В курсе рассматриваются: кинематика точки и твёрдого тела (причём с разных точек зрения предлагается рассмотреть проблему ориентации твердого тела), классические задачи динамики механических систем и динамики твердого тела, элементы небесной механики, движение систем переменного состава, теория удара, дифференциальные уравнения аналитической динамики. В курсе представлены все традиционные разделы теоретической механики, однако особое внимание уделено рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики подробно вводятся необходимые для раздела динамики понятия и математический аппарат.
Задача о приведении к равнодействующей плоской системы переносных и кориолисовых сил инерции
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Динамика
9 calificaciones
De la lección
Основные теоремы динамики
Conoce a los instructores
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
кафедра теоретической механики МФТИ
На примере следующей задачи давайте покажем,
что системы сил инерции в плоском случае сводятся к равнодействующей.
Задача следующая.
Есть плоскость, которая вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω.
Ось перпендикулярна плоскости.
В этой плоскости движется плоская фигура, центр масс которой не
совпадает с неподвижной точкой O, находится на расстоянии A от него.
Масса этой фигуры известна.
Давайте покажем, что система сил инерции сводится к равнодействующей, и найдем
линию, расстояние этой линии приложения равнодействующих сил к переносным.
Решать будем следующим образом.
Давайте начнем с момента кориолисовых сил.
Момент кориолисовых сил относительно центра масс фигуры
вычисляется по формуле: сумма по всем точкам в системе,
расстояние от центра масс до этой точки
умножить на кориолисово ускорение и на массу i-той точки.
При этом не забываем знак минус,
так как сила кориолисова равна минус масса i-тая на ускорение кориолисово.
Теперь, вспомним, что кориолисово ускорение этой точки вычисляется по
формуле: 2 векторных произведения,
переносная угловая скорость, которая в данном случае равна ω заданной,
умножить на относительную скорость i-той точки.
Подставим это в формулу для момента и получим.
2 вынесем за знак суммы,
−2 радиус-вектора от c до i векторно
умножить на массу i-тую * угловую скорость
переносную и умножить на скорость i-той точки относительную.
Это двойное векторное произведение можно раскрыть по формуле «БАЦ минус ЦАП»,
тогда мы получим две следующие суммы.
−2 ∑ угловая скорость переносная умножить на скалярное
произведение масса i-тая rci-тое и скорость
i-тая относительная −
∑ скорость i-тая относительная
умножить на скалярное произведение масса i-тая
rci-тое на угловую скорость
переносную.
Теперь, второе
слагаемое равно 0, так как у нас движение плоское,
значит, все радиус-векторы перпендикулярны угловой скорости.
Остается первое слагаемое.
Давайте в него подставим, что такое скорость i-той точки.
Скорость i-той точки относительная — это по формуле
Эйлера скорость центра масс относительная плюс угловая скорость
относительного движения умножить на радиус-вектор от точки c до точки i.
Подставим это вместо скорости i-той точки и
получим следующую сумму.
Угловая скорость переносного движения все
так же перед скалярным произведением.
Дальше.
Масса i-тая * rci-тое умножить скалярно
на скорость центра масс относительную — это первая сумма.
Вторая сумма — добавляем второе слагаемое для скорости точки i относительной,
то есть угловая скорость переносная умножить на масса i-тая
rci-тое умножить
на угловую скорость относительную умножить на rci-тое.
Теперь.
Заметим.
Первое слагаемое, ω переносная
и скорость центра масс относительная выносится за знак суммы, под знаком суммы
у нас остается определение радиус-вектора центра масс, относительно центра масс.
То есть первая сумма — это 0.
Вторая сумма.
Наблюдаем, что векторное произведение угловой скорости
относительного движения на rci-тое перпендикулярно rci-тое,
поэтому скалярное произведение rci-тое на это векторное произведение также дает 0.
Поэтому получаем, что момент кориолисовых сил равен 0 относительно центра масс.
Что мы получили?
Что момент кориолисовых сил относительно центра масс равен 0,
при этом это общий случай для плоскопараллельного движения.
Мы получили этот факт, не пользуясь никакими дополнительными свойствами.
Мы не знаем, ни как движется точка c, не знаем геометрии плоского тела.
Кроме того, если мы посчитаем главный вектор кориолисовых сил,
то он будет не равен 0, а так как момент равен 0, то это означает то, что линия
действия равнодействующей кориолисовых сил проходит через центр масс.
Теперь давайте вычислим момент переносных сил относительно центра масс.
Мы могли бы сделать это точно так же, просуммировав по всем точкам в твердом
теле, но давайте воспользуемся, например, теоремой об изменении момента импульса.
Теорема об изменении момента импульса в подвижной системе отсчета
относительно центра масс говорит, что момент импульса изменяется за счет чего?
За счет момента внешних сил относительно центра масс плюс момента
сил переносных относительно центра масс плюс момента
сил кориолисовых относительно центра масс и плюс слагаемое,
масса на векторное произведение скорости центра масс на скорость центра масс,
он будет равен 0, поэтому остается только такая сумма.
Теперь, мы уж доказали,
что момент кориолисовых сил относительно центра масс равен 0.
Теперь, движение у нас плоское,
поэтому момент импульса относительно центра масс может быть вычислен по
формуле: момент инерции относительно центра масс умножить на
угловую скорость абсолютную минус угловую скорость переносную.
При этом опять же за счет того, что движение у нас плоское,
производная от момента импульса относительно центра масс
будет равна: момент инерции для тела относительно оси,
проходящей через центр масс, умножить на угловое ускорение
абсолютное, минус момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс, на угловое ускорение переносное.
Теперь.
Что мы знаем?
Мы знаем, что если бы мы применяли теорему для абсолютного движения,
теорему об изменении момента импульса, то изменение момента импульса абсолютное
было бы равно моменту внешних сил относительно центра масс.
Кроме того, мы знаем,
что это равно: момент инерции относительно центра масс для оси умножить на ε абсолют.
С учетом этих двух фактов получаем,
что момент относительно центра масс сил
переносных равен минус момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости картинки,
умножить на ускорение угловое переносного движения.
Далее.
Что мы еще знаем?
Чтобы найти равнодействующую, нам необходимо еще вычислить главный вектор,
чтобы вычислить линию действия равнодействующей.
Главный вектор переносных сил равен: минус
масса всего тела на ускорение переносное, посчитанное для центра масс.
Мы можем
вычислить ускорение переносное центра масс, пользуясь точкой O, как полюсом.
Тогда мы получим, что сила переносная,
главный вектор сил переносных — это масса на угловое ускорение
переносное векторно умножить на радиус-вектор от r,
от точки O до точки C и добавить массу на угловую скорость
переносную в квадрате на радиус вектор от точки O до точки C.
Заметим, что эти две компоненты друг другу перпендикулярны.
Поэтому модуль главного вектора =
√ (масса² ε² a²,
где a — это расстояние от точки O до точки C,
+ масса² * угловую
скорость в четвертой степени * a²).
Можем вынести массу и расстояние a за корень,
и под знаком корня останется ε² + ω в четвертой.
Теперь, чтобы найти расстояние
от центра масс до линии действия равнодействующей,
нам необходимо поделить модуль момента относительно центра масс на
модуль силы главного вектора.
Модуль момента равен: момент инерции относительно центра
масс умножить на угловое ускорение,
разделить масса на расстояние на корень
квадратный из ε² + ω в четвертой.
Что у нас получается?
Получается, что мы в этом пункте нашли момент
переносных сил относительно центра масс.
Почему он сводится к равнодействующей?
Потому что все силы переносные лежат в плоскости… В подвижной плоскости,
все плечи лежат также в подвижной плоскости, значит,
все моменты переносных сил перпендикулярны этой плоскости, а значит,
скалярное произведение момента переносных сил на силу переносную равно 0,
а значит, что система сил сводится к равнодействующей.
Что мы нашли?
Мы нашли момент этой силы, момент системы сил переносных,
нашли главный вектор и нашли плечо до линии действия от центра масс.
Таким образом, задача решена, спасибо за внимание.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
