В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчёта
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
10 calificaciones
Explore Related Videos
At Coursera, you will find the best lectures in the world. Here are some of our personalized recommendations for you
De la lección
Основные теоремы динамики
Conoce a los instructores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
В продолжение разговора об основных теоремах динамики
давайте вот что вспомним.
У нас же, кроме инерциальных систем отсчета,
которые нам аксиоматически заданы, что существуют, есть и другие системы отсчета.
Ну вот, например, что у нас может происходить?
Вот есть некоторая инерциальная система отсчета xyz —
неподвижная прямоугольная декартова система координат, к которой мы привыкли.
И в ней двигается какая-то другая система отсчета x'y'z'.
И относительно этой системы отсчета совершает
движение какая-то материальная точка, ну пусть пока это будет материальная точка.
Что мы понимаем?
В этой системе отсчета движение этой точки каким-то образом видно,
задано и описывается соответствующим радиус-вектором.
Но оно может быть представлено как сложное движение.
Переносное движение, связанное с системой отсчета x'y'z',
относительное движение — движение этой точки относительно штрихованной системы
отсчета — в сумме у нас дают абсолютное движение, то есть движение этой точки,
пусть она будет M, в неподвижных осях.
Про сложное движение мы с вами говорили в кинематике,
и там его описанием относительно ускорений занималась формула Кориолиса.
Мы говорили, что ускорение точки M абсолютное
— это ускорение точки M переносное
+ ускорение точки M относительное +
ускорение точки M Кориолиса.
И теперь давайте представим,
что мы смотрим исключительно на относительное движение точки M,
ну то есть мы сами сидим вот в этой штрихованной системе отсчета, видим,
что движется точка M, и видим, что для нее не выполняется второй закон Ньютона.
Потому что по второму закону Ньютона точка должна двигаться как?
Масса * ее ускорение = сумма всех сил, на точку действующих.
Это верно для инерциальных систем отсчета,
а для неинерциальных — вот штрихованная у нас неинерциальная — неверно.
В ней мы видим относительное ускорение, и оно определяется так.
Ускорение относительное точки M в результате несложных
арифметических преобразований вот из первой формулы выражается через
все остальное следующим образом: абсолютное ускорение минус
переносное ускорение минус ускорение Кориолиса.
И теперь если мы это умножим на массу точки — ну,
все ускорения умножатся на массу,
— то масса умножить на ускорение абсолютное в силу второго закона Ньютона
действительно будет равняться сумме всех сил, действующих на точку.
Но будут же еще два слагаемых, вот это и вот это, которые не нули.
И таким образом, относительное ускорение не определяется только лишь силами,
действующими на точку, но определяется и движением той системы отсчета,
которая совершает переносное движение.
И это необходимо учитывать, когда мы записываем
основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.
Вот такой заголовок я и напишу: «Основные
[ШУМ] теоремы
динамики в неинерциальных системах отсчета».
[ШУМ]
[ШУМ] Итак,
теорема об изменении импульса, или мы ее
назвали «теорема об изменении количества движения» — давайте так же и оставим.
Теорема об изменении количества движения.
[ШУМ] d /
dt от Q относительное.
И количество движения относительно штрихованной системы отсчета,
неинерциальной, изменяется, потому что на систему действуют
внешние силы — R с индексом e,
— плюс на систему действуют так называемые переносные силы инерции,
плюс на систему действуют так
называемые силы инерции Кориолиса.
Ну и все.
Смотрите, откуда это берется.
Вот я сейчас ровно под этой формулой напишу то,
что написали для ускорения, но умноженное на массу.
Масса * ускорение точки i-той какой-то
в относительном движении = масса *
ускорение абсолютное − масса
* ускорение переносное − масса * ускорение Кориолиса.
Понятно, что если я вот это вот нижнее выражение просуммирую по всем точкам
системы, я получу ровно то, что у меня написано наверху.
Таким образом, изменение количества движения относительно
неинерциальной системы отсчета — это сумма главного вектора внешних сил,
действующих на систему, так называемого главного вектора переносных сил инерции.
Это по определению
−Σ mi * Wi
переносное — масса и ускорение, переносное ускорение всех точек системы.
И главный вектор кориолисовых сил инерции.
То же самое: −Σ mi
* Wi Кориолиса.
Вот так они определяются.
Можно достаточно просто показать, что вычисляются эти главные векторы переносных
и кориолисовых сил инерции через соответствующие ускорения центра масс.
В самом деле, давайте посмотрим: вот главный вектор переносных сил инерции,
повторяю определение — масса * переносное ускорение i-той точки.
И теперь для твердого тела,
если речь идет о твердом теле, мы ускорение расписываем по формуле Ривальса.
Масса, ускорение — давайте полюс возьмем в центре масс —
+ ε * rci
+ ω * ω * rci.
Угловая скорость и угловое ускорение здесь для переносного движения.
rci — это радиус-вектор из центра масс к i-той точки.
И смотрите, сюда и сюда rci входит линейно,
ω * ω и ε за сумму выносятся,
поэтому по определению центра масс вот эти два слагаемые просто возьмут и пропадут.
И останется у нас − масса
суммарная тела * ускорение переносное центра масс.
Да, здесь оно тоже, естественно, переносное.
И то же самое с главным вектором
кориолисовых сил инерции: −
сумма масса i-той
точки * ускорение Кориолиса i-той точки.
Вспоминаем, что такое ускорение Кориолиса: − сумма
mi (2 * ω переносное
* vi относительное).
Так, вектор и вектор.
Давайте смотреть, чем нам эта сумма грозит.
2 и ω переносное, естественно, как константы уходят за знак суммы,
и остается сумма mi, vi относительное.
И это все, конечно же, суммируется как
−2ω переносное
* относительная скорость центра масс,
ну и еще масса, естественно.
То есть тоже − масса * ускорение центра масс, ускорение Кориолиса центра масс.
Итак, эти главные векторы у нас благополучно пересчитываются
с помощью ускорений центра масс.
Это мы поговорили про теорему об изменении количества движения.
Давайте теперь оставшиеся две теоремы тоже сформулируем относительно
неинерциальных систем отсчета.
Теорема об
изменении момента
количества движения.
[ШУМ] Ровно
те же самые соображения приведут нас к вот такой
вот формуле: момент количества движения относительно некоторого полюса A,
причем относительный, то есть относительно неинерциальной системы отсчета,
изменяется, потому что есть момент внешних сил,
главный момент внешних сил относительно полюса A,
+ момент переносных сил инерции,
главный момент переносных сил инерции относительно полюса A,
+ главный момент кориолисовых сил инерции
относительно полюса A + и плюс то самое слагаемое,
которое у нас из-за дифференцирования здесь живет
— m VC относительное * VA относительное.
Доказательство я приводить здесь не буду, потому что оно из
аналогичных соображений получается, но отмечу, что вот главный момент переносных
и кориолисовых сил инерции — это по определению вот такие суммы.
Для переносных сил:
−ΣrAi * mi * wi переносное.
И главный момент кориолисовых сил инерции:
тоже −Σ rAi
* mi * wi Кориолиса.
Заметьте, вот эти два главных момента, к сожалению, не сводятся к центру
масс никогда, то есть это всегда сумма или в непрерывном случае всегда интеграл.
Для того чтобы посчитать главный момент сил инерции Кориолиса или переносных
сил всегда нужно интегрировать ну или суммировать, если точек конечное число.
И последняя теорема — теорема
об изменении кинетической энергии.
[ШУМ] Кинетическая
энергия у нас меняется почему?
Потому что — относительная опять же,
— потому что совершают работу внешние силы,
совершают работу внутренние силы и плюс
совершают работу переносные силы инерции.
А вот силы инерции Кориолиса работы не совершают,
потому что если вдуматься, то что там происходит?
Нужно рассматривать относительное перемещение точек системы, вот.
А силы Кориолиса — векторное произведение ω * V,
ω переносное * V относительное,
вот, — вот эта сила направлена как-то вдоль этого вектора,
это всегда ортогонально dr относительная.
Ну dr относительная вдоль скорости,
а здесь векторное произведение, поэтому работы сил Кориолиса в этой теореме нет,
значит, только работы переносных сил инерции.
И все работы эти, заметьте — на относительных перемещениях точек системы.
Вот так мы должны будем учитывать то, что у нас система отчета неинерциальна,
если мы работаем в неинерциальной системе отсчета с основными теоремами.
Ну а теперь давайте посмотрим на примеры.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
