Одним из
частых преобразований при построении модели является логарифмирование.
Иногда логарифмируют объясняющую переменную,
иногда логарифмируют зависимую переменную y.
Соответственно, возникает, в принципе, четыре группы моделей.
Две самые популярные, это когда либо ни то, ни то не логарифмируют,
то есть y_i = β₁ + β₂ x_i + ε_i.
Второй популярный вариант — это когда обе переменных очень часто так поступают,
когда обе переменных принимают только положительные значения,
обе их логарифмируют.
Соответственно, логарифм y считают,
что он линейно зависит β₁ + β₂ ln (x_i) + ε_i.
Ну, и бывают смешанные модели, когда скажем,
у логарифмируют или наоборот, х логарифмируют, а у не логарифмируют.
Сейчас мы разберемся,
как правильно интерпретировать коэффициент β₂ в каждой из этих четырех моделей.
Рассмотрим четыре варианта комбинации нелогарифмированной
переменной и логарифмированной переменной.
Первый вариант самый простой y_i = β₁ + β₂ x_i + ε_i.
Второй вариант, когда обе переменные
с логарифмами: логарифм y_i = β₁ + β₂ ln (x_i) + ε_i.
И третий, четвертый вариант смешаны,
когда одна переменная логарифмирована, а регрессор нет.
Или наоборот, когда y_i нелогарифмировано,
а x_i логарифмировано.
Как интерпретируется коэффициент β₂ в каждом из этих четырех случаев.
Рассмотрим самый простой.
Первый совершенно очевиден, поскольку здесь производная
y_i по x_i в первом случае равна β₂,
то это означает, что при росте х
на единичку,
y растет на β₂.
Примерно естественно, потому что производная показывает мгновенный рост,
но поскольку у нас β₂ постоянна, то у нас такая зависимость есть всегда.
Приходим ко второй ситуации.
Здесь я могу сказать, что производная логарифма
y_i по логарифму x_i равна β₂.
Но с другой стороны,
по правилам дифференцирования: что такое дифференциал логарифма?
Это есть производная логарифма помножить на дифференциал y.
Соответственно, мы получим следующий результат,
что в числителе находится dy_i, деленное на y_i,
а в знаменателе находится dx_i, деленное на x_i.
И это есть не что иное, как β₂.
А эту величину можно тоже проинтепретировать.
Что такое примерно dy_i делить на y_i?
Это, примерно, изменение y, деленное на y_i.
Дельта — это изменение y_i, y_i — это сам y_i.
Соответственно, если взять эту величину, скажем,
помножить на 100, здесь написать 100 и здесь написать 100,
то получится, что эта величина — это изменение,
изменение y_i в процентах.
Дельта y было бы в абсолютных единицах,
но если изменение в абсолютных единицах поделить на саму величину,
то получится изменение в процентах, в долях, а еще на 100, то в процентах.
Соответственно, домножая просто так на 100 в
числителе и в знаменателе, мы можем сделать это совершенно бесплатно,
мы получаем следующую интерпретацию β₂ в модели с логарифмами.
β₂ показывает на
сколько процентов, на сколько
процентов изменится y при
росте x на 1 %.
Переходим к третьей модели.
В третьей модели интерпретация практически совершенно аналогичная.
Мы замечаем,что производная логарифма y по x равна β₂.
Пользуясь теми же правилами дифференцирования, получаем,
что dy, деленное на y_i, деленное на dx_i, равно β₂.
Домножим на 100, чтобы в числителе получить изменение в процентах,
тут знаменатель, к сожалению, в абсолютных единицах,
поэтому придется на 100 домножить β₂.
Получаем, что 100 помножить на dy_i, делить
на y_i, делить на dx_i равно 100 β₂.
Отсюда мы получаем следующую интерпретацию: в знаменателе у нас
изменение х в абсолютных единицах, а в числителе - изменение y в процентах.
Соответственно, если х меняется на одну единичку, то есть знаменатель
равен одному, тогда 100 β₂ как раз покажет изменение y в процентах.
Соответственно, мы получаем, что 100 β₂ это изменение,
изменение y в процентах при
росте x на единицу в абсолютном выражении.
И последняя четвертая модель.
Мы получаем,
что dy_i по dln x_i равно β₂.
Опять применяем правило дифференцирования, получаем,
что dy_i делить на dx_i, на x_i равняется β₂.
На этот раз мы поделим на 100, чтобы в знаменателе было изменение в процентах.
Получим, что dy_i равняется 100 dx_i,
деленное на x_i, и поскольку я 100 написал в знаменателе,
то это деление на 100 соответствует β₂, деленному на 100.
И получается, что если x поменялся на 1 %, тогда в знаменателе будет стоять единичка.
Таким образом, β₂ на 100 показывает примерно изменение,
изменение y в абсолютных единицах
при росте
x на 1 %.
И таким образом, мы получаем четыре разных интерпретации в зависимости от того,
логарифмируется у нас зависимая и объясняющая переменная или нет.
Итак, мы с вами выяснили, что в двух самых популярных версиях,
когда ни y, ни x не логарифмированы, β₂ интерпретируется следующим образом.
С ростом x на единицу, y растет на β₂ единиц.
В логарифмах интерпретация состоит,
что с ростом x на 1 %, y растет на β %.
В двух менее популярных полулогарифмических моделях интерпретация
следующая: если логарифм берется от y, то с ростом x на 1,
y растет на 100 помножить на β процентов,
и если логарифмирован только x, то с ростом x на 1 %,
y растет на 0.01 помножить на β₂ единиц.
