我们说实际上有介质存在的Gauss定理和环路定理就很好做了
很好做了,为什么呢?你看
这个外场作用在电介质上会产生一个P
P和极化电荷有一个关系 而极化电荷会产生退极化场
会产生退极化场,退极化场和外场叠加是总场
那么应该说E和P之间呢,对于某一些介质来
讲,应该大部分介质满足这个关系,只是χe有所不同 对吧,那么当然非线性介质不在其中
所以这个基本上这个关系是这样,有了外场,那么介质被极化
极化以后有极化电荷,极化电荷产生退极化场,退极化场和外场叠加得到总场
总场决定极化最后的程度,那么这也有个问题
我们刚才做题的时候,我们说已知P,对吧,是不是已知P
但是你要是不知道P呢,你看这不是一个死循环吗?
是不是个死循环,咱们编程的时候就说这个死循环转不出来了
对吧,所以说P如果不知道,它也不知道
因为如果它和它有个关系,P不知道它也不知道,它不知道它也不知道
它加起来也不知道它,那么这两个也都不知道,所以我们说
互相影响的,一个知道都知道,一个不知道都不知道,是不是啊
所以有介质的时候它的场和真空中的场有什么相同和不同呢
我们可以用,应该看到产生的极化电荷也是静止的电荷
所以实际上静止电荷也是满足库仑定律和叠加原理
所以这个还是成立的,那么静电场
的性质有源无旋也是不变的 因为静电荷,静止电荷,那么
这个当然都成立,那么,但是 基本规律是什么样的呢,我们就要用到这个关系了
所以一说大家就会明白,我们把静电场的Gauss定理加以变化,你看这就是一个演绎了
没什么了,你看E·dS对闭合面的积分
我这里的原来的电荷是什么电荷都有的,对吧,我在第一章讲的时候我们说一个电荷
说你这是自由电荷,这个是极化电荷,没有告诉你,只是说有一个电荷分布
那么均匀分布的那个,在球面上分布也可能它是什么?导体
也可能它是均匀介质,这都有可能 所以我们说呢,这时候这个电荷我可以分成两部分
一部分是自由电子,一部分就是极化电荷,那么这个极化电荷呢
可以用它来表示,对吧,所以我就可以ε。拿出来
那么再把它代进去,那么这个积分和这个积分 我再归并一下,合并同类项,把它拿过去
拿过去以后,你看不就变成了这边是面积分,都是对S的积分,这儿是一个σ
那么当然看起来不太好看我就怎么了?把它 两边同时乘以ε。
那么定义一个,这是两个矢量的合成 对吧,(ε。E+P)
这边因为同乘以ε。所以这σq。前面是没有系数了
于是我们定义了一个D,它是ε。E+P
我们把它叫电位移矢量,于是我们就得到了一个D·dS等于σ
q。S,这个里面求和就不包含极化电荷
只有自由电荷,那么你从这里你可以很高兴,你看
我只要知道自由电荷分布,如果有对称性,我就可以求出D
对吧,但是你别高兴的太早,你求出来D
你不知道P你怎么能求出E呢 是不是,所以算呢
这样的做法,一个演绎的做法掩盖了矛盾啊!没有 真的解决矛盾,但是对有一些介质
像同性线性介质是有希望的 那么我们下面就介绍一下电位移矢量
它是一个辅助矢量,这就是所谓的D的Gauss定理
那么D的Gauss定理是有电介质 存在时候的场的通量的那个规律
它是说有电介质存在时 通过电介质中任意闭合曲面的电位移通量
等于闭合曲面所包围的自由电荷的代数和
与极化电荷无关 特别讲了这句,与极化电荷无关
那么因此我考虑D的通量,我只要去找自由电荷就可以了
好,那么在公式里面不显含P、q和E
当然这个问题就掩盖了 但是并没有解决原来的困难,所以说如果q。已知
只要场分布有一定对称性可以求出D 但是不知道P,所以没有办法求E,那么怎么解决这个问题
怎么解决这个问题,我们可以逐步的解决,为什么?
你想D=ε。+P
我们已经知道P各向同性线性介质的话,P和E的成分比达
那么如果把P=εχe代进去,那么就变成了
D和E的关系了,是不是啊,所以还是有一些问题
可以想办法解决的,所以我们下面来看一下
要补充D和E的关系式,那么需要已知描述
介质极化性质的极化率χe,这个χe怎么来的呢
它就必须是通过实验测定,因为它是反应物质性质的
是不是反应它的极化性质的一个物理量,所以必须
要知道它,那么这个χe一般都可以在表上查到
或者它会告诉你,这是实验测定,不是算出来的,不是算出来
好,我们说对于这一类的介质,各向同性线性介质
我们应该说在这个D,P是等于χeε。E
我们把这个P代到这个D的表达式里去 那么它就变成了什么?ε。
提出来,那么(1+χe) 那么我们定义1+χe
这个呢,1+χe定义为相对介电常数
所以这个都是定义,其实没有 什么,你就记住它就行了,对吧,χe是实验的
结果,然后1+χe叫做一个 相对介电常数,相对谁呢?相对于真空
因为我们最开始说的是真空,那么真空中介电常数是ε。
而有了介质以后呢,就多了一个因子ε
有的书上就告诉你,介电常数是ε
那么这个意思就是它应该是ε。εr
如果告诉你是相对介电常数是εr,像赵凯华书上说
这个ε它就是相对介电常数,它相当于是
这个εr,所以不同的书上 在这个上面写的是不一样的,你一定要看清楚这本书
一开始它是怎么定义的,否则会搞错 那么这些交代清楚以后,我们就可以看到D
在各向同性线性介质当中,D和E是成正比的
那这一类的介质我如果利用对称性把D求出来了
只要已知ε,我就可以求出E
对吧,那么有了E就可以求出P,有了P呢
是不是可以把界面上的极化电荷算出来 所以呢,介质看上去复杂
但是对于各向同性线性介质来讲很容易 你看这个路子是很清楚的
那么有介质的情况下,这个ε不等于1
因为χe不等于0,χe不等于0,ε就不等于1 而在真空当中呢,χe是0
所以ε就是1,也就说真空它自己相当于自己当然是1了 那么D呢,就等于ε。E
那么因此我们说有介质的问题总体上是比较复杂的,但是
就各向同性线性介质而言,比较简 它的解问题的路子是很简单
的,很简单的 所以大家也不用太紧张,但是你对这个介质要有个全面的认识
不是所以介质都满足这个关系 对吧,也不是所有介质都满足这个关系
所以呢,具体的问题要具体的分析 具体的分析,所以你首先要看它是什么性质的介质
所以一般让你们做的题,一般都是各向同性线性介质、或者均匀介质
再复杂一点介质,它一定要告诉你条件 否则你也没有办法做,那么因此
有介质的D的通量和闭合面的自由电荷的关系就是D的Gauss定理
D的Gauss定理,它的理论地位很重要
是描述场的性质,有介质情况下它也是有源无旋场
也是有源无旋场,当然它也可以来计算 某些场的分布,这个我们已经很熟悉了
那么当然对于电介质当中利用D的Gauss定理可以按
这样一个路径来算问题啊,用对称性先求出D
然后再来求E,用什么呢?就用各向同性线性介质来讲 那么就是D和E成正比
有了E求P,有了P求q',有了q'求E'
是吧,很简单,当然 也还可以用别的办法做,比如说我用电容定义
再加上电容的串并联公式来做,为什么呢?因为比如说我们常见的电容,平行板电容
器,它充了介质以后,电容是原来电容ε倍 对吧,那么因此呢,我们也可以利用电容来算
先算出,如果是电容器的话算出电容
有了电容去算它的电场,当然是电容和电场的关系 然后呢,有了电场可以算P
当然有电场也可以算D,这都是对各向同性线性介质来讲 那么有了P可以算出q'也可以算出E'
这两条途径都可以,所以能做的题也很有限
但是要你对这个问题有个比较清晰的认识,有个比较清晰的认识