¿Podría realizar la adición de media tarta más otra media tarta mediante un modelo de área?, ¿y de media tarta más un tercio de tarta con el mismo modelo? Debemos tener claro que cuando hablamos de "adición de fracciones", nos referimos a adición de números racionales que representan esas fracciones. Llegado a este punto, seguramente te haya resultado sencillo responder a la pregunta inicial utilizando un modelo de área para ver que media tarta y media tarta constituyen una tarta completa. El segundo caso, la dificultad que surge es porque tienen diferente denominador y las partes no se pueden comparar ni unir. Esta dificultad se solventa pasando ambas fracciones a un denominador común, tal y como veremos ahora con los sectores circulares. Vamos a realizar la adición "un medio más un medio" mediante un modelo de área. En este caso, vamos a utilizar un material manipulativo que se conoce como "sectores circulares". En los sectores circulares, esta se considera la unidad que es el círculo completo y esto sería un medio, por tanto, si vamos a hacer la adición "un medio más o medio" deberíamos unir ambos medios. Como se observa en la imagen, las áreas de ambas figuras son equivalentes, por lo que, en este caso, se dice que "un medio más un medio es igual a uno". A continuación, vamos a mostrar con los sectores circulares cómo se realizaría la adición de un medio más un tercio. Tenemos un medio, que en área representa la mitad de la unidad, y un tercio, que sería esta pieza que aquí tenemos. El problema es que, con esta información, no podemos expresarlo con una fracción, porque ambos sumandos tienen diferentes denominadores. Por tanto, debemos buscar una pieza que nos permita expresar ambas fracciones. Aquí tenemos esta pieza que representa un sexto de la unidad y que, como observamos aquí, cubre tanto esta parte, que era un tercio, como esta otra. Finalmente, se observa que con piezas iguales de ese tamaño podemos cubrir la adición de las fracciones "un medio más un tercio". Como tenemos cinco sectores circulares que son iguales, y cada uno de esos sectores circulares representa un sexto de la unidad como podríamos comparar aquí, el resultado de la adición sería cinco sextos. Para la sustracción, el procedimiento es análogo al de la adición. El primer significado que presentamos para la multiplicación de números naturales fue "suma repetida", como recordarás. Sin embargo, el producto de números racionales no tiene sentido como "suma repetida" salvo que el multiplicador sea un número natural. El significado de la multiplicación como "producto cartesiano" en los números naturales, se reinterpreta para las fracciones como "producto de medida", donde se aplica el significado de "área". En esta operación, cada una de las fracciones representa la longitud de los lados de un rectángulo, y el resultado es el área del rectángulo conformado por dicho lado. Por tanto, se pueden usar ejes cartesianos y cada fracción se representa sobre un eje. En la imagen vemos el ejemplo para el caso de dos quintos por un cuarto. Realizar esta operación equivale a responder, ¿cuál es el área del rectángulo cuyos lados miden dos quintos y un cuarto, respectivamente? Primero, representamos la longitud de uno de los lados, y luego, la del otro. El resultado de la operación, multiplicación, es el área del rectángulo formado por la medida de esos lados. Otro significado de la multiplicación de fracciones es la "fracción de fracción", por ejemplo, para "un medio por un cuarto", lo interpretamos como que es tomar un medio de un cuarto. El papel cuadriculado permite representar este significado para realizar la operación. En la siguiente figura se observa un ejemplo para el caso "un medio por un cuarto". Puedes comprobar que el resultado obtenido es el mismo que el que se obtiene mediante el algoritmo tradicional de multiplicación de fracciones. Para la división de números naturales, veíamos dos significados, reparto y resta reiterada. Si pensamos en una división de fracciones cualquiera, por ejemplo, "dos quintos entre un cuarto", no tiene sentido interpretarla como reparto, a excepción de que el divisor sea un número natural. El otro significado de la división visto para los números naturales era el de "resta reiterada", en este caso, para las fracciones "dos quintos entre un cuarto" se puede reinterpretar como cuántas veces le puedo quitar a dos quintos un cuarto, o cuántas veces cabe un cuarto en dos quintos. En la siguiente figura mostramos el procedimiento para realizar esta operación. Puedes comprobar que el resultado obtenido es el mismo que el que se obtiene mediante el algoritmo tradicional de división de fracciones.