı olabilir toplam olasılığını verir bir olayın.
Artık ama bunları çizme olanağımız yok çünkü dört boyutlu bir
uzaya ihtiyaç olurdu ama hesaplarda hiçbir tereddüt edecek bir şey yok, gene bu
üçlü toplamanın limiti üç katlı entegral veriyor burada Kartezyenlerle başlıyoruz.
Bütün bu entegralleri yaparken elli katlı da olsa iki katlı da olsa ilki aynı.
İki katlıda çok ciddi uygulamalarını da gördük.
Örneğin x'i sabit tutuyoruz önce tek değişken oluyor y'ye göre
entegrali alıyoruz sonra x'i değiştiriyoruz.
Üç katlı entegral olunca da önce örneğin x ve y'yi sabitleyeceğiz,
bir tane değişkenin değişmesine izin vereceğiz o tek katlı entegrali yapacağız.
z gittikten sonra geriye x ve y kalıyor,
bu sefer gene bir tanesini sabit tutacağız bir tanesini değiştireceğiz ve
gördüğünüz gibi her adımda tek katlı bir entegralle iş yapıyoruz.
Yani demek ki temel yaklaşımın bir tanesi bu art arda tek katlı
entegrallere çeviriyoruz, n katlı entegralse n
tane tek katlı art arda hesaplanan entegrale geliyoruz.
Tabi ki pratik zorluklar olabilir elli katlı bir entegralse bunun
entegralini böyle elle kağıtla kalemle yapmak mümkün olmaz ama ilkesi aynı,
bu ilkeleri bilince de işte bilgisayarda da yapılabilir bu işlemler.
Gene iki katlı entegrallerde görmüştük önce y üzerine entegrali
yapsak veya önce x üzerine entegrali yapsak entegralin değeri değişmiyor.
Bu da şundan dolayı değişmiyor bu toplamayı siz önce buradaki k'lar üzerine
yapsanız sonra j'ler üzerine yapsanız veya önce j'ler üzerine sonra k'lar üzerine
yapsanız aynı toplamı bulursunuz, toplamda çünkü a'yla b'yi toplamak b'yle
a'yı toplamanın aynısıdır yani sırası toplamanın değerini değiştirmez.
İki katlarda olduğu gibi üç katlı entegralde de
elli katlı entegralde de entegralin sırası sonucu değiştirmez ama iki
katlı entegrallerde gördük ki bazı pratik farklılıklar doğuyor.
Bazen x üzerine entegrali almak daha kolay bazen y
üzerine ilk entegrali almak daha kolay.
Bu bir strateji, hesabı kolaylaştırabilmek için bir fark oluşuyor bu da önemli.
Gene iki katlı entegrallere dönersek bir anımsatma
olarak daha ayrıntılıları ellinci ve elli birinci sayfada var.
Bölgelerimiz sabit x değerleri ve sabit y
değerleriyle tanımlanabilen dikdörtgen bölgeler olabildiği gibi sadece
sabit x değerleriyle ama y yönünde değişken değerlerle,
eğrilerle tanımlanabilen bölge veya bunun tamamlayıcısı bunun eşdeğeri
deyebileceğimiz y üzerine sabit değerler olup x yönünde değişken sınırlar olması.
Bunun da, üç yönde de değişkenlik olabilir dört
yönde de değişken olabilir ama esası burada.
Birinci dikdörtgende hangi sırada entegrali alırsanız alın pek de bir
şey farketmez ama bu türlerde değişken sınırlı türlerde gördük ki buradaki
y yönündeki değişken sınırları eğriler olan durumda önce x'i sabitleyip
y üzerine entegrali almak sonra da x üzerine entegrali almak daha uygun.
Her zaman ana ilke olarak da dıştaki entegralin sabit değerler
arasında olması lazım aksi takdirde bir değişken bir şey çıkar halbuki biz bir
sayı bulmak istiyoruz bunun, bu toplamanın değerini bulmak istiyoruz.
Bu üçüncü türdeki bu sayfadaki entegral türünde de önce x üzerine entegrali
almak lazım sonra y üzerine çünkü y'nin sınırları sabit değerlerle belirleniyor.
Bunun eşdeğeri üç katlı entegrallerde de var üç katlı entegrallerde
de gene x yönünde y yönünde ve z yönünde sabit
değerlerle tanımlanan sınırlar olabilir bu bir prizmanın içindeki bir entegraldir,
entegral bölgesi bir prizmadır dikdörtgen bir prizmadır.
Burada sırayı hangi yönde alırsanız alın çok büyük fark olmaz.
Bunun bir özel türünü görmüştük sadece iki değişken olduğu zaman
fonksiyonun sadece x ve y'nin fonksiyonlarının çarpımından
oluştuğu durumlara değişkenlerine ayrılabilen fonksiyon diyorduk.
Burada da aynı durum burada da bir z
olursa olacaktır üç değişkenli çalıştığımız için.
Herzaman tabiki bu kadar çarpımlarına ayırmak kolay olmaz ama ayrılabiliyor
ise ve sınırlar da sabit değerler ise bu üç katlı entegrali üç tane tek katlı
entegralin çarpımına indirgeyebiliriz ki bu hesapları fevkalade basitleştirir.
Üç katlı entegralde de bu var yani benim amacım zaten üç katlıda sınırlanmamak.
İki kat, bir katlı entegralden iki katlıya geçerken önemli şeyler öğrendik,
ama ikiden üçe geçmek basit, ikide yaptığınızın bir tane daha
fazlasını yapıyorsunuz, elli katlı olsa da gene aynı şekilde bütün bunlar geçerli.
Şimdi eğer iki yönde sabit değerlerle verilen yani bir x y düzlemine
bir dikdörtgen sınır var ama z yönünde değişken sınırlar
varsa eğrisel yüzeylerle sınırlanıyorsa önce z üzerine entegrali almak uygundur.
Bu z üzerine entegrali alınca z
gidecek entegralden çünkü sınırlara x ve y'nin fonksiyonlarını yerleştireceğiz.
Bunu yaptığımız zaman sadece x ve y'nin entegrali kalacak iki katlı bir entegral,
bu da sınırları sabit olan iki katlı x ve y'nin fonksiyonu bir entegral olacak.
Daha önce bildiğimiz usullerle gene bir tanesi üzerine entegral alıp
sonra da diğeri üzerine alabiliriz.
Ama bir tek yönde sabit sınırları varsa örneğin x'te sabitleri
varsa y ve z yönlerinde farklı değişken sınırlar oluyorsa önce z'den başladığımızı
düşünelim z bu sefer uzayda x ve y'nin fonksiyonu olan yüzeylerle sınırlanacak.
Bu entegrali yaptığımız zaman geriye sadece x ve y'nin fonksiyonu kalacak,
ama y bu sefer x ve y'nin fonksiyonu olamaz, y sadece x'in fonksiyonu olabilir.
Bu iki katlı entegralde sınırları x
olan şekilde hesaplayınca geriye sadece x kalır.
Son adımda da sadece x'in fonksiyonu olan bir entegralin x'e göre entegralini
hesaplayıp sabit değerlerdeki sınırlardan bulduğumuz değerle bir sayı elde ederiz.
Tabii hiçbir yönde de sabit değerlerle tanımlanamayan bölgeler de vardır,
doğada da vardır bu, teknolojide de vardır bu çeşit şekiller her zaman olabilir.
Tabii bunun genel bir formülü de yok nasıl yapılacağının ama konunun özünü anlayınca
uygun etkin bilgisayar yazılımları da var o çeşit problemler çözülebilir.
Bundan sonra silindir koordinatlarına geçmek istiyorum
bunu zaten gördük fakat geometrisini biraz daha açmak istiyorum onun
için şimdilik burada duraklayıp bundan sonra silindir koordinatların
arkasından dairesel koordinatlardaki sonsuz küçük hacimleri bulacağız.
Şimdilik hoşçakalın.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
