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欢迎回来,那么既然逻辑符号组成的这个规则不是随意的,
那么,由逻辑符号所组成的这个命题的公式, 它的规则是什么样子的呢?我们来看看命题公式它的组成成分。
首先是命题常元,那么命题常元是由表示具体的命题
以及表示常命题的这些p,q,r,s的单字母和t,f 来组成。
第二呢,就是命题的变元,它是个变量, 那么它是以真假或者1,0作为取值范围的一个变量,
那么它也是用p,q,r,s 来表示。
那么之后这个命题公式,它就是由命题常元、 命题变元
以及逻辑联结词组成的,形式更为复杂的这个命题,称作为命题公式。
那么,命题常元和命题变元
它如何组成命题公式?那么在这,命题公式有一个定义,三句话的定义,
那么这种定义称之为归纳定义,第一句话说 命题常元和命题变元它本身就是命题公式。
特别地称之为原子公式或者就称之为原子。
第二句话,如果A,B是命题公式的话, 那么,(¬A),(A∧B),
(A∨B),(A→B)以及(A↔B) 也是命题公式。
第三句话, 只有有限步地引用上面两条所构成的符号串, 它才是命题公式。
所以呢,这是一个三句话的一个定义。
我们把命题公式呢也可以简称作为公式, 一般采用大写的A,B,C来表示它。
那么我们这呢,就要注意一下大小写,通常呢,A,B,C是
代表大写的,是代表命题公式,而小写的p,q,r,s,t,f 那么它都代表命题,特别是命题变元和命题常元。
命题公式的这种定义的方法就称之为归纳定义,我们刚才提到的。
而归纳定义是一种很特别的,我们也看到,它三句话, 那么这种三句话的特别的归纳的定义
我们在第二章,这个集合论里头,还会再详细地讨论到它。
那么,我们根据定义,给出一些命题公式的例子。
比如说像这个,(¬(p→(q∧r)))
然后它每一层都有括号,那么这个呢,就是命题公式。
而我们看看下面这几个,都不能算是。
比如说,(qp),那我们知道 它少了联结词,没有联结词,所以它不是命题公式。
第二个像这样(p1∧(p2∧.....
那么显然它是要表现是一个无限的一个概念,当然它直接 违反了第三条,也就说是有限的,这个最后上它应该是有限。
第三个,p→r∧s,这看起来好像没有什么问题,
它都是一个命题,然后联结词,命题,
联结词,命题,这样的形式,但是呢,如果严格按照命题公式的定义来说, 它缺少了括号,所以它也不能算是
严格的命题公式,当然,在很多时候呢,这个括号是挺烦人的,所以,如果按照严格的
这个命题公式的定义去写命题公式的话, 我们发现有太多的括号,所以呢, 很繁琐。
我们就来做一些简化的约定,旨在减少一些括号。
那么第一,公式最外层的括号一律可以省略,我们就不要了。
第二呢,我们来约定这个逻辑联结词的优先级,那么这样呢就可以进一步地减少括号。
那如果按照这个简化的约定来说,那像上面那个 第三个,p→r∧s,
那么它就是合法的命题公式了。
我们来看看逻辑联结词的优先级。
那么在我们所接触过的这五个联结词当中, 它们是不太一样的。
像¬,它是一个一元的联结词, 也就说它只连接了单个的命题。
而其它呢都是连接两个命题的所谓的二元联结词。
我们就把这个优先级定义为, 第一优先级呢,是¬,因为它是一元的,贴得命题最紧。
然后∧和∨,它是第二优先级,它们是优先级相同的一组。
然后接下来是→,最后是↔,优先级最低。
那么,除非有括号,否则呢,
就按照这个优先级从高到低,从左到右的这个次序 来进行结合,那么所以这样呢,
¬p∨q那么就实际上就等同于((¬p)∨q)。
但是呢,如果括号过少的话,会有时候会引起一些混淆。
比如说像这个, p→q∧r→s
而这个从人们这个对称的直觉上来看呢,好像是这样,p→q然后呢 跟
r→s 做一个合取。
但实际上结合这个优先级,它并不是这样的。
它其实应该是q和r先做合取,
然后作为后件再由p来蕴含它,然后呢再
蕴含s,是这样的,所以有时候我们该加的括号还是应该加的。
那么,命题公式它是一个按照归纳定义所构成的一个字符串。
那么它在形式上呢,是有既定的规则的。
那么,这个命题公式它构成构造好了以后,在内容上 又具有什么样的意义呢?