Após esse curso você será capaz de esboçar o Lugar Geométrico das Raízes (LGR - Root Locus) do denominador da Função de Transferência em Malha Fechada a partir dos polos e zeros da Função de Transferência em Malha aberta. Você também será capaz de projetar controladores de avanço de fase para atender simultaneamente requisitos de desempenho de amortecimento e de velocidade da resposta. Você também será capaz de projetar controladores de atraso de fase para atender requisitos de erro em regime permanente sem alterar as características de estabilidade e da resposta transitória do sistema. Você verá que os controladores PD e PI podem ser considerados como casos especiais dos controladores de avanço e de atraso de fase e verá também que você pode combinar os dois tipos de controladores em controladores de avanço e atraso de fase ou em controladores PID. Por fim você será capaz de modelar o efeito do atraso de transporte em um sistema com realimentação e de contrapor esse efeito projetando um controlador ou fazendo ajustes em um controlador já projetado. Desso modo dado um sistema linear e invariante no tempo e requisitos de amortecimento, velocidade e erro em regime permanente você será capaz de projetar um controlador que fará com que o sistema em malha fechada atenda simultaneamente a esses três tipos de requisitos. E você aprenderá tudo isso usando o MATLAB, uma ferramenta computacional extremamente útil para a análise, projeto e simulação de sistemas.
A Necessidade do Ganho Exato
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Del curso dictado por Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Controle de Sistemas no Plano-s
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De la lección
Controlador de avanço de fase
Neste módulo você aprenderá a projetar um controlador de avanço de fase, também conhecido como controlador lead, para atender a requisitos de desempenho que não poderiam ser atendidos com um sistema controle proporcional. Você aprenderá também o que é o controlador PD.
Conoce a los instructores
Jackson Paul MatsuuraProfessor Associado
Departamento de Sistemas e Controle
Rubens Junqueira Magalhães AfonsoProfessor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Após esse vídeo, você será capaz de calcular o ganho,
para que os polos malha fechada estejam nas posições desejadas e completará o
projeto do controlador de avanço de fase.
Vamos usar as posições de polos e zeros para o controlador já definidas para
função de transferência: G de s é igual a 200 sobre s, s mais 10, s mais 20.
O polo desejado malha fechada é menos 5, mais 7 j.
Dos controladores já projetados é: C1 de s é igual a k1,
s mais 5 sobre s mais 8,3 e o outro é C2 de s é
igual a k2 s mais 3,4 sobre s mais 6,6.
Desse modo, temos o L1 de s vai ser igual a k1,
s mais 5 sobre s mais 8,3 vezes 200, s, s mais 10,
s mais 20 e o L2 de s vai ser k2, s mais 3,4 sobre
s mais 6,6 vezes 200 sobre s, s mais 10, s mais 20.
Primeiro, vamos verificar se os polos desejados realmente fazem parte do LGR,
calculando a fase de L1 de quadradinho d e a fase de L2 de quadradinho d.
A fase de L1 de quadradinho d é a fase de quadradinho d mais 5,
menos a fase de quadradinho d mais 8,3, menos a fase de quadradinho d,
menos a fase de quadradinho d mais 10, menos a fase de quadradinho d mais 20.
E a fase de L2 de quadradinho d é igual à fase de quadradinho d mais 3,4,
menos a fase de quadradinho d mais 6,6, menos a fase de quadradinho d,
menos a fase de quadradinho d mais 10, menos a fase de quadradinho d mais 20.
Calculando as fases de cada dos termos, temos fase de L1 de quadradinho d é
igual a 90 graus, menos 64,8 graus, menos 125,5 graus,
menos 54,5 graus, menos 25 e a fase de L2 de quadradinho
d é igual a menos 102,9 graus, menos 77,1 graus,
menos 125,5 graus, menos 54,5 graus, menos 25.
Fazendo a soma, a fase de L1 de quadradinho d vai dar menos 179,8
graus e a fase de L2 de quadradinho d vai dar menos 179,2 graus.
Não é, exatamente, menos 180 graus, mas está bem próximo disso.
Essa diferença se deve a pequenas aproximações nos valores de ângulos,
tangentes e posições de polos e zeros no cálculo do controlador.
Mas, para que ponto seja polo do sistema malha fechada,
não basta que a fase de G, nesse caso, L desse ponto seja menos 180 graus.
Se isso acontecer, o ponto é polo potencial, mas para que ele,
realmente, seja polo malha fechada, a condição de ganho deve ser respeitada.
Lembre que os polos malha fechada dependem do ganho K do controlador.
No caso do controlador proporcional temos o módulo de G de
quadradinho K é igual ao módulo de menos 1 sobre K.
E agora, com controlador C de s igual a K,
s mais a sobre s mais b, temos: o módulo de C de quadradinho k,
G de quadradinho k vai ser igual ao módulo de menos 1 sobre k.
Como o módulo do produto é o produto dos módulos,
podemos escrever: módulo de C de quadradinho k vezes o módulo
de G de quadradinho k é igual ao módulo de menos 1 sobre k.
Ou ainda, k é igual a 1 sobre módulo de C de quadradinho k,
vezes o módulo de G de quadradinho k.
Escrevendo G de s como: G de s é igual a A vezes s menos z1,
s menos z2 até s menos zn sobre s menos p1, s menos p2 até s menos pn,
podemos escrever o ganho k como: k igual a módulo de quadradinho k,
mais b, vezes o módulo de quadradinho k menos p1,
quadradinho k menos p2 até quadradinho k menos pn sobre módulo de
quadradinho k mais a, vezes o módulo de a vezes quadradinho k menos z1,
quadradinho k menos z2 até quadradinho k menos zn.
Ou ainda, o k vai ser igual a 1 sobre A, vezes o módulo de quadradinho k mais b,
módulo de quadradinho k menos p1, módulo de quadradinho k menos p2 até módulo de
quadradinho k menos pn dividido por módulo de quadradinho k mais a,
módulo de quadradinho k menos z1, até módulo de quadradinho k menos zn.
Vamos dar uma olhada no módulo de quadradinho k menos p1 no Plano-s.
Temos aqui, o quadradinho k com sua parte real e sua parte imaginária e o polo p1.
E o módulo de quadradinho menos p1 vai ser igual ao módulo da parte
real de quadradinho k menos p1, mais a parte imaginária de quadradinho k vezes j,
que é igual à raiz quadrada da parte real de quadradinho k menos p1 ao quadrado,
mais a parte imaginária de quadradinho k ao quadrado.
Note ainda, que esse é o valor da hipotenusa do triângulo retângulo formado
por quadradinho k, p1 e a parte real de quadradinho k, ou seja,
é a distância entre quadradinho k e p1.
Não está muito convencido disso?
Vamos fazer exemplo numérico: o quadradinho k será menos 3,
mais 4 j e p1 será menos 6 e temos: módulo de quadradinho k menos p1 é igual à raiz
quadrada de menos 3, mais 6 ao quadrado, mais 4 ao quadrado que é igual a 5.
O módulo da parte real de quadradinho k
menos p1 é igual ao módulo de p1 menos a parte real de quadradinho k.
Note que os catetos do triângulo retângulo são: a parte imaginária de quadradinho k,
e a diferença entre o polo e a parte real de quadradinho k.
E não importa se o polo for maior ou menor que a parte real de quadradinho k.
Muito bem.
Agora, podemos escrever k como: k igual a 1 sobre A vezes o
produto das distâncias de quadradinho k até aos polos,
dividido pelo produto das distâncias de quadradinho k até aos zeros.
Só não esqueça de incluir polos e zeros de nosso controlador nessa conta.
E como isso vale para todo o quadradinho k,
vale também para o nosso quadradinho desejado.
O k vai ser 1 sobre A vezes o produto das distâncias de quadradinho d
até aos polos dividido pelo produto das distâncias de quadradinho d até aos zeros.
Voltando, então, aos nossos exemplos.
O k1 vai ser 1 sobre 200, vezes o módulo de quadradinho d mais 8,3,
vezes o módulo de quadradinho d vezes o módulo de quadradinho d mais 10 vezes
o módulo de quadradinho d mais 20 sobre o módulo de quadradinho d mais 5.
E o k2 será 1 sobre 200, módulo de quadradinho d mais 6,6,
módulo de quadradinho d, módulo de quadradinho d mais 10,
módulo de quadradinho d mais 20 dividido por módulo de quadradinho d mais 3,4.
Note que a distância de quadradinho d até ao polo na origem é o próprio módulo
de quadradinho d.
Calculando os módulos ou as distâncias individualmente,
nós temos: o k1 vai ser igual a 1 sobre 200, 7,74 vezes 8,6
vezes 8,6 vezes 16,55 dividido por 7 e o
k2 vai ser: 1 sobre 200 vezes 7,18 vezes 8,6
vezes 8,6 vezes 16,55 dividido por 7,18.
Note que, no segundo caso, como usamos a bissetriz de triângulo isósceles,
a distância de quadradinho d até ao polo do controlador é igual à distância de
quadradinho d até ao zero do controlador, que esses dois fatores serão cancelados,
ou seja, nem era preciso calcular esses valores.
Você pode calcular esses módulos usando a função abs do MATLAB.
Basta usar, por exemplo, abs de quadradinho d mais 8.5,
desde que você já tenha definido quadradinho d corretamente.
E fazendo as multiplicações, obtemos k1 igual a 6,77 e k2 igual a 6,12.
Temos então: C1 de s igual a 6,77,
s mais 5 sobre s mais 8,3 e o C2 de s igual a 6,12
s mais 3,4 sobre s mais 6,6.
E esse controlador com a forma C de s é igual a k, s mais a, sobre s mais b,
com 0 menor do que a, menor do que b, ou seja, com polo e zero negativos e
o zero mais próximo da origem que o polo é chamado de Controlador de Avanço de Fase,
por contribuir com uma fase positiva para s igual a quadradinho desejado.
No nosso exemplo, a contribuição fase é de 25 graus.
Continuando nosso desenvolvimento, nós temos L1 de s igual a 6,77,
s mais 5 sobre s mais 8,3 vezes 200, s, s mais 10, s mais 20.
E L2 de s é igual a 6,12, s mais 3,4 sobre s mais 6,6,
vezes 200, s, s mais 10, s mais 20.
Portanto, o T1 de s vai ser: 1354 s mais 5 sobre s,
s mais 8,3, s mais 10, s mais 20 mais 1354, s mais 5.
E o T2 de s vai ser: 1224,
s mais 3,4 sobre s, s mais 6,6, s mais 10,
s mais 20, mais 1224 vezes s mais 3,4.
Fazendo os cálculos, obtemos T1 de s é igual
a 1354 s mais 5 sobre s mais 24,6,
s mais 3,7, s quadrado mais 10 s, mais 74,3.
E o T2 de s vai ser: 1224, s mais 3,4 sobre s mais 24,2,
s mais 2,3, s ao quadrado mais 10,1 s mais 74,8.
E os polos complexos conjugados são: para T1 menos 5,
mais ou menos 7,02 j e para T2 menos 5,05, mais ou menos, 7,02 j.
As pequenas diferenças se devem às nossas aproximações.
Se o ganho usado cada dos casos fosse diferente,
a função de transferência malha fechada seria diferente e os polos complexos
conjugados malha fechada estariam outras posições, mais ainda sobre o LGR.
Eu aconselho que você obtenha as funções malha fechada manualmente e,
depois, utilize o MATLAB ou uma calculadora para obter as raízes do
polinômio do denominador.
Para obter as funções de transferência malha fechada e calcular os polos malha
fechada usando o MATLAB, você pode usar as seguintes instruções: G igual a zpk, nada,
0 menos 10, menos 20, 200.
C1 é igual igual a zpk, menos 5, menos 8,3, 6.77.
E o C2 igual a zpk, menos 3.4, menos 6.6, 6.12.
T1 igual a feedback C1 vezes G,1.
T2 igual a feedback, C2 vezes G 2,1 e aí,
você usa a função damp T1 e a função damp T2.
A função damp mostra os polos malha fechada,
o fator de amortecimento associado a cada polo,
1 no caso de polos reais e a frequência natural ou a constante de tempo.
Veja o que acontece com os polos malha fechada se você alterar o valor do ganho
do controlador.
Agora, você já é capaz de calcular o ganho para que os polos
malha fechada estejam nas posições desejadas, ou seja, você é capaz de
projetar o controlador de avanço de fase para atender a requisitos de desempenho
que não poderiam ser atendidos com simples controlador proporcional.
No próximo vídeo, você conhecerá o controlador PD e entenderá porque ele deve
ser usado com cuidado.
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