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Muito bem.
Vamos tentar sedimentar o conhecimento com exemplo de projeto de realimentação
de estado com ação integral.
Só lembrando que estamos tratando o caso SISO, uma única entrada e uma única saída.
Apenas para se facilitar a nossa vida,
minimizando os cálculos vamos usar sistema de segunda ordem.
Lembre-se de que a ação integral irá aumentar a ordem do sistema.
Então, se usássemos sistema de terceira ordem teríamos que projetar uma
realimentação de estado aumentada de quarta ordem.
O procedimento é exatamente o mesmo, apenas as contas seriam mais trabalhosas.
O sistema no espaço de estados possui as seguintes matrizes; A igual a zero,
menos seis, menos cinco.
B igual a zero e C igual a.
Note que o sistema está na forma de Jacksíbius.
Opa, forma canônica controlável e podemos escrever sua função de transferência
apenas copiando os elementos da matriz C e da última linha da matriz A.
A função de transferência do sistema é S mais sobre S ao quadrado mais cinco S
mais seis.
O sistema possui polos menos dois e menos três e zero menos.
Os requisitos de desempenho são overshoot de 13,7%,
instante de pico de cerca de segundo e erro nulo
regime permanente para uma entrada degrau mesmo na presença de erros de modelamento.
O polinômio característico desejado é aproximadamente S ao quadrado mais quatro
S mais 14.
E precisamos da ação integral para garantir o erro nulo na presença de erros
de modelamento.
O sistema aumentado terá terceiro polo, aonde alocá-lo?
Podemos posicionar ele mais afastado da origem, por exemplo, menos dez.
Mas lembra que o sistema possui zero e menos?
E que este zero afeta a resposta ao degrau,
deixando ela mais rápida e menos amortecida?
Desse modo, se posicionarmos os polos exatamente nas posições
desejadas a resposta ao degrau terá overshoot maior que 13,7%.
O que fazemos então?
Usamos o polo adicional para cancelar o zero.
Atenção!
Nunca tente cancelar zero sem planos a direita.
O cancelamento nunca será perfeito e você acabará com sistema instável.
Ou seja,
nosso polinômio desejado aumentado será( S ao quadrado mais quatro S mais 14) vezes
(S mais um) que é igual a S ao cubo mais cinco S ao quadrado mais 18 S mais 14.
Vamos montar nossas matrizes aumentadas.
Lembrando que A aumentado é igual a A zero,
menos C zero e que B aumentado é igual a B zero.
Temos A aumentado igual a zero zero, menos seis menos cinco zero,
menos menos zero, e B aumentado igual a zero zero.
Note que, como eu já havia mencionado, mesmo o sistema original
estando na forma canônica controlável, o sistema aumentado não está.
E por isso precisamos resolver o problema geral de alocação de polos,
determinante de sI menos A aumentada mais B aumentada K aumentada igual
ao polinômio desejado aumentado de S, Então, vamos lá para a parte chata.
Calcular o determinante de sI menos A aumentada mais B aumentada K aumentado.
B aumentado, K aumentado será zero zero zero, K1 K2 K3, zero zero zero.
E sI menos A aumentada, B aumentada, K aumentada será S menos zero,
seis mais K1, S mais cinco mais K2, K3, S.
O determinante de sI menos A aumentada mais B aumentada K aumentado é igual a S
ao cubo mais (cinco mais K2) S ao quadrado mais (seis mais K1 menos K3) S menos K3.
E esse determinante deve ser igual ao polinômio desejado aumentado,
de onde concluímos que K2 igual a zero, K3 igual a menos 14 e K1 igual a menos dois.
Lembre agora que o K N mais neste caso K3,
é menos Ki e portanto, no nosso exemplo, Ki igual a 14.
E o sinal de controle será 2 X 1 mais 14 vezes a integral do erro.
No próximo vídeo veremos mais exemplo de projeto de rastreamento no espaço de
estados.
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
