[音乐] 嗨,你好,欢迎回来。
那么接下来呢我们来看看自然数的定义
我们前面一直说啊,在数学当中"数"是最基本的 原始概念。
但是呢在集合论创立了之后,这个情况就变了 我们会用集合来定义自然数
那么使得呢数学能够建立在更为简单的概念"集合"的基础之上
这个我们在前面反复地一直说,什么时候自然数会出现呢? 我们现在就来看看自然数是怎么定义出来的
那么在算术的公理化 过程当中,这个算术啊还不止的是,不是说是数学啊
在算术的公理化系统当中,这个皮亚诺他 用5条公理来刻画了自然数的性质
什么是自然数?第一条公理是说 至少有一个对象是自然数然后记做0。
当然记做什么其实无所谓,在符号里边 它只是一个符号而已。
第二个公理是说,如果n是一个自然数的话 那么n呢必然会有一个直接后继,记做为n'
这里头就引入了一个叫做"直接后继"的概念,直接后继
第三个是说,0呢不是任何自然数的直接后继,也就是它是最初始的那个 第四条公理是说如果
自然数m,n它们的直接后继m'和n'相同的话 那么m就等于n。
那么这个呢就确定了什么? 自然数一个线性的性质,它是直链,一条直链,它不会有分叉
那么第五个就是,没有不满足上述条件的对象是自然数 那么就相当于有一种纯粹的条款的意思了
那么我们如何构造,通过集合来构造一个集合族?
或者说构造一个很大的一个集合,一个无线集合能够满足这些公理呢?
我们就来先分析一下,用集合来定义自然数需要考虑的几个问题
因为到目前为止我们在集合介绍了集合的概念 集合的之间的关系,以及呢集合之间的这个运算
那么我们实际上所掌握的东西并不多,就是屈指可数的那几个
那么首先呢,因为在自然数的5个公理里边
它首先提到了一个,有一个至少有一个自然数称之为0
那么我们也要找一个集合来代表这个0,对吧? 那么这个集合呢当然是越简单越好,越简单越好
那么最简单的集合是什么?我们就想到了空集嘛,空集肯定是一个最简单的集合
然后呢找一种 运算来定义这个他提出来的"直接后继"
因为直接后继呢就相当于像归纳定义里边,它有一个归纳的一个规则
它有一个自然数它就有一个直接后继,然后呢再直接后继,再直接后继……这么一个
所以呢我们需要有一个运算,把这个集合呢进行变化
变化,因为你不能老是空集,如果老是空集的话永远都 得不到下一个自然数。
所以呢我们必须要有一个运算来定义 这个直接后继。
那这个运算呢我们无非就是并、 交、 差、 补 是吧?那实际上只有三个,就是并运算、
交运算和差运算 那么这些运算,哪个适合做这个直接后继呢?
我们想可能那种会使得这个集合 越来越多的这个运算可能会比较合适
因为你空集本来就已经是很小的一个集合了,你还让它越来越少的话,比如说像交集
交运算或者差运算,它是让它变得越来越少 那么这空集已经不能再少了,对吧?所以呢也许
只有并运算才适合这个直接后继,也许啊
然后呢当然,还要要求这个运算呢,就像第三条公理那样,0不是任何的直接后继
那么既然0不是任何自然数的直接后继的话,那么这种运算就不能够得到0所对应的那个
集合,它的运算结果,对吧?如果运算结果得到了0 对应的那个集合就是空集的话,那
就变成了它是某一个,0就是某一个集合的 自然数的直接后继了,所以不能。
那不能的话,那 也许就只剩下并运算这样的一个
运算合适了,对吧?当然了额外的 除了这几条之外,我们还希望呢能够通过集合的关系
就是隶属关系和子集关系这两种 关系来反应自然数的一种顺序的这种性质
就是一个两个三个四个……,它是顺序挨着排的 我们要有一个顺序。
那么当然这个我们都发现,在隶属和子集上 只有子集关系会比较好一些,它具有一种传递的性质
比如A是B的子集,B是C的子集,那么A呢也是C的子集 这个呢顺序性质可能会更好一些
那么可能我们会考虑这个 子集这个关系来作为自然数的顺序性质的一个描述
那好我们现在就可以开始,考虑了这几个条件之后
我们就可以开始一步步地定义出这个自然数集了,只用集合。
那么首先基础条款 就是空集属于自然数,那好我们就空集呢就是0,对吧?
那么归纳条款用了一个很巧妙的一个设计 就是如果x是一个自然数的话,
那么x',就是它的直接后继就定义为什么呢?定义为x并上
以x作为元素的一个单元集合 这么一个并。
这种构造是不是 有似曾相识?在我们在举这个隶属和
同时满足这个隶属和子集关系的那样的一个 集合里头。
比如1逗号,然后1构成的一个单元集然后构成的一个集合,对吧?对!就是那样的一个构造
这种嵌套式的构造,那么它是定义为直接后继
第三个终极条款可以略掉,就是前两个条款所产生的这个自然数
对象是自然数之外就没有别的东西是自然数了 现在呢我们来看看这个列举的定义,如果把这个自然数
集,我们按照这种方式定义的自然数集进行展开的话,它会是什么样子呢? 嗯,就这样,第一呢是0,就是空集
第二呢是1,它就是空集的集合;第三个呢是2 它是空集再加上空集的集合的集合
那么如果这么写上去的话,其实就是 1呢就等于0的集合;2呢就0,1的集合;3呢就0,1,2的集合
你是不是想起来什么呢?我们在前面经常举的这个例子
就是前n个自然数的集合,现在我们知道原来
n就是一个自然数n它就是前n个自然数的集合,就是下一个自然数
这是不是,这种构造是不是特别巧妙?那么巧妙到什么程度呢?
因为像这样的嵌套构造,它的隶属关系和它的这个
子集关系都可以传递,就是说0是1的元素,1是2的元素,2是3的元素
那同时呢也会有0是3的元素,是吧?它可以传递了。
当然 子集这种关系呢它是天然传递的,这个完全没问题
那么这样呢,它通过这个子集关系 具有传递性就体现了自然数集里头
每一个自然数它有一种顺序的关系,有一种顺序的关系 那么,当然如果我们不用这个并集,我们
就用这个一层一层的括号的这种,像形式,来作为它的直接后继会怎么样呢?
比如x'就等于把x作为一个单元数集合,然后把它作成集合
这个做直接后继会怎样呢?那自然数就会变成这样:∅,{∅}
然后{{∅}},{{{∅}}},……} 就这样的一直下去。
那当然它也可以构造出很多的不同的 这个东西来,但是呢它虽然有0
∈1,1∈2,2∈3,但是它不会有传递性 它没有传递。
同样地,这个子集关系在自然数之间也不会成立,如果这么定义自然数的话
那所以这样地看来,还是我们前一种那种方法来得好、 来得妙
接下来呢,实际上我们还可以进一步地去定义自然数 的一些运算。
运算呢比如说最常用的运算加法和乘法,我们来看看 怎么去定义。
这个实际上也可以用递归的定义方法来定义它,比如说加法的定义就用直接后继,是吧?
我们规定0,x+0就等于x
那么x+y',就是说,实际上就是说 加上一个别的自然数,它是某一个自然数的后继的话
就是加上y'的话,那么就定义为(x+y)的后继 (x+y)的后继。
那么这么定义出来的这个加法应该怎么做呢?比如说3+2 那么2呢是1的后继,就是1',那么所以呢它是等于(3+1)'
那么1呢又是0的后继,所以是0' 那么它就等于((3+0)')'
这个时候呢在3+0我们就有定义了,3+0就等于3 3'=4,4'=5。
这样呢就一步一步地就把加法给定义出来了 当然这个乘法呢也可以如法炮制。
x×0就等于0,规定它就等于0
那么x×y'就是一个y的后继的话,那么就等于x×y
再加上x,这个乘法就基于加法来进行定义了
比如说这个例子,3×2它就等于(3×1)+3 然后3×1呢又等于(3×0)+3,那么
3×0等于0,然后0+3就等于(0+2)'
然后((0+1)')',然后这样呢就变成了0+0。
0+0呢等于0 0'是1,1'是2,2'是3,然后最后变成3+3。
3+3呢再根据加法的 的定义,最后呢终于我们得到了6
这样就完成了自然数的定义 以及顺带地我们把自然数的这个运算:加法、
乘法 也定义出来了