Este curso lhe dará a base necessária para entender técnicas mais avançadas de controle moderno. Você aprenderá como representar a dinâmica de um sistema no espaço de estados, como analisar um sistema no espaço de estados, como projetar uma realimentação de estado e como projetar um observador de estado. A partir desde conhecimento básico você já será capaz de realizar a análise e o projeto no espaço de estados e poderá avançar em seus estudos no controle moderno.
Três realizações diferentes no espaço de estados
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Del curso dictado por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Introdução ao Controle Moderno
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De la lección
Modelagem no Espaço de Estados
Conoce a los instructores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse video, você será capaz de representar a EDO ou a função de
transferência de sistema SISO no espaço de estados de três formas diferentes.
Você já conhece a realização ou a representação de Jacksíbius,
onde a matriz A tem uma coluna de zeros a esquerda, uma matriz identidade a direita
e os coeficientes das derivadas da saída ou do denominador da função de
transferência com o sinal e a ordem trocados na última linha.
Além disso a matriz B é formada por N menos zeros e por na última linha.
E a matriz C possui os coeficientes das derivadas da entrada ou do numerador
da função de transferência com a ordem trocada e mesmo sinal.
Vamos ver agora outras duas realizações ou representações no espaço de estados e
vamos chamar essas novas realizações temporariamente de Realização de
Jackman e Realização de Jack Snow.
A Realização de Jackman é bastante simples,
basta transpormos as matrizes da Realização de Jacksíbius.
A matriz A será formada por uma linha com N menos zeros e uma matriz identidade
N menos 1 por N menos 1 e os coeficientes das derivadas da saída ou do denominador
da função de transferência aparecerão na última coluna com sinal e ordem trocados.
A matriz B conterá os coeficientes das derivadas da entrada ou do numerador da
função de transferência com o mesmo sinal e na ordem trocada.
E a matriz C será composta por N menos zeros nas primeiras posições e
na última posição.
Vamos chamar as matrizes da forma de Jacksíbius de A1,
B1 e C1 e as matrizes da forma de Jackman de A2, B2 e C2.
Note agora que A2 é a transposta de A1,
B2 é a transposta de C1 e C2 é a transposta de B1.
Vamos verificar se as duas realizações realmente representam a mesma EDO ou
a mesma função de transferência.
A partir da Realização de Jacksíbius temos que a função de transferência
será: C1 vezes (sI menos A) menos 1, vezes B1.
E a partir da Realização de Jackman chegamos a C2 vezes (sI menos
A2) a menos B2.
Vamos agora substituir A2 por A1 transposto,
B2 por C1 transposto e C2 por B1 transposto.
Como estamos trabalhando com sistema SISO a função de transferência é escalar e
a transposta de uma escalar é ele mesmo.
Então, podemos escrever G2 Gs igual a G2 Gs transposto,
que é igual a transposta de B1 transposto vezes (sI menos
A1 transposto) a menos 1, vezes C1 transposto.
A transposta da multiplicação é a multiplicação das transpostas na ordem
inversa.
Então temos G2 Gs igual a C1 (sI menos A1 transposto)
a menos 1 tudo transposto vezes B1.
A transposta da inversa é a inversa da transposta.
A transposta da diferença é a diferença das transpostas.
A transposta da transposta é a matriz original e a transposta da identidade
é a própria identidade.
Finalmente temos G2 Gs é igual a C1 vezes (sI menos A1) a menos 1,
vezes B1 que é igual a G1 de s.
Ou seja, as duas realizações do espaço de estados representam exatamente
a mesma função de transferência ou a mesma EDO ou a mesma relação dinâmica entre
a entrada e a saída do sistema.
Vamos ver agora, rapidamente, exemplo numérico de uma terceira realização,
a Realização de Jack Snow.
Para o caso de auto valores não repetidos.
A Realização de Jack Snow pode ser obtida expandindo-se a função de transferência
correspondente frações parciais.
Por exemplo, seja G de s que é igual a Y de s sobre U de s,
igual a duas vezes (s mais seis) sobre (s mais um), (s mais dois), (s mais três).
Podemos expandir G de s frações parciais como G de s é igual a A sobre s mais 1,
mais B sobre s mais 2, mais C sobre s mais três e você já deve saber calcular os
resíduos das frações parciais, não sabe?
Calculando os resíduos temos G de s igual a cinco sobre s mais
mais menos oito sobre s mais dois, mais três sobre s mais três.
E podemos escrever, Y de s que é igual a G de s de s é igual a cinco sobre s mais U
de s, mais menos oito sobre s mais dois U de s, mais três sobre s mais três U de s.
Vamos chamar agora cinco sobre s mais U de s de X1 de s,
menos 8 sobre s mais dois U de s de X2 de s, três sobre s mais
três U de s de X3 de s e temos Y de s igual a X1 de s mais X2 de s mais X3 de s.
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a essas equações.
Reorganizamos as equações dos estados, aplicamos a transformada inversa,
reorganizamos as equações diferenciais e chegamos a X1 ponto igual a menos X1
mais cinco U, X2 ponto igual a menos X2 menos oito U e X3 ponto é igual
a menos três X3 mais três U.
Finalmente, como Y de s é igual a X1 de s, mais X2 de s, mais X3 de s,
temos Y igual a X1 mais X2 mais X3 e podemos escrever
X ponto igual a A3 X mais B3 U, Y é igual a C3 X com A3 igual
a menos zero zero, zero menos dois zero zero zero menos três,
B3 igual a cinco menos oito três e C3 igual a.
Note que poderíamos mudar a ordem das frações parciais e também poderíamos
distribuir o numerador de cada fração parcial entre os elementos de B e de C,
desde que o produto dos elementos correspondentes continuasse o mesmo.
Por exemplo, as matrizes A4 igual a menos dois zero zero,
zero menos três zero, zero zero menos.
B4 igual a dois cinco e C4 igual a menos quatro três
representam a mesma função de transferência.
E agora você já é capaz de representar a EDO ou a função de transferência de
sistema SISO no espaço de estados de pelo menos três formas diferentes.
No próximo video, você vai ver que podemos representar uma
função de transferência de infinitas formas no espaço de estados.
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