Давайте-ка мы с вами сейчас вот что сделаем.
Мы подробно рассматривали вот такую вот систему.
Значит, вот есть какой-то резистор.
Ну я последовательный колебательный контур здесь изображу.
Это вот R, вот здесь индуктивность L, вот конденсатор,
вот это вот входные клеммы, вот такая цепь.
Значит, давайте напишем R там, L и c,
и вот это был у нас вход, скажем, входные клеммы нашей схемы.
А вот это мы рассматривали, хотя это необязательно,
можно было и другую задачу поставить.
Но мы именно вот рассматривали напряжение на конденсаторе,
вот это был у нас выход, и на вход мы подавали какое-то
гармоническое напряжение и смотрели, что при этом получается на выходе.
Так вот, оказывается, вот эту процедуру преобразования входного сигнала в выходной
для гармонических сигналов можно себе представить в таком символическом виде.
Вот у вас некоторая линейная система, которую через L мы обозначим, да?
Вот здесь есть входное, ну вход этой системы,
и вход такой, это есть некоторый, ну скажем,
V * e в степени iΩt.
Я в комплексной форме записал гармонический сигнал,
который подается на вход такой линейной системы.
Так вот, что здесь очень важно?
Важно то, что на выходе этой системы обязательно тоже
будет гармонический сигнал той же самой частоты Ω.
И записать её можно так.
Ну вот, допустим, f (t), допустим, вот я напишу, это входной сигнал.
А выходной сигнал g (t) – это будет, вот так он может записаться,
во-первых, будет V, потом будет некоторая комплексная
функция от частоты Ω * e в степени iΩt.
Вот это выходной сигнал, а вот эта функция,
которая тут у меня немножко она неаккуратно записана, вот эта,
я её обведу овалом таким, она называется комплексным коэффициентом передачи.
На самом деле, если на входе синус Ωt или косинус Ωt,
то на выходе тоже будет гармонический процесс с той же самой частотой.
Ну вот математики, вот такое свойство линейных систем они
вот таким образом выражают, что гармонические
функции являются собственными функциями линейных операторов.
То есть вот то, что делает наша система, преобразуя поданное на вход напряжение,
это некая операция, которую можно описать с помощью дифференциального ператора.
Так вот обязательно этот оператор таков,
что на выходе тоже появится напряжение колебания той же самой...
тоже синусоидальный процесс той же самой частоты.
Это общее свойство всех систем, а не только вот такой системы.
Мы просто её изучили более подробно.
Так вот для этой системы вот этот вот комплексный коэффициент передачи,
как функция частоты вот этого поданного на вход сигнала, выражается таким образом.
Мы эту формулу писали, это ω₀²,
это собственная частота, квадрат собственной частоты этой системы.
Ну а здесь, в знаменателе 2i δΩ
+ (ω₀² − Ω²).
Вот это есть комплексный коэффициент передачи,
вот этот термин широко используется в радиотехнике вот такой линейной системы.
Если бы мы, например, снимали напряжение не с конденсатора, а, допустим,
с резистора, то получилась немножко другая бы формула, но,
тем не менее, в колебании на выходе тоже были бы гармоническим процессом.
Вот почему нас интересует, на первом этапе интересовала
задача о воздействии именно гармонического сигнала.
Это очень широко распространенная задача.
А теперь мы подумаем, а что будет, если на вход мы подадим
негармонический сигнал, то есть несинусоидальный, точнее сказать, сигнал?
Что будет делать такая линейная система?
Ну вот я хочу начать этот
разговор с одной демонстрации, которую я сейчас вам покажу.
Сначала я объясню, что я собираюсь вам показать.
Я собираюсь вам показать синтез какого-то
периодического сигнала какой-то сложной
несинусоидальной формы путем сложения чисто гармонических составляющих.
Это делается следующим образом.
Вот этот вот большой ящик, который стоит там, и что там внутри,
как это всё происходит, нас это мало интересует.
Но вот он что делает?
Он делает вот что.
Я вот здесь нарисую эту схему.
Вот этот ящик мы условно нарисуем, и там есть шесть,
в этом приборе есть шесть отдельных секций.
Вот я нарисую эти шесть отдельных секций как бы ну вот так, отдельно, да?
Нарисуем мы.
Что это за секции?
А это секции, которые выдают чисто синусоидальные сигналы кратных частот.
Что это значит?
Это значит, что вот если в первой части мы имеем частоту Ω,
ну, которая с амплитудой A1 и с фазой φ1,
вот на выходе возникают.
Это просто генератор вот синусоидального процесса,
частоты Ω, вот с какой-то амплитудой и фазой.
То вторая секция выдает на выходе колебания точно удвоенной частоты.
Не приблизительно, а точно.
Ну техника этого прибора очень давнишняя, ну уже тогда радиотехника,
лет 50 тому назад она позволяла уже получать,
конечно, чистое удвоение частоты.
Ну здесь получается сигнал удвоенной частоты с какой-то
амплитудой A2 и фазой φ2.
Ну точно так же все последующие, по этому же принципу мы получаем… Не мы,
а вот этот прибор позволяет получить колебание утроенной частоты точно,
там потом в четыре раза больше сигнал по частоте.
Ну вот я здесь просто выпишу.
Скажем, здесь 3Ω и тоже амплитуда A3 и фаза φ3.
Кстати, амплитуда и фаза могут регулироваться, можно
подбирать значения амплитуд и фаз всех отдельных этих гармонических составляющих.
Ну я дальше напишу.
Здесь 4Ω, A4 и φ4,
5Ω, а здесь A5 и φ5,
ну и наконец-то, 6Ω,
A6 и φ6.
Ну конечно, вот в этом приборе дальше уже нет последующих
гармонических составляющих, уже получить нельзя, но вот эти шесть
находящиеся частоты, которые находятся точно в кратном отношении.
Так вот дальше происходит следующее: все эти сигналы подаются на некоторое
устройство.
Давайте я его так условно изображу в виде вот такого тоже какого-то
ну прямоугольничка, где я поставлю знак «+», они все суммируются,
можно получить сумму всех этих процессов, подбирая амплитуды и фазы.
Мы только не можем менять частоты,
соотношения частот мы не можем, они заданы строго.
Так вот я вам покажу, что, подбирая амплитуды и фазы вот даже этих шести
только, всего-навсего шести гармонических составляющих,
можно получать колебания периодические, но сложные несинусоидальной формы.
Вот давайте сейчас мы покажем это.
Вот то, что мы сейчас будем показывать, называется синтез периодического
процесса сложной формы из гармонических составляющих кратных частот.
Вот что это такое.
Значит, вот сейчас мы включим осциллограф, чтобы вы все это видели.
Значит, вот сейчас уже всё подобрано, вот внизу – это то, что называется,
первая гармоника, первая гармоническая составляющая.
Это синусоидальное колебание, которое выдается самым верхним...
самой верхней секцией этого устройства.
Это колебание частоты Ω, а к нему добавляются ещё… Давайте пока их уберем.
Все остальные… То есть мы сейчас оставим только это колебание.
Вот это колебание частоты Ω, она у нас примерно 400 Гц, кажется, да?
>> У нас 800.
>> Что? >> У нас 800.
Сейчас 800, да?
Само Ω можно менять, но каждый раз, когда мы изменяем Ω,
то и все последующие вот секции этого прибора
выдадут точно удвоенные, утроенные и так далее частоты, да?
Вот это вот первая составляющая гармоническая.
Теперь добавим вторую.
Добавим ещё… Вот и вторая секция добавлена сюда.
Вот что получилось.
Добавим третью секцию.
Ну вот совсем, ну вот потихонечку.
Ну тут я хочу сразу сказать, что, конечно,
заранее амплитуды и фазы вот сейчас Они уже ранее подобраны, но вот,
например, если будем менять фазу второй гармоники, можно, например.
Вот меняем фазу, частоты остаются прежними, амплитуды — прежние,
но фазы меняются.
Фазы, видите, форма кривой, форма суммарной кривой
в общем изменяется, но, конечно, колебание остаётся периодическим.
Основной период, основной период этого процесса, конечно,
задаётся первой гармонической составляющей.
Ну вот давайте, что тут ещё можно, ещё можно добавить?
Ну вот ещё совсем немножко даёт четвёртая компонента и вот то,
что мы получили, это просто, на самом деле, это очень простой случай:
сумма всего-навсего четырёх гармонических составляющих кратных частот.
И вот из синусоиды мы получили ну что-то похожее на обрезанную синусоиду.
Ну не совсем так.
Ну это уже не синусоидальный процесс.
Но он состоит...
он является суммой в данном случае всего-навсего
четырёх гармонических процессов.
Это очень важно и вот это — то, что мы сейчас видели,
— это синтез периодического процесса, потому что процесс остаётся периодическим
при сложении, колебании, гармоническом колебании кратных частот.
Я в следующий раз, на следующей лекции покажу вам компьютерную демонстрацию,
где вот эта же процедура осуществляется с помощью компьютера,
и там можно не четыре, пять, шесть, а можно сотни, так сказать, компонент,
сотни составляющих просуммировать и получить какой-то процесс сложной формы.
Я в следующий раз это вам покажу.
Ну и вот мы получили, на самом деле, вот такую вещь,
что колебания J(t) сложной формы — есть вот такая вот как бы,
вот такая сумма от процессов такого вида: ∑An
* cos(ωt + φn) какое-то.
Ну и вот у нас, в нашем-то случае здесь всего от 1
до 4 n меняется, но это, конечно, просто такой самый простой случай.
Ну а теперь я хочу вам сказать, что, оказывается,
что это просто частный пример.
А на самом деле вот эту процедуру можно выполнить
для любого периодического процесса.
Ну вот, вот эти члены этого ряда, который здесь оборван,
конечно, на четвёртом члене, да?
Члены этого ряда называются спектральными составляющими.
И вот рисуют такую картинку, где по оси ординат откладываются
в виде палочек длины вот этих амплитуд.
Ну а по оси частот, конечно,
вот такая вот, так сказать, ну просто частота откладывается.
И вот мы можем здесь, вот эта, допустим, частота ω1, да?
Ну ω = ω1.
Вот обычно радиотехники это называют частота первой гармоники,
первой гармонической составляющей.
Вот эта вот палочка изображает амплитуду на частоте ω2.
А ω2, ну, вообще, ωn = nω.
Вот они все кратные, где n — целое число.
Ну вот дальше мы можем нарисовать ещё какую-то составляющую, скажем, ω3.
Ну и в нашем случае вот ещё была какая-то составляющая,
вот что было в этом эксперименте.
Вот эта картинка называется спектром вот этого периодического процесса,
который вот в верхней, в верхней части экрана изображён.
Спектр периодического процесса.
На этом, вот на этой картинке не видно, во-первых,
ну значение частот, конечно, можно было бы по шкале узнать.
Эту шкалу можно проградуировать,
но на этой картинке не изображаются фазы колебаний.
Вот фазы колебаний, они здесь не изображаются.
Это амплитудный спектр нашего периодического процесса.
Ну иногда вместо того, чтобы рисовать вот такую картинку амплитудного спектра,
изображают палочки эти вот вертикальные, рисуют,
изображают пропорциональными вот такому выражению: An в квадрате / 2.
Ну 2 тут совсем ни при чём.
Ну An в квадрате?
А что, зачем, что это такое — An в квадрате?
Это что за величина, которая...
которая может выражаться через квадрат амплитуды колебаний?
Ну это мощность, наверное, да?
И вот тогда говорят, что спектр мощности,
если там вот именно эти величины изображены.
Вот спектр.
Ну, естественно, в принципе, можно весь номер,
последнее гармоническое составляющее можно увеличивать.
И вот тогда мы с вами переходим к представлению о ряде Фурье.
Вот теперь я хочу пару слов сказать о ряде Фурье.
Значит, во-первых, Фурье — это был Фурье, это очень крупный физик и математик.
Он работал в первой четверти,
можно сказать, XIX столетия.
Там было много, в Парижской академии наук, выдающихся людей в это время.
И вот он доказал теорему, которая вот с тех пор живёт и носит его имя.
И для периодических функций эта теорема выглядит
следующим образом: любую периодическую функцию,
если у вас задана любая какая-то периодическая функция вот периода,
вот давайте вот этот период t, это вот, конечно, время,
время t, так любую периодическую функцию можно
представить в виде суммы гармонических составляющих.
Вот такая, ну давайте вот я изображу здесь.
Вот это есть некоторая f(t), да?
Так вот f(t) может быть представлена в виде суммы вот таких составляющих A...
Ну я, собственно, должен переписать вот эту формулу,
только теперь не ограничивать число возможных значений n.
Вот это будет An * cos An *
cos (ωt + φn),
где ω = ω1 = 2π / T.
Я здесь нехорошо написал, здесь нужно написать период T.
Расстояние между соответствующими точками соседних периодов — это и есть период.
Значит, ω — это основная частота или первая гармоника, как её называют.
И вот такой ряд, а здесь от 1 до ∞.
Вот этот ряд называется рядом Фурье.
Фурье дал...
кстати, этот аппарат преобразования Фурье, с которым мы вас на
физике только знакомим, конечно, вы будете серьёзно изучать в курсе
математического анализа, и там будут доказаны необходимые теоремы.
Я сейчас точно не знаю.
Это будет на четвёртом или пятом семестрах.
А, может быть, вы уже начали, я не знаю, сейчас, может быть, нет?
Вы не начинали ещё изучать Фурье преобразования?
Нет. Ну, значит, это будет...
В физике мы не собираемся вас подвергать такому испытанию,
что выполнять фактически эти преобразования,
но знакомиться с физической стороной вот этой математики, конечно, нужно.
Так вот этот ряд Фурье, ряд Фурье, который выражает периодическую функцию,
и подбором вот этих коэффициентов амплитуд и фазы
можно создать любую функцию любой формы периода T.
Ну вот это очень важно, и, конечно,
теория Фурье даёт возможность получать эти вот
амплитуды n-ного члена ряда Фурье и фазу этого члена, да,
выражать через саму функцию f(t) — это всё есть, я сейчас об этом говорить не буду,
потому что нас больше будет интересовать другое представление ряда Фурье,
а именно: мы с вами воспользуемся одной из формул Эйлера.
Что такое косинус, давайте вспомним здесь,
cos ωt, допустим, да?
Это есть e в степени iωt +
e в степени −iωt / 2.
Вот этим мы можем воспользоваться, и вместо того,
чтобы вот члены этого ряда выражать через тригонометрические функции,
мы можем сделать тождественное преобразование.
Я хочу здесь подчеркнуть, что это не есть, не есть комплексная форма,
не есть переход к комплексному представлению.
Заметьте, здесь вот была такая функция, а мы взяли вот такую функцию.
Здесь не было мнимой части.
А здесь она есть.
В том, в том что сейчас я предлагаю...
Процедура другая...
Мы просто вот этот косинус, который это действительно, он описывает действительное
гармоническое колебание, мы тождественно преобразуем вот к такому выражению.
Да? А это значит,
что вот запись получается вот такая: я продолжу просто эту формулу,
здесь будет вот такая сумма: ну снова от 1 до ∞,
будет некоторый комплексный коэффициент Cn *
e в степени inΩt.
Вот в таком виде, можно записать, записать ряд Фурье,
описывающий действительную вещественную функцию времени, а именно f (t).
Ведь действительный процесс, который где-то происходит в наших,
в нашей схеме, но мы выражаем его через комплексные, вот в таком виде,
вводя, используя вот формулу Эйлера.
Но при этом n у нас может меняться,
n пробегает не только положительные значения, но и отрицательные: n может,
ну скажем так, и больше, и меньше нуля, вот так я запишу.
Поэтому формально, здесь я не правильно записал.
Вот нужно здесь записать не 1, а − ∞.
То есть вот это целое число n пробегает значение
от − до + ∞ и, стало быть,
это формально означает, что вот такая запись этой формулы,
как бы при записи этой формулы мы переходим от положительных частот,
которые только в физике и представляют интерес,
как бы формально переходим к положительным и отрицательным частотам.
То есть у нас в этом, вот в этом выражении есть член частоты nΩ какой-то, да.
И, и член частоты, частоты −nΩ.
Но я хочу подчеркнуть, что в этом выражении нет мнимой части.
Почему?
Потому что если я возьму член вот как Cn, вот его комплексная амплитуда,
и возьму C −n, то как они между собой соотносятся?
n-й член и −n-й член.
Они, вот они, они комплексно сопряжены,
то есть вот переход к этому члену C −n означает,
что перед i нужно поставить знак "−".
А значит вот такая сумма, если я возьму их сумму, то мнимая часть исчезает.
То есть мнимая часть, которая содержит при значении −nΩ
и мнимая часть при значении nΩ, они имеют разные знаки.
Поэтому в сумме, если мы попарно будем эти члены рассматривать,
мнимая часть просто в любой паре исчезает.
Вот это есть запись, это разложение, Фурье преобразование,
действительной периодической функции по комплексным составляющим,
по мнимым составляющим.
Вот так лучше, наверное, неправильно, по комплексным составляющим.
Но при этом мы должны еще раз подчеркнуть, что мнимой части, в этой формуле нет.
А удобнее работать именно вот с такой формулой.
Тогда и спектр, вот вместо того, что бы спектр рисовать вот так, мы теперь можем
спектр вот той же самой, того же процесса нарисовать теперь вот так вот.
Это вот есть частота Ω, вот теперь это вот нулевая частота.
И вот теперь вот такая вот.
Я нарисую спектр по положительным частотам и спектр по отрицательным частотам.
Вот он, вот такая будет картинка.
Вот это есть спектр этой функции, той же самой,
но в этом представлении, когда мы вот хотим работать вот с таким,
с такой функцией, с таким рядом Фурье, комплексным рядом Фурье,
который на самом деле описывает действительную функцию времени.
Ну вот давайте.
Это перерыв да?
Ну давайте маленький перерыв сделаем.
Мне тут один студент подсказал,
что я здесь допустил в этих формулах некоторую ошибку.
Я сейчас вам объясню в чем дело.
Вот в этой формуле, конечно, здесь нужно поставить вот Ωn, да.
И Ωn = nΩ.
И вот в этой формуле тоже самое.
Вот здесь тоже Ωn стоит.
Конечно, каждый член ряда Фурье содержит свою,
колебание своей частоты, кратное, частота этого
колебания кратная основной частоте колебания 2π / t.
Ну вот я это просто упустил, но здесь остальное все правильно.
Так вот, вопрос о том, как найти эти коэффициенты?
Вот я хочу вас познакомить с тем, что как, как искать коэффициенты Cn.
Ну для этого предлагается такая процедура.
Давайте-ка мы с вами умножим вот это
выражение на e в степени −imΩt.
И потом проинтегрируем на интервале одного периода.
Вот так возьмем ∫, значит от − там
t / 2 до + t / 2, да.
Вот ну по времени, конечно.
И здесь будет функция f (t), вот функция f (t) мы здесь запишем ее,
вот она эта функция, * e в степени −imΩt * dt.
Вот что это такое?
А функция f (t) выражается вот таким рядом.
Значит давайте рассмотрим какой-нибудь n ряд номера, ну член номера n.
Тогда здесь будет колебание, это будет сумма вот таких вот выражений.
Да? Это будет ∫ от такой суммы.
Давайте напишем так − t / 2 и + t / 2,
а здесь будет Сn *
e в степени −i
(n − m) * Ωt * dt.
Вот такое получится выражение под знаком, под знаком этой суммы.
Ну хорошо, теперь вот давайте, а чему,
чему будет равняться вот соответствующий член.
Вот тут получится вот что: если,
если n = m, ну Cn нужно было бы,
если n = m, тогда в показателе стоит 0,
значит экспонента это 1,
∫ по периоду от этой экспоненты, от единицы даст просто период.
Если вот такое соотношение, то тогда в этом случае,
вот соответствующий член обращается,
ну в какой-то Cn * T, Cn * T,
вот при таком соотношении.
А если n ≠ m, тогда это получается любой член
этого ряда — есть гармоническая функция,
которая интегрируется либо по периоду,
либо по многим, по многим периодам.
Гармонические функции при интегрировании по целому числу периодов даст всегда 0.
Ну поэтому получится в этом, в этом случае получится 0.
Ну вот такая вещь.
И тогда значит мы можем сказать, что Cn, да давайте так Cn,
будет = 1 / T, вот ∫ от функции
f (t) * e в степени iΩnt.
Ну вот здесь со знаком "−", ну вот,
и до, и ∫ по времени, вот такая на,
на интервале одного периода − t / 2, а здесь + t / 2, да.
Вот это и есть выражение для, для любого
члена ряда Фурье, которые мы записали.
Ну вот так.
