В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчёта
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
9 calificaciones
De la lección
Основные теоремы динамики
Conoce a los instructores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
В продолжение разговора об основных теоремах динамики
давайте вот что вспомним.
У нас же, кроме инерциальных систем отсчета,
которые нам аксиоматически заданы, что существуют, есть и другие системы отсчета.
Ну вот, например, что у нас может происходить?
Вот есть некоторая инерциальная система отсчета xyz —
неподвижная прямоугольная декартова система координат, к которой мы привыкли.
И в ней двигается какая-то другая система отсчета x'y'z'.
И относительно этой системы отсчета совершает
движение какая-то материальная точка, ну пусть пока это будет материальная точка.
Что мы понимаем?
В этой системе отсчета движение этой точки каким-то образом видно,
задано и описывается соответствующим радиус-вектором.
Но оно может быть представлено как сложное движение.
Переносное движение, связанное с системой отсчета x'y'z',
относительное движение — движение этой точки относительно штрихованной системы
отсчета — в сумме у нас дают абсолютное движение, то есть движение этой точки,
пусть она будет M, в неподвижных осях.
Про сложное движение мы с вами говорили в кинематике,
и там его описанием относительно ускорений занималась формула Кориолиса.
Мы говорили, что ускорение точки M абсолютное
— это ускорение точки M переносное
+ ускорение точки M относительное +
ускорение точки M Кориолиса.
И теперь давайте представим,
что мы смотрим исключительно на относительное движение точки M,
ну то есть мы сами сидим вот в этой штрихованной системе отсчета, видим,
что движется точка M, и видим, что для нее не выполняется второй закон Ньютона.
Потому что по второму закону Ньютона точка должна двигаться как?
Масса * ее ускорение = сумма всех сил, на точку действующих.
Это верно для инерциальных систем отсчета,
а для неинерциальных — вот штрихованная у нас неинерциальная — неверно.
В ней мы видим относительное ускорение, и оно определяется так.
Ускорение относительное точки M в результате несложных
арифметических преобразований вот из первой формулы выражается через
все остальное следующим образом: абсолютное ускорение минус
переносное ускорение минус ускорение Кориолиса.
И теперь если мы это умножим на массу точки — ну,
все ускорения умножатся на массу,
— то масса умножить на ускорение абсолютное в силу второго закона Ньютона
действительно будет равняться сумме всех сил, действующих на точку.
Но будут же еще два слагаемых, вот это и вот это, которые не нули.
И таким образом, относительное ускорение не определяется только лишь силами,
действующими на точку, но определяется и движением той системы отсчета,
которая совершает переносное движение.
И это необходимо учитывать, когда мы записываем
основные теоремы динамики в неинерциальных системах отсчета.
Вот такой заголовок я и напишу: «Основные
[ШУМ] теоремы
динамики в неинерциальных системах отсчета».
[ШУМ]
[ШУМ] Итак,
теорема об изменении импульса, или мы ее
назвали «теорема об изменении количества движения» — давайте так же и оставим.
Теорема об изменении количества движения.
[ШУМ] d /
dt от Q относительное.
И количество движения относительно штрихованной системы отсчета,
неинерциальной, изменяется, потому что на систему действуют
внешние силы — R с индексом e,
— плюс на систему действуют так называемые переносные силы инерции,
плюс на систему действуют так
называемые силы инерции Кориолиса.
Ну и все.
Смотрите, откуда это берется.
Вот я сейчас ровно под этой формулой напишу то,
что написали для ускорения, но умноженное на массу.
Масса * ускорение точки i-той какой-то
в относительном движении = масса *
ускорение абсолютное − масса
* ускорение переносное − масса * ускорение Кориолиса.
Понятно, что если я вот это вот нижнее выражение просуммирую по всем точкам
системы, я получу ровно то, что у меня написано наверху.
Таким образом, изменение количества движения относительно
неинерциальной системы отсчета — это сумма главного вектора внешних сил,
действующих на систему, так называемого главного вектора переносных сил инерции.
Это по определению
−Σ mi * Wi
переносное — масса и ускорение, переносное ускорение всех точек системы.
И главный вектор кориолисовых сил инерции.
То же самое: −Σ mi
* Wi Кориолиса.
Вот так они определяются.
Можно достаточно просто показать, что вычисляются эти главные векторы переносных
и кориолисовых сил инерции через соответствующие ускорения центра масс.
В самом деле, давайте посмотрим: вот главный вектор переносных сил инерции,
повторяю определение — масса * переносное ускорение i-той точки.
И теперь для твердого тела,
если речь идет о твердом теле, мы ускорение расписываем по формуле Ривальса.
Масса, ускорение — давайте полюс возьмем в центре масс —
+ ε * rci
+ ω * ω * rci.
Угловая скорость и угловое ускорение здесь для переносного движения.
rci — это радиус-вектор из центра масс к i-той точки.
И смотрите, сюда и сюда rci входит линейно,
ω * ω и ε за сумму выносятся,
поэтому по определению центра масс вот эти два слагаемые просто возьмут и пропадут.
И останется у нас − масса
суммарная тела * ускорение переносное центра масс.
Да, здесь оно тоже, естественно, переносное.
И то же самое с главным вектором
кориолисовых сил инерции: −
сумма масса i-той
точки * ускорение Кориолиса i-той точки.
Вспоминаем, что такое ускорение Кориолиса: − сумма
mi (2 * ω переносное
* vi относительное).
Так, вектор и вектор.
Давайте смотреть, чем нам эта сумма грозит.
2 и ω переносное, естественно, как константы уходят за знак суммы,
и остается сумма mi, vi относительное.
И это все, конечно же, суммируется как
−2ω переносное
* относительная скорость центра масс,
ну и еще масса, естественно.
То есть тоже − масса * ускорение центра масс, ускорение Кориолиса центра масс.
Итак, эти главные векторы у нас благополучно пересчитываются
с помощью ускорений центра масс.
Это мы поговорили про теорему об изменении количества движения.
Давайте теперь оставшиеся две теоремы тоже сформулируем относительно
неинерциальных систем отсчета.
Теорема об
изменении момента
количества движения.
[ШУМ] Ровно
те же самые соображения приведут нас к вот такой
вот формуле: момент количества движения относительно некоторого полюса A,
причем относительный, то есть относительно неинерциальной системы отсчета,
изменяется, потому что есть момент внешних сил,
главный момент внешних сил относительно полюса A,
+ момент переносных сил инерции,
главный момент переносных сил инерции относительно полюса A,
+ главный момент кориолисовых сил инерции
относительно полюса A + и плюс то самое слагаемое,
которое у нас из-за дифференцирования здесь живет
— m VC относительное * VA относительное.
Доказательство я приводить здесь не буду, потому что оно из
аналогичных соображений получается, но отмечу, что вот главный момент переносных
и кориолисовых сил инерции — это по определению вот такие суммы.
Для переносных сил:
−ΣrAi * mi * wi переносное.
И главный момент кориолисовых сил инерции:
тоже −Σ rAi
* mi * wi Кориолиса.
Заметьте, вот эти два главных момента, к сожалению, не сводятся к центру
масс никогда, то есть это всегда сумма или в непрерывном случае всегда интеграл.
Для того чтобы посчитать главный момент сил инерции Кориолиса или переносных
сил всегда нужно интегрировать ну или суммировать, если точек конечное число.
И последняя теорема — теорема
об изменении кинетической энергии.
[ШУМ] Кинетическая
энергия у нас меняется почему?
Потому что — относительная опять же,
— потому что совершают работу внешние силы,
совершают работу внутренние силы и плюс
совершают работу переносные силы инерции.
А вот силы инерции Кориолиса работы не совершают,
потому что если вдуматься, то что там происходит?
Нужно рассматривать относительное перемещение точек системы, вот.
А силы Кориолиса — векторное произведение ω * V,
ω переносное * V относительное,
вот, — вот эта сила направлена как-то вдоль этого вектора,
это всегда ортогонально dr относительная.
Ну dr относительная вдоль скорости,
а здесь векторное произведение, поэтому работы сил Кориолиса в этой теореме нет,
значит, только работы переносных сил инерции.
И все работы эти, заметьте — на относительных перемещениях точек системы.
Вот так мы должны будем учитывать то, что у нас система отчета неинерциальна,
если мы работаем в неинерциальной системе отсчета с основными теоремами.
Ну а теперь давайте посмотрим на примеры.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
