[音乐] 嗨,你好,欢迎回来,我们现在接下来呢,我们来看看 有序组,有序组,那么我们说这个元素的这个无序性, 是集合的特征之一,也就是集合呢它只管这个 元素是否相同而不管它排列的次序, 那么我们需要这个元素有序的时候 这个有序的组合它能够怎么来呢,他难道能够可以从 无需的这种集合当中定义出来呢 那我们来看看这个二元有序组, 二元有序组或者叫做二元组,或者呢也叫作序偶, 那么他可以这么定义,假设呢A、 B是任意的对象 我们就把这样的一个集合族,这个集合族呢是一个由两个元素构成,当然两个元素都是集合 第一个呢是单元集A,第二个呢是有两个单元集合元素的A、 B, 有这两个集合所构成的集合族我们就把它称之为 二元有序组,然后简记呢<a,b>,因为我们不能再用 集合这个花括号了,我们用<a,b>来简记这个二元组 同时呢我们把二元组里头的这个a 左边的这个a称作第一分量, 右边的b称之为第二分量,那么 这么定义了以后,那到底怎么叫做有序呢,我们先来看看一个定理, 这个定理是说对于任何的二元组<a,b> 第一个二元组,第二个二元组,<c,d>来说 那么<a,b>=<c,d>,这两个二元组相等, 适当且仅当a=c而且呢b=d是这么一个定理, 好我们来证明一下,首先呢充分性是非常显然了 如果你a=c,b=d第一第二定量分别相等的话,那很显然 这两个二元组呢就是同一个二元组,我们先来看 必要性,就是假设当<a,b>=<c,d>的时候 那么也就是说我们把它还原成定义 定义呢就是{(a),(a,b)}这么一个集合族,和{(c),(c,d)}这么一- 个集合族 它们相等,我们知道集合族呢有两个 运算,特征的运算,一个呢是管易交,一个是管易并, 我们先呢对等式两边的这个集合族先做一便管易并, 会看他会怎么样,管易并的结果呢就是 {a.b}={c,d}这是两个 有两个对象的这种集合相等,当然它说明不了什么问题 接下来呢我们用管易交,对这等式两边的集合族进行操作, 那这样管易交做了以后呢,我们发现他就剩下是{a}={c},是吧,{a}={c} 那么对这两个单元集相等,那当然这个 集合里头只包含有一个元素的话,那我们可以十分肯定的说 那么就是{a}={c},那么既然{a}={c},那么再回到刚才那个{a,b}={c- ,d}, 那么既然{a}={c}了,那显然{b}={d}这样呢我们就证明了这个必要性, 所以呢这个定理就是说,两个二元组它什么时候相等 以及他会相等会意味这什么,对吧,就是第一第二分量 分别相等,他们就会相等,而且如果说它们相等的话,那么第一第二分量 也会分别的相等,所以我们就引出了这个有序的含义 那么有序也就是说,第一第二分量它们是不能够颠倒的,不能颠倒,也就是说a≠b的时候 那么<a,b>≠<b,a>的,你如果把他的顺序调整了一下, 把第一分量放到第二分量或者反之的话,那么 他就会出问题,他们是不会是同一个二元组, 那,当然也是集合的话他并不不存在这样的问题, 说以我们就引出了一个有序的一种结构,有序的结构 那么这个有序的结构呢,它实际上是通过一个巧妙的定义, 这个定义呢是把a作为一个单元集,然后a,b呢作为一个 双元集,就两个对象的集合,然后再把这两个集合呢构成一个集合族 这么巧妙的这么一个结构,来造出来这么一个有序的, 那么它利用了元素和集合这两个不同层次的 这么一个概念,来实现了这两个对象a,b的一个 有序的排列,当然我们 我们可以把这个二元组一直扩展到N元组, N是一个自然数,那么N元有序组就称之为N元组了, 那么他也用尖括号来定义,可以是a1,a2,a3一直到an, 对吧,那么我们不需要再引入新的这个 技巧,新的结构的情况下,我们实际上可以用递归定义, 来定义这个N元组,那当a=2的时候呢,那么他就是二元组,a1,a2呢 这个二元组,就等于说a1这个单元集,a1,a2这个双元集所构成的一个集合 集合族,就这么定义,当n大于2的时候,实际上我们可以用一个递归 就是a1到an这么一个n元族定义为一个二元组 那么二元组的第一分量呢是a1到 an-1的这么一个n-1元族,然后第二个分量是an, 那当然依据这个递归定义,如果说这个n-1 他刚好等于2的话,就还回到这个二元组,它是一个嵌套的二元组 如果n-1还大于2,他还会一步步的嵌套下去,一直到 二元组,对吧,所以说我们这个时候呢有了二n元组之后, 我们就把这个ai,第i个就称之为n元组的 第i分量,第i分量,那么 n元组它显然也是有序的,那么跟二元组一样, 那么这有一个定理,对于任意的n元组来说 a1,a2一直到an,然后b1,b2一直到bn,它们相等就当且仅当式, 他的每一个对应的分量 两两相等,是吧,就是a1=b1、 a2=b2、 ai=bi、 an=bn, 这就是n元组他的定义