Após esse vídeo, você será capaz de calcular o ganho, para que os polos malha fechada estejam nas posições desejadas e completará o projeto do controlador de avanço de fase. Vamos usar as posições de polos e zeros para o controlador já definidas para função de transferência: G de s é igual a 200 sobre s, s mais 10, s mais 20. O polo desejado malha fechada é menos 5, mais 7 j. Dos controladores já projetados é: C1 de s é igual a k1, s mais 5 sobre s mais 8,3 e o outro é C2 de s é igual a k2 s mais 3,4 sobre s mais 6,6. Desse modo, temos o L1 de s vai ser igual a k1, s mais 5 sobre s mais 8,3 vezes 200, s, s mais 10, s mais 20 e o L2 de s vai ser k2, s mais 3,4 sobre s mais 6,6 vezes 200 sobre s, s mais 10, s mais 20. Primeiro, vamos verificar se os polos desejados realmente fazem parte do LGR, calculando a fase de L1 de quadradinho d e a fase de L2 de quadradinho d. A fase de L1 de quadradinho d é a fase de quadradinho d mais 5, menos a fase de quadradinho d mais 8,3, menos a fase de quadradinho d, menos a fase de quadradinho d mais 10, menos a fase de quadradinho d mais 20. E a fase de L2 de quadradinho d é igual à fase de quadradinho d mais 3,4, menos a fase de quadradinho d mais 6,6, menos a fase de quadradinho d, menos a fase de quadradinho d mais 10, menos a fase de quadradinho d mais 20. Calculando as fases de cada dos termos, temos fase de L1 de quadradinho d é igual a 90 graus, menos 64,8 graus, menos 125,5 graus, menos 54,5 graus, menos 25 e a fase de L2 de quadradinho d é igual a menos 102,9 graus, menos 77,1 graus, menos 125,5 graus, menos 54,5 graus, menos 25. Fazendo a soma, a fase de L1 de quadradinho d vai dar menos 179,8 graus e a fase de L2 de quadradinho d vai dar menos 179,2 graus. Não é, exatamente, menos 180 graus, mas está bem próximo disso. Essa diferença se deve a pequenas aproximações nos valores de ângulos, tangentes e posições de polos e zeros no cálculo do controlador. Mas, para que ponto seja polo do sistema malha fechada, não basta que a fase de G, nesse caso, L desse ponto seja menos 180 graus. Se isso acontecer, o ponto é polo potencial, mas para que ele, realmente, seja polo malha fechada, a condição de ganho deve ser respeitada. Lembre que os polos malha fechada dependem do ganho K do controlador. No caso do controlador proporcional temos o módulo de G de quadradinho K é igual ao módulo de menos 1 sobre K. E agora, com controlador C de s igual a K, s mais a sobre s mais b, temos: o módulo de C de quadradinho k, G de quadradinho k vai ser igual ao módulo de menos 1 sobre k. Como o módulo do produto é o produto dos módulos, podemos escrever: módulo de C de quadradinho k vezes o módulo de G de quadradinho k é igual ao módulo de menos 1 sobre k. Ou ainda, k é igual a 1 sobre módulo de C de quadradinho k, vezes o módulo de G de quadradinho k. Escrevendo G de s como: G de s é igual a A vezes s menos z1, s menos z2 até s menos zn sobre s menos p1, s menos p2 até s menos pn, podemos escrever o ganho k como: k igual a módulo de quadradinho k, mais b, vezes o módulo de quadradinho k menos p1, quadradinho k menos p2 até quadradinho k menos pn sobre módulo de quadradinho k mais a, vezes o módulo de a vezes quadradinho k menos z1, quadradinho k menos z2 até quadradinho k menos zn. Ou ainda, o k vai ser igual a 1 sobre A, vezes o módulo de quadradinho k mais b, módulo de quadradinho k menos p1, módulo de quadradinho k menos p2 até módulo de quadradinho k menos pn dividido por módulo de quadradinho k mais a, módulo de quadradinho k menos z1, até módulo de quadradinho k menos zn. Vamos dar uma olhada no módulo de quadradinho k menos p1 no Plano-s. Temos aqui, o quadradinho k com sua parte real e sua parte imaginária e o polo p1. E o módulo de quadradinho menos p1 vai ser igual ao módulo da parte real de quadradinho k menos p1, mais a parte imaginária de quadradinho k vezes j, que é igual à raiz quadrada da parte real de quadradinho k menos p1 ao quadrado, mais a parte imaginária de quadradinho k ao quadrado. Note ainda, que esse é o valor da hipotenusa do triângulo retângulo formado por quadradinho k, p1 e a parte real de quadradinho k, ou seja, é a distância entre quadradinho k e p1. Não está muito convencido disso? Vamos fazer exemplo numérico: o quadradinho k será menos 3, mais 4 j e p1 será menos 6 e temos: módulo de quadradinho k menos p1 é igual à raiz quadrada de menos 3, mais 6 ao quadrado, mais 4 ao quadrado que é igual a 5. O módulo da parte real de quadradinho k menos p1 é igual ao módulo de p1 menos a parte real de quadradinho k. Note que os catetos do triângulo retângulo são: a parte imaginária de quadradinho k, e a diferença entre o polo e a parte real de quadradinho k. E não importa se o polo for maior ou menor que a parte real de quadradinho k. Muito bem. Agora, podemos escrever k como: k igual a 1 sobre A vezes o produto das distâncias de quadradinho k até aos polos, dividido pelo produto das distâncias de quadradinho k até aos zeros. Só não esqueça de incluir polos e zeros de nosso controlador nessa conta. E como isso vale para todo o quadradinho k, vale também para o nosso quadradinho desejado. O k vai ser 1 sobre A vezes o produto das distâncias de quadradinho d até aos polos dividido pelo produto das distâncias de quadradinho d até aos zeros. Voltando, então, aos nossos exemplos. O k1 vai ser 1 sobre 200, vezes o módulo de quadradinho d mais 8,3, vezes o módulo de quadradinho d vezes o módulo de quadradinho d mais 10 vezes o módulo de quadradinho d mais 20 sobre o módulo de quadradinho d mais 5. E o k2 será 1 sobre 200, módulo de quadradinho d mais 6,6, módulo de quadradinho d, módulo de quadradinho d mais 10, módulo de quadradinho d mais 20 dividido por módulo de quadradinho d mais 3,4. Note que a distância de quadradinho d até ao polo na origem é o próprio módulo de quadradinho d. Calculando os módulos ou as distâncias individualmente, nós temos: o k1 vai ser igual a 1 sobre 200, 7,74 vezes 8,6 vezes 8,6 vezes 16,55 dividido por 7 e o k2 vai ser: 1 sobre 200 vezes 7,18 vezes 8,6 vezes 8,6 vezes 16,55 dividido por 7,18. Note que, no segundo caso, como usamos a bissetriz de triângulo isósceles, a distância de quadradinho d até ao polo do controlador é igual à distância de quadradinho d até ao zero do controlador, que esses dois fatores serão cancelados, ou seja, nem era preciso calcular esses valores. Você pode calcular esses módulos usando a função abs do MATLAB. Basta usar, por exemplo, abs de quadradinho d mais 8.5, desde que você já tenha definido quadradinho d corretamente. E fazendo as multiplicações, obtemos k1 igual a 6,77 e k2 igual a 6,12. Temos então: C1 de s igual a 6,77, s mais 5 sobre s mais 8,3 e o C2 de s igual a 6,12 s mais 3,4 sobre s mais 6,6. E esse controlador com a forma C de s é igual a k, s mais a, sobre s mais b, com 0 menor do que a, menor do que b, ou seja, com polo e zero negativos e o zero mais próximo da origem que o polo é chamado de Controlador de Avanço de Fase, por contribuir com uma fase positiva para s igual a quadradinho desejado. No nosso exemplo, a contribuição fase é de 25 graus. Continuando nosso desenvolvimento, nós temos L1 de s igual a 6,77, s mais 5 sobre s mais 8,3 vezes 200, s, s mais 10, s mais 20. E L2 de s é igual a 6,12, s mais 3,4 sobre s mais 6,6, vezes 200, s, s mais 10, s mais 20. Portanto, o T1 de s vai ser: 1354 s mais 5 sobre s, s mais 8,3, s mais 10, s mais 20 mais 1354, s mais 5. E o T2 de s vai ser: 1224, s mais 3,4 sobre s, s mais 6,6, s mais 10, s mais 20, mais 1224 vezes s mais 3,4. Fazendo os cálculos, obtemos T1 de s é igual a 1354 s mais 5 sobre s mais 24,6, s mais 3,7, s quadrado mais 10 s, mais 74,3. E o T2 de s vai ser: 1224, s mais 3,4 sobre s mais 24,2, s mais 2,3, s ao quadrado mais 10,1 s mais 74,8. E os polos complexos conjugados são: para T1 menos 5, mais ou menos 7,02 j e para T2 menos 5,05, mais ou menos, 7,02 j. As pequenas diferenças se devem às nossas aproximações. Se o ganho usado cada dos casos fosse diferente, a função de transferência malha fechada seria diferente e os polos complexos conjugados malha fechada estariam outras posições, mais ainda sobre o LGR. Eu aconselho que você obtenha as funções malha fechada manualmente e, depois, utilize o MATLAB ou uma calculadora para obter as raízes do polinômio do denominador. Para obter as funções de transferência malha fechada e calcular os polos malha fechada usando o MATLAB, você pode usar as seguintes instruções: G igual a zpk, nada, 0 menos 10, menos 20, 200. C1 é igual igual a zpk, menos 5, menos 8,3, 6.77. E o C2 igual a zpk, menos 3.4, menos 6.6, 6.12. T1 igual a feedback C1 vezes G,1. T2 igual a feedback, C2 vezes G 2,1 e aí, você usa a função damp T1 e a função damp T2. A função damp mostra os polos malha fechada, o fator de amortecimento associado a cada polo, 1 no caso de polos reais e a frequência natural ou a constante de tempo. Veja o que acontece com os polos malha fechada se você alterar o valor do ganho do controlador. Agora, você já é capaz de calcular o ganho para que os polos malha fechada estejam nas posições desejadas, ou seja, você é capaz de projetar o controlador de avanço de fase para atender a requisitos de desempenho que não poderiam ser atendidos com simples controlador proporcional. No próximo vídeo, você conhecerá o controlador PD e entenderá porque ele deve ser usado com cuidado.
