Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Regulação e rastreamento
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Del curso dictado por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
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De la lección
Projeto de Regulação no Espaço de Estados
Conoce a los instructores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Antes de vermos o projeto propriamente dito,
vamos subdividir os problemas de controle no espaço de estados
dois tipos: Problemas de regulação e problemas de rastreamento.
No problema de regulação nosso objetivo é manter a saída do sistema constante
valor predeterminado, típicamente, mas não necessariamente, zero,
mesmo na presença de perturbações.
Caso a saída inicialmente não esteja no valor predeterminado,
queremos que ela vá rapidamente para este valor.
Por exemplo, podemos querer manter o nível de líquido recipiente constante,
ou manter a temperatura de forno, ou de uma sala, ou de uma cabine,
ou de uma estação espacial inteira, constante.
Ou manter a velocidade de uma esteira, de carro, ou de uma aeronave, constante.
Podemos querer manter o ângulo de uma antena, de braço robótico,
de corpo queda livre, de navio, ou de satélite, constante.
Todos esses casos queremos manter a saída valor constante predeterminado,
ou bem próximo deste valor, mesmo na presença de algumas perturbações.
No problema de rastreamento nosso objetivo é fazer com que a saída rastreie ou
acompanhe uma referência que não será constante.
Essa referência típicamente, mas não necessariamente, irá variar degrau, ou
seja, a saída deverá ir de valor constante para outro valor também constante.
O sinal de referência também pode variar rampa, parábola, exponencial, senoide,
ou de qualquer outra forma, mas se o sistema não for capaz de rastrear sinal
degrau não conseguirá também rastrear sinal que está variando de outras formas.
Neste curso consideraremos apenas referências com variações degrau.
Por exemplo, podemos querer que uma aeronave mude de nível de voo de
20 mil para 22 mil pés, ou podemos querer que
carro mude de velocidade de 80 quilômetros por hora para 100 quilômetros por hora.
Ou podemos querer que o ângulo de uma das juntas de uma robô, ou de uma antena,
mude de zero para 30 graus.
Ou que a altura de elevador mude de dez metros para 20 metros.
Apenas por curiosidade e a título de ilustração, se quiséssemos que essas
mudanças acontecessem com uma velocidade constante nosso sistema, na verdade,
estaria rastreando uma rampa, e não degrau.
Por exemplo, se quiséssemos que uma antena apontasse para satélite,
ou uma estação espacial orbitando a Terra com uma velocidade constante,
ou que painéis solares acompanhassem a posição do Sol no céu.
Ou ainda que uma aeronave executasse perfil de descida rampa para o pouso.
É claro que o perfil, ou a cara do sinal, pode ser diferente do degrau ou da rampa.
Se estivermos rastreando, por exemplo, objeto com aceleração constante,
foguete acelerando, sua posição estará variando na forma de parábola.
Mas vamos nos ater à variação mais simples e mais fácil de rastrear,
a variação degrau.
Então, se queremos que a saída siga uma referência que irá variar de alguma forma,
temos problema de rastreamento.
Se queremos que a saída permaneça constante, típicamente zero,
temos problema de regulação.
Hora do segredinho: se estivermos interessados apenas na resposta do degrau
do sistema, puxa vida, é o caso deste curso, que segredinho oportuno não?
A grande diferença entre rastreamento e regulação é que no rastreamento estamos
preocupados com erro regime, enquanto que na regulação não precisamos nos
preocupar com ele, uma vez que, sendo o sistema malha fechada bibo estável,
para uma referência nula, a saída regime também será nula.
Ou seja, para termos erro nulo regime permanente para regulação basta
que o sistema seja bibo estável.
E acho que, por enquanto,
ninguém vai projetar sistema que não seja estável, vai?
Ou seja, você pode considerar que a regulação é simplesmente o caso
que aceitamos qualquer erro regime permanente para uma entrada
degrau e que estamos interessados apenas na velocidade da resposta e no overshoot.
E talvez você esteja se perguntando: como eu vou medir o overshoot se o objetivo é
manter a saída zero?
Podemos modelar o efeito de perturbações de diferentes formas,
uma delas é considerar que a perturbação é sinal na forma de impulso que pode ser
aplicado à entrada do sistema ou diretamente ao estado.
Mas mais simples e mais comum que isso é já considerar o efeito da perturbação
diretamente no estado ou na saída, como se fosse uma condição inicial.
Ou seja,
analisamos o comportamento do sistema logo após a perturbação ter surtido seu efeito.
Por exemplo, vamos considerar uma aeronave voando com uma velocidade constante e com
ângulo de arfagem constante,
Se a aeronave sofrer a ação de uma súbita rajada de vento, sua velocidade irá mudar,
e o objetivo da regulação é fazer com que a velocidade volte à velocidade inicial.
Nós podemos modelar esse efeito da alteração da velocidade como uma variação
no estado e verificar o que acontece a partir desse novo estado.
Pense assim,
ao invés de querermos que a saída vá de zero até ou outro valor constante,
queremos que a saída que estava por causa de alguma perturbação, volte para zero.
Então, típicamente, o gráfico que analisaremos estará invertido, como este.
A saída aqui seria a variação da velocidade da aeronave a partir de sua
velocidade de cruzeiro.
A rajada de vento fez com que essa variação fosse, por exemplo,
de metro por segundo.
E o controlador fez com que essa variação voltasse para zero, ou seja,
regulou a saída, que neste caso é a velocidade da aeronave.
É interessante notarmos que se considerarmos apenas as variações,
ou os valores absolutos, calculamos o overshoot exatamente da mesma forma: o
quanto passou dividido pela variação.
E os tempos também são medidos exatamente da mesma forma.
Mas se não gostou dessa de ir de algum lugar para zero, não se preocupe, se você
aplicar degrau ao sistema o overshoot e os tempos serão exatamente os mesmos.
Não acredita?
É só lembrar que estamos trabalhando com sistemas lineares.
Pro conforto visual,
ao invés de considerar que a saída inicial seja você pode considerar que ela
seja menos assim o sinal de saída vai aumentar e não diminuir.
Mas os valores de overshoot e os tempos são exatamente os mesmos.
Mais adiante verificaremos isto usando o matlab.
Por enquanto apenas acredite que a resposta
à perturbação tem as características da resposta ao degrau.
Ou seja, podemos projetar a regulação como se estivéssemos projetando a resposta ao
degrau do sistema sem considerar o erro regime.
Outra observação interessante é que se o sistema é linear, se é modelo linearizado
torno de qualquer ponto de operação, será sempre o mesmo, uma vez que as derivadas
parciais serão constantes que não dependem do ponto de operação.
Não acredita?
Linearize a dinâmica de sistema massa, mola, amortecedor,
ou de circuito elétrico linear para diferentes pontos de operação e verifique.
Muito bem.
Então trataremos primeiro do problema de regulação e depois do problema de
rastreamento de entradas degrau.
Isto quer dizer que, inicialmente, estaremos interessados apenas nas
características da resposta transitória do sistema e não no erro regime,
que consideraremos que será nulo, uma vez que não projetaremos sistemas instáveis.
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