В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера-Лагранжа
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
10 calificaciones
De la lección
Основные теоремы динамики
Conoce a los instructores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
И давайте закончим наш разговор об основных теоремах динамики в
дифференциальной форме следующим утверждением,
даже не утверждением, а давайте назовём это
так: общее уравнение динамики системы связанных материальных точек.
Общее
уравнение динамики
системы связанных материальных точек.
Я поясню, о чём речь.
Давайте будем говорить, что у нас есть некоторая система материальных точек,
их n штук, и, допустим, на их движение, на их перемещение,
может быть, на их скорости наложены какие-то ограничения,
которые математически могут быть выражены следующими
соотношениями: некий набор Fi от времени и,
соответственно, радиус-векторов rn
системы точек = 0.
i = 1, ..., n,
где n не должно превосходить 3 * N,
где N — это количество точек в системе.
Вот такое может быть ограничение, или различают ограничение другого вида,
куда входят ещё скорости.
Fi (t, r1, ...,
rn и ещё скорости r1 с точкой, ..., rn с точкой) = 0.
Либо такие ограничения, тоже их может быть не больше,
чем 3 умножить на количество точек.
Такое ограничение сверху на число связей — мы будем называть такие ограничения
«связями», записанные в такой форме, — такое ограничение на количество связей,
наложенных на систему материальных точек, говорит о том,
что у одной точки три степени свободы,
то есть тремя координатами выражается её положение в пространстве.
Если мы на каждую точку наложим по три ограничения,
то они не смогут просто перемещаться.
Они будут полностью зажаты вот этими формулами,
и никакой динамики мы не увидим.
Поэтому пусть они будут связаны, но не до конца, не все,
чтобы как-то они могли двигаться и дышать.
Так вот, значит, такие связи у нас называются голономными — те,
в которые не входят скорости.
Связи, в которые скорости входят, называются кинематическими.
Давайте я отмечу.
Голономные и кинематические связи.
[БЕЗ СЛОВ] В
качестве примера можно привести что?
Допустим, у нас есть точка, которая может перемещаться по плоскости xy.
Вот есть трёхмерное пространство xyz,
а задача у нас поставлена таким образом, что точка не покидает плоскости xy.
И тогда уравнение связи математически запишется как z = 0, одна точка.
Если бы было несколько, можно было бы написать z1.
Вот типичное уравнение связи, которое нам можем встретиться в задачах.
Можно разные ограничения придумывать.
Вот самая простая голономная связь, которая в голову пришла, выглядит вот так.
По поводу кинематических связей: но тут написана вообще произвольная функция
от скоростей, но, на самом деле, в начале XX ещё века было показано,
что имеют смысл только ограничения, линейно зависящие от скоростей.
Поэтому когда мы их дифференцировать начнём, тут будут вылезать некие
постоянные коэффициенты или коэффициенты, зависящие от времени,
а скорости будут уходить при взятии производных по r с точкой.
Итак, вот мы ввели понятие связей, и дальше мы говорим следующее: связи
у нас в любой момент времени тождественно выполняются при любом движении системы.
Вот это ограничения, которые на точки наложены.
Идём дальше.
Для того чтобы эти связи реализовывать,
фактически приходится вводить некие силы, действующие на эти точки.
То есть, если мы будем писать второй закон Ньютона для каждой точки,
мы напишем: масса k-той точки * ускорение
k-той точки = сила, приложенная к k-той точке,
главный вектор системы сил, приложенной к точке, + Rk.
Вот Rk — это те силы, которые обеспечивают выполнение вот этих ограничений,
их называют обычно реакцией связей.
Fk — активные силы.
[БЕЗ СЛОВ] Rk
— реакции связей.
Дальше давайте введём ещё одно понятие.
Давайте обозначим такую вещь, как виртуальное перемещение системы.
Виртуальное перемещение.
Виртуальным перемещением мы
будем называть перемещение точек, которое удовлетворяет
линеаризованным в некоторый конкретный момент времени уравнениям связей,
голономных или кинематических, смотря какие в системе есть.
Итак, виртуальное перемещение фиксируется в момент времени так,
что здесь t считается постоянной, и пишется дифференциал фактически.
То есть виртуальное перемещение — это перемещение системы,
удовлетворяющее следующему соотношению:
dFi по dri-тое, опять же, по drk-тое,
давайте, * δrk,
здесь вектор, = 0 в случае, если связи — голономные.
И такая же сумма
dFi по drk с точкой
на δrk
= 0 в случае, если связи — кинематические.
Ввели виртуальное перемещение.
Давайте я оговорюсь, что ещё различают перемещение в литературе,
кроме виртуальных, действительные и возможные.
Действительные — это те, которые удовлетворяют и уравнениям движения,
и уравнениям связи.
Возможные — это те, которые удовлетворяют соотношениям вида:
вот если к каждому r или r с точкой здесь добавить ещё дифференциал: r1 + δr1,
r2 + δr2, ..., и здесь ко всем r1, r1 с точкой тоже добавить дифференциалы, = 0.
Вот такое соотношение выделяет у нас возможные перемещения.
Но мы сейчас ни действительные, ни возможные перемещения не рассматриваем,
поэтому я просто говорю, что в литературе они есть, это другие перемещения, не те,
которые введены нами, виртуальные.
Мы о них поговорим позже, когда будем аналитической механикой заниматься.
А пока есть виртуальные перемещения, и мы говорим: давайте ещё одно определение
дадим прежде, чем написать общее уравнение динамики,
и это будет определение идеальных связей.
Идеальные связи.
Связь у нас будет считаться идеальной,
если работа сил реакции на любом виртуальном перемещении,
работа сил реакции этой связи на любом виртуальном перемещении равна 0.
И мы будем говорить, что система имеет идеальные связи все,
если суммарная работа всех сил реакций
на виртуальном перемещении есть 0.
И тогда давайте смотреть, что у нас получается.
Если мы из ранее написанного второго закона Ньютона эти Rk (силы реакции
связей) выразим и сюда подставим, то мы получим уравнение следующее.
Значит, что у нас получается?
Rk — это масса *
ускорение − Fk,
подставляем в определение идеальных
связей и получаем следующее соотношение: ∑ по
k (масса * ускорение
− Fk) *
δrk = 0.
Собственно, вот это соотношение и принято называть...
F тоже на вектор, и принято называть общим уравнением динамики системы связанных
материальных точек.
Итак, написанное уравнение, собственно,
и называется общим уравнением динамики системы связанных материальных точек,
и оно составляет суть так называемого принципа Даламбера-Лагранжа.
Принцип
Даламбера-Лагранжа.
Этот принцип формулируется так: для системы с идеальными
связями сумма сил инерции и активных сил,
точнее, суммарная работа сил
инерции и активных сил на любом виртуальном перемещении равна нулю.
Ну это можно как проинтерпретировать?
Например, у нас есть какое‐то твёрдое тело,
и мы переходим в систему координат, жёстко связанную с ним.
Понятно, что в этой системе тело не движется.
И понятно, что относительно какой‐то неподвижной системы оно может совершать
какое‐то движение.
Так вот, в системе, связанной с твёрдым телом, это движение,
оно представляется вот этими ускорениями, ну точнее, вот этим ускорением.
И это и есть в нашей терминологии «сила инерции».
То есть в системе, связанной с телом,
на него действуют активные силы и силы инерции.
Но в этой системе тело неподвижно, то есть здесь получается 0.
То есть мы фактически сводим задачу динамики к статической задаче.
Мы статикой с вами не занимались, но вы понимаете,
статика — это что‐то связанное с равновесиями.
И раз уж мы начали разговор о статике, то можно и обратно перекинуть мостик от
динамики, которой мы занимаемся, к задачам на равновесие.
Ну равновесием в механической системе принято называть что?
Некоторое её положение, такое, что, если систему привести в него с
нулевыми скоростями, то система останется в этом положении бесконечно долго.
Вот. То есть это набор координат всех точек
системы, радиус-векторов фактически, r1, ..., rn.
И вот от общего уравнения динамики можно перейти к тому,
что называется «принцип виртуальных перемещений».
Принцип виртуальных
перемещений.
Это такая содержательная теорема,
которая предлагает метод для исследования системы на положение равновесия.
Принцип формулируется практически так же, как принцип Даламбера‐Лагранжа.
Он утверждает что некоторое положение
является положением равновесия
[БЕЗ СЛОВ] тогда и только тогда,
когда суммарная работа всех активных сил Fk на
любых виртуальных перемещениях системы есть 0.
Да, это, естественно, опять же,
формулируется в предположении идеальности связей.
Ну вы видите, что отличие минимально.
Поскольку мы говорим о равновесии, то r с двумя точками должны быть равны 0.
Поэтому это ровно то, что остаётся от принципа Даламбера‐Лагранжа: равновесие
тогда и только тогда, когда суммарная работа всех активных сил равна 0.
И отсюда же, раз мы говорим о работе, мы можем сформулировать наверняка
известный вам критерий равновесия отдельно взятого твёрдого тела.
Мы с вами писали формулу, что работа системы сил, приложенной к твёрдому телу,
определяется главным вектором этой системы сил и главным моментом этой системы сил.
И таким образом, твёрдое тело находится в равновесии, если равен
нулю главный вектор и главный момент всех внешних сил, приложенных к твёрдому телу.
Известная теорема, она отсюда тоже достаётся.
Собственно, вот этими двумя инструментами мы в основном
статические задачи все и решаем.
Но мы сейчас не будем говорить о задачах статики,
а давайте ещё я вот какую вещь скажу.
Вот рядом с общим уравнением динамики обычно любят говорить о всяких
вариационных принципах механики, это очень интересная тема,
мы наверняка ей будем заниматься в курсе аналитической механики.
Но сейчас просто пару слов, раз уж мы в этом материале.
Вот, допустим, есть такой принцип Гаусса.
Принцип Гаусса,
он же принцип наименьшего принуждения.
Там делают вот что.
Говорят, давайте введём некоторую такую функцию A,
даже не функцию, а функционал.
Это будет 1/2 Σ
1/mk * (mk * Wk −
Fk)² Введём такой вот функционал.
И принцип Гаусса — это теорема, которая говорит о том,
что истинные движения системы, оказывается, минимизируют этот функционал.
Это обычно называют «принуждение».
Ну силы и ускорение...
Вот это мера принуждения системы, на которую наложены связи.
И можно доказать, что истинное движение системы соответствует минимуму вот такого
функционала.
То есть это отвечает на вопрос: зачем, вообще,
система движется в какой‐то метрике.
Вот Гаусс говорит: система движется, чтобы минимизировать вот такой вот функционал.
Вообще вариационные принципы, они устроены так, что люди
придумывают некоторую метрику и некоторый функционал, соответствующий этой метрике,
который отвечает на вопрос «зачем?», «в чём смысл движения системы?».
Вот есть такой известный принцип наименьшего действия.
Там тоже введено понятие «действие по Гамильтону», и теорема утверждает,
что на истинном движении системы вот это действие по Гамильтону получает минимум.
То есть зачем двигаются системы?
Чтобы минимизировать некоторый функционал.
Вот у них такой смысл жизни.
Смысл их движения в том, чтобы минимизировать ту или иную функцию.
Этих вариационных принципов достаточно много появилось в тот момент, когда люди
пытались отвечать на вопрос «зачем, почему, в чём смысл движения системы?».
Не как мы математически ввели аксиомы и говорим: «Вот есть ускорение,
потому что есть силы».
На таком абстрактном уровне.
А там была мысль в том, чтобы угадать ну что‐то вроде Божьего замысла относительно
движения механических систем.
То есть как всё устроено, вот как Демиург сотворил этот мир,
почему системы движутся именно по таким законам.
Вот потому что, оказывается, мы можем угадать такую функцию,
или такой функционал, который минимизирует системы.
Ну об этом мы подробнее поговорим в курсе аналитической механики,
а сейчас мы вам покажем пример,
как вот общее уравнение динамики помогает решать динамические задачи.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
