载流回路的磁场,那么这里呢就要涉及到
用微元法求磁感应强度的一些基本的问题
所以这里边呢我们也是,就是说跟那个电场一样,就是利用微元法
来求已知电流分布产生的磁感应强度,所以这个路数呢是差不多的
是基本的产生磁场的微元
然后再加上叠加原理,跟电场所不同的大家特别要注意
就是说磁场产生的规律它是
dl×R,所以它的这个磁场的方向空间性比较强
所以你在判断方向上要适应这个×的
这样一个这个就是那个做法,谁叉谁
这个叉乘是不能交换次序,比如点乘是可以 这个量A•B等于B•A
但是叉乘就不是,A×B,交换一下B×A就差一个负号
谁在前面谁在后面大家一定得特别注意,适应叉乘这种运算的规则
那么其他呢就没有什么了,好
下面就来介绍一下载流回路,怎么样来求一些一些
载流回路在空间产生的磁场,那么
这个实际上是Biot-Savart定律的应用,所以有的书上也叫
Biot-Savart-Laplace定律的应用,那么这是个这个定律有三个人的贡献 那么我们知道一个电流源
比如这个电流是Idl,在空间某一处P点产生的磁感应强度
那么这个r就实际上是代表了从这个圆到场点的矢径
现在这个r是有长度的 所以这个dB呢,这个就是相当于是
磁场里的这个系数4πε0,那么它呢正比于 I(dl×
r)反比于r的三次方,因为这里有一个r 所以说呢实际上是沿着r
× ,l × r的方向 同时呢是跟r的平方成反比,所以我们说
这个量和Idl、sinθ成正比,和r的平方成反比
方向呢是垂直于dl 和r构成的平面
这个是Biot-Savart定律,那么这是对一个电流的微元来讲
那么再根据叠加原理,那么我们就可以来求载流直导线的磁场
还有呢载流圆线圈轴线上的磁场
还有载流螺线管中的磁场
最后我们会讨论一个特殊的一个装置,叫亥姆霍兹线圈
那么作为求磁场的基本的最简单的内容
就这么几个,那么当然在这基础上我们可以进一步去求一些
可以求得的磁感应强度,对吧?那么 这个载流线圈的系统呢就要具体地来说,我们先把
这几个基本的东西给它搞清楚。首先我们来看载流直导线的磁场
现在呢这根导线它的长度是A1
到A2,从A1到A2,所以电流呢方向也是这个方向
那么我们呢去取求
跟这个导线垂直距离为A的这个P点的磁场,磁感应强度
那么我们当然这做法就是按微元法 我们首先给它分割,取出一个微元Idl
Idl,那么当然我现在这个点呢并不在它的
中垂线上,所以说呢是任意一处A,那么我这个微元
先找出来Idl,然后我去找Idl 在P点产生磁场
那么按照毕奥-萨伐尔定律,这个是dl 的方向
所以我们从图上可以看到dl 的方向是什么啊?
这是电流的方向是吧?所以你这个要 认清楚,我们第一次讲例子,我把这件事情交代清楚
电流的方向 Idl,dl的方向是电流的方向
然后r的方向是从起始于这个Idl
指向场点P,所以这个是r的方向 r
的方向,那么因此按照毕奥-萨伐尔定律 Idl
是这个方向,叉乘r 对吧?所以呢dl
和 r之间的角是θ,是这个角 也就是说电流方向和矢径方向的夹角
这些大家要认清楚,那么因此它的方向呢就应该是垂直于
这个屏幕的平面,这个屏幕的平面就是 Idl 和 r
所决定的平面对吧? 好,这就是微元。那么我们说这个微元的场知道了
再看直导线上任意一段 其实你看在这如果取一段,它Idl是这个
方向,r 呢是这个方向,所以呢叉乘也是这个方向
是吧?所以我们说一根长直导,这个载流直导线它上面每一个圆
在这产生的磁场呢都是垂直于这个平面的
所不同的是什么呢?θ不一样,是不是啊?你在这个
位置上和在这个位置上θ是不一样的,所以我们说根据它 我们可以知道它的大小是μ0/4π
Idlsinθ/r²,θ就是
电流和矢径之间的夹角 电流和矢径之间的,方向垂直于平面,好
那么现在我们已经可以知道我们看到每一个圆的 方向是一致的,把这些同样方向的磁感应强度
叠加起来,是不是就是我们要求的,对不对?所以现在我们就给它叠加
就本来是dB的叠加 但是因为现在每一个dB都是同一个方向
对吧?所以这个矢量的叠加就自然变成了标量叠加
而dl呢?这个dB是从A1积 到A2,也就是说从这个地方积到这个地方
对吧?所以我们说我们把这个量代进去
方向就不必说了,那么我们下面要做的事情就是算这个积分
A1所在处的θ是什么啊?θ1 A2所在处的θ是θ2,注意
这个是电流向上,矢径向上,所以这是这样的一个角度 对吧?要分清楚,那么下面我们在做的事情
就是换圆了,我这个积分我怎么能够 现在是dl,那么θ呢也是变量
所以我们想办法呢换圆,我们从这几何关系可以看到
l是什么呢?是圆到原点的电流源到原点的距离叫l
它对于这个这个三角形里边来看 就是-actgθ是吧?这个是l
l,然后因此我们对这个东西两边去求
一个微分,于是就得到dl和dθ之间的关系 这都不是物理问题,都是数学
只是我们在这里取了一个微元dl 然后又有θ,所以我要统一变量
我们用的办法就是数学上的办法,对吧?我把几何关系找到,然后对l和这个式子
两边求微分,那么于是我们就找到了dl和dθ之间的关系,那么我们把它代进去
对不对?然后呢再有这个r,r是什么呢?是它
对吧?这个r呢其实不同处的r也是不一样的,对吧?
于是我们可以从这个三角形你可以看到r是等于a/sinθ
对吧?a/sinθ,所以我们说呢,θ是这个角,我们可以利用三角
关系给它导过来,对不对?于是我们就得到了这个r
我们是它,那么我们把这些变量都统一
一下,所以说写完了微元,其实很重要一个任务 要去统一变量,那么下面我们就可以进一步来算啦
那么把它代进去算完了,最后我们可以代完了一看,这里是对dθ积分
θ呢,从θ1积到θ2
这么一更换以后,剩下的就是对cosθ的积分,很容易
我们说cosθ积分对比θ积分积出来
我们就可以得到这个结果。就是sinθ的积分
就得到cos,那么最后我们得到的是B等于4πa
分之μ0I(cosθ1-cosθ2) θ1是a1处所对应的θ
θ2是a2处所对应的θ。那么对于这样的结果
如果这个有限长的导线
两边伸向无穷远,那么这时候θ1
就变成了0,你可以看到这是有限长
对吧。这个如果是P点,那么这个是θ1
假如这个伸向无穷远,那么这个角呢,会无限地趋近于0 那么这边呢,θ2呢,
你看,是这个角 它伸向无穷远呢,这个会这样,对吧。就会趋向于π
趋向于π。所以我们说,当这个导线是无限长的时候。
θ1是0,θ2是π,于是我们可以得到B是一个定值
是μ0I/2πa,跟θ无关了。
这是什么意思呢?就是说,当你的导线是无限长的话
那么距离只要是a,无论在哪一点
它的值都是一样的。这个对于这一系统来讲,这叫什么?平移不变性。
对吧,叫平移不变性。
我这样移动都是一样的。
但是如果是有限长就不同了。P在不同的点,它的值是不一样,跟θ1和θ2
都是有关系的,对不对,所以我们说,如果是无限长
那么最终,它在,只要距离确定的话,电流强度一定
这B是一定的。那么当然,半无限长是什么意思呢?是
在这个端点
这伸向无限长,这呢,是在端点,端点的地方呢
或者是,θ1是0,θ2是π/2,就是这个情况 那么,正好是它的一半。还有一种情况有可能是
θ1是π/2,θ2是0。就在下面这个,也一样。
所以说,我们说,这个特殊的结果 我们在后面讲安培环路定理的时候,我们还会遇到。
对于无限长的载流导线,产生的磁场就是具有轴对称性的。
就是这个平移不变性。那么,它可以用安培环路定理算,算出来也是这个结果
也是这个结果。那么这些结果都可以作为已知的。
像这个公式你也可以把它记住,对吧。但是大家要注意,比如不同的书
上面对这个θ1θ2的定义是不一样的。
比如我记得iii的书,大概它这公式算出来,这是sinθ1-sinθ2。
那么这很奇怪,为什么呢?那是对θ的定义不一样。
我们这个系统定义是说,电流方向和矢径方向的夹角。
它正好是定在它的余角。所以呢,看书的时候一定要注意,它这公式是怎么出来的。
而每一个角度是什么定义的,这个要清楚,所以说,我们不要死记硬背公式
在我们这个,就是赵先生的书啊,还有《大学物理通用教程》,我们全部用的是
电流方向和矢径方向的夹角。但是不同的书可以有不一样的规定。所以就
不要死搬硬套,要注意它的定义。