В курсе рассматриваются применения закона электромагнитной индукции и базовые закономерности колебаний в электрических цепях. Студенты познакомятся с описанием свободных и вынужденных колебаний, квазистационарных процессов, получат представление о спектральном разложении и принципах работы параметрических и автоколебательных систем. Учебный материал основан на лекциях и семинарах по общей физике, читаемых студентам МФТИ в третьем семестре. Лекционный материал сопровождается наглядными демонстрациями. Для закрепления знаний и получения навыков решения задач в конце каждой недели студентам предлагается решить проверочные задания в виде теста и четырех задач. Итоговая контрольная работа помимо основного блока заданий содержит задачи повышенной сложности, которые в разное время предлагались студентам МФТИ на семестровых контрольных работах.
Лекция 4.5. Амплитудная и фазовая модуляции. Векторная диаграмма
Loading...
Del curso dictado por Moscow Institute of Physics and Technology
Переходные процессы в электрических цепях
3 calificaciones
De la lección
Спектральное разложение
Вынужденные колебания под действием несинусоидальной силы. Спектральное разложение. Соотношение неопределенностей. Квадратичное детектирование.
Conoce a los instructores
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
Кафедра общей физики МФТИ
Следующий пример, который мы с вами начали рассматривать,
это процесс играющий большую роль в технике.
Это процесс амплитудно-модулированных колебаний.
Вот второй процесс – это амплитудная модуляция.
Вот так мы можем обозначить.
А это вот что такое – это колебание, у которого амплитуда не постоянна,
а медленно изменяется по какому-то закону,
но мы этот закон выберем самым простым и вот запишем такое
выражение: f(t) равняется, ну, некоторые...
A – некоторый постоянный множитель, а здесь (1 + mcosΩt)
– вот это все вместе взятое и есть амплитуда.
А дальше стоит cosΩ0t.
Ну, если говорить о о том, как это, скажем,
в радиовещании применяется, то вот эта Ω,
это некоторая звуковая частота, а Ω0 – это радиочастота.
Понятно, что вот есть такие условия, что Ω << Ω0.
Ну и на самом деле вот этот коэффициент m,
который называется глубиной модуляции, он ≤ 1.
Вот так обычно бывает.
Тогда ясно, что это выражение легко тоже преобразовать с помощью тригонометрии,
и мы получим спектр.
И он будет иметь такой вид.
Вот я его все-таки напишу еще раз.
Это будет просто A, да?
Здесь 2 внизу в знаменателе не будет.
Просто A * cosΩ0t.
Это колебание частоты Ω0, и плюс еще здесь будет,
произведение косинуса будет, возникнет, здесь, а произведение косинусов,
это половина косинус суммы плюс половина косинуса разности.
Поэтому дальше получатся вот такие два члена: + Am / 2,
а здесь будет cos (Ω0 + Ω) t,
и плюс такой вот член, где вот здесь будет стоять знак «—».
Плюс еще Am / 2
(cos Ω0 − Ω,
и здесь тоже t.
Вот такое, такое выражение.
Это три гармонических процесса.
Один из них происходит на частоте омега 0, второй- на частоте
чуть повыше: омега 0 плюс омега, и третий будет на этой частоте.
Ну и мы рисовали спектр.
Я его еще раз изображу.
Тогда, вот, по положительным частотам, если вот это вот у нас частотная ось,
то получается вот такой, вот, спектр, да?
Какой-то вот такой спектр.
Вот это вот частота ω0.
Вот такой спектр.
Ну, вот, мы начали, в прошлый раз закончили тем,
что пытались вот этот процесс изобразить с помощью векторной диаграммы.
Но тут возникает вопрос, о том, что вроде бы так нельзя делать,
потому что на векторной диаграмме, мы договаривались с вами,
изображаются с помощью векторов, колебания какой-то одной частоты.
И вот вся эта, ну вот, совокупность векторов, которую мы нарисуем на
диаграмме, должна изображать колебания одной и той же частоты омега.
Но, оказывается, что нетрудно немножко расширить понятие векторной диаграммы,
и рисовать колебания не близких частот,
но тогда соответствующие вектора не будут оставаться неподвижными.
И, вот, я говорил о том, что если мы выберем, ну, скажем,
будем рисовать неподвижными векторами, изображать колебания частоты ω0.
Тогда, вот например, вот такой процесс, который имеет другую немножко частоту.
Его уже записать можно так.
Это косинус.
Я сразу запишу его, да?
Это ω0t и плюс плюс Ω большое на t.
Ну вот так так мы запишем этот процесс, а вот то, что здесь написано,
это можно представить как изменяющаяся во времени фаза этого процесса.
Значит, когда мы изображаем такой векторный, такой процесс,
то его ориентация, ну в соответствии вот с этой зависимостью φ (t) будет меняться
на этой плоскости, ну а в данном случае, поскольку здесь стоит ωt,
значит в нашем случае φ (t), вот, равняется просто ωt.
Этот вектор просто будет вращаться на плоскости,
на которой неподвижными векторами изображаются колебания частоты ω0.
И вот сейчас мы нарисуем эту связку векторов, трех векторов.
Вот они так, вот вектор изображаем, это вектор,
вот частоты, изображает колебания частоты ω0.
Его длина равняется А.
Ну а дальше вот это два вектора, изображающие вот эти два колебания,
они будут вращаться в разные стороны.
Вот, длина каждого из них будет Am, деленное на 2,
ну и, а вот этот Вот этот вот угол как раз и есть угол φ, φ (t).
Вот φ (t) — это есть Ωt.
Поэтому этот вектор будет вращаться вот сюда, с угловой скоростью Ω.
Ну, а другое колебание будет симметрично изображаться вот таким вот вектором.
амплитуда его тоже Am, поделенное на 2,
и этот вектор будет вращаться в эту сторону с той же самой угловой скоростью.
Ну а сумма всех трех векторов, ну эта пара векторов дает сумму,
скажем, вот такую вот, да?
Ну а все три вектора дают сумму, в сумме дают вектор,
который на этой плоскости, он не меняет своей ориентации,
он всегда горизонтален, вот на этой, как на этом чертеже.
Но его длина периодически меняется во времени.
Ну, вот, это сумма трех векторов.
Ну для той ситуации, которая сейчас нарисована,
вот, я нарисую этот вектор, и вот, вот это и есть сумма трех векторов.
Вот, я изобразил ее, да?
Это вот амплитудно-модулированные колебания.
Конечно в радиотехнике, при радиовещании например, да,
это не просто вот такой упрощенный процесс модуляции.
Здесь вместо гармонического, гармонической функции, стоит, конечно,
сложный тоже спектр и поэтому, так сказать, поэтому возникает вопрос,
а как выделить, вот, звуковую частоту из такой сложной функции.
Если мы подадим на, ну скажем, на громкоговоритель, ну на телефон,
вот этот процесс, который сейчас записан, вот, вот такой,
в виде такой формулы, услышим ли мы голос, или нет.
Вот, мы взяли этот процесс, вот, допустим, приняли из эфира такое,
такой процесс, такое колебание, и так непосредственно на микрофон его.
Будет, услышим мы с вами скажем,
звук скрипки, или нет?
Ну, ответ конечно нет.
С ним надо чего-то сделать на месте, для того,
чтобы из этого процесса на самом деле нужно нам выделить вот эту часть, да?
Вот в чистом виде получить вот такую функцию,
которая несет всю информацию вот, о передаче, о голосе, о музыке и т.д.
Ну, как это делается, я потом скажу несколько слов.
Ну а теперь вот следующий пример.
Он будет у нас уже третьим.
Ну давайте я вот здесь запишу этот, это выражение.
Это пример такой.
Мы рассмотрим колебание, периодический процесс модулировано...
колебание, модулированное по фазе.
Значит, это будет третий, третий случай,
и вот так записывается колебание, модулированное по фазе.
Фазовая модуляция.
Вот так я напишу, да?
Ну вот f (t) в этом случае записывается в таком виде.
Ну, конечно, мы выбираем самый простой случай модуляции,
которая происходит тоже по гармоническому закону, Это будет вот такая функция.
Это будет некоторая амплитуда A, а здесь будет косинус,
здесь будет Ω0t и плюс некоторое m на косинус Ωt.
Вот такой закон модуляции,
который теперь в аргументе этого косинуса находится, да?
То есть это вот фаза этого колебания.
Здесь амплитуда менялась по такому закону, а здесь фаза меняется по такому закону.
Ну и вот такой процесс называется процессом, модулированным по фазе,
и в передачах на коротких
и ультракоротких волнах, вот, используется вот такой, такой процесс.
Именно фазовая модуляция.
И поэтому, ну в общем, это очень важно, потому что, оказывается,
ну это уже далеко выходит за рамки вот того,
что мы с вами сейчас можем обсуждать, фазовая модуляция более помехоустойчива,
оказывается, поэтому она вот Для качественной
передачи в радиовещании используется,
именно на коротких волнах используется фазовая модуляция.
Так вот.
Ну конечно, здесь мы можем что-то попробовать преобразовывать,
но на самом деле, спектр вот такого процесса получается очень сложным,
поэтому нам нужно что-то упростить, и мы вот вместо,
ну вот Ω << ω₀,
а вот со вторым неравенством мы тут должны как бы немножко изменить ситуацию.
Мы рассмотрим случай, когда коэффициент модуляции или глубина модуляции,
вот этот коэффициент, он много меньше единицы.
Вот такой случай.
Ну тогда вот мы сможем тут в упрощённом виде уже получить спектр,
он будет несложный.
Ну давайте я здесь попробую это сделать на этой части доски.
Тогда я вот просто перенесу сюда все формулы, вот равно.
Ну что нужно сделать?
Нужно косинус суммы представить,
ну по формуле тригонометрии косинус суммы
представить как косинус * косинус − синус * синус.
Вот такая есть формула в тригонометрии, поэтому здесь будет косинус, ну A,
конечно, не нужно забывать, да?
На косинус ω₀t и * косинус (m,
вот так, косинус Ωt).
Вот это косинус на косинус умноженный, да?
И минус здесь будет, да?
Дальше давайте я здесь тоже подготовлю место.
−A * синус ω₀t и на синус вот этого выражения, −синус * синус.
Это будет синус вот этого выражения: (m косинус Ωt).
Ну пока это никакого упрощения ещё нет, и мы не приняли во внимание
вот это сильное неравенство, а сейчас давайте это сделаем.
Ну вот, прежде всего, вот с этим косинусом давайте разберёмся.
Ну m << 1, поэтому аргумент косинуса это очень малая величина.
Поэтому можно приближённо принять, что этот косинус равен единице.
Вот такое приближение.
И второе, во втором члене синус маленькой величины, синус (m * косинус Ωt).
Вот этот член можно приближённо принять равным просто аргумент у
этого синуса m * косинус Ωt.
Ну если так, то у нас получается, вообще говоря, вот такое выражение.
Кроме всего прочего, по формулам тригонометрии, вот есть такая формула.
Давайте я напишу вот здесь отдельно её,
что −синус α =
косинус (α + π/2).
Вот такая вот формула существует, формула преобразования.
Вот этот −синус ω₀t мы запишем как + косинус (ω₀t + π/2), да?
Значит, вот давайте я так и напишу, вот это вот здесь, вместо этого.
Ну только вместе с этим минусом, да?
Это будет косинус (ω₀t + π/2).
Вот такое получается выражение.
Ну а дальше нужно расшифровывать это.
Значит, ну что здесь получится?
Значит, если я вот всё это перепишу, то у нас получится следующее.
Ну первый член даёт просто нам чисто гармонический процесс A * косинус ω₀t.
Ну я, по-моему, говорил, что ω₀ называется несущей частотой в радиотехнике.
Ну а здесь будет +, тут возникает произведение косинуса на косинус,
и тоже нужно вот воспользоваться этой формулой, косинус,
умноженный на косинус, это есть… Что такое есть косинус на косинус?
Это есть косинус разности,
половина косинус разности плюс половина косинус суммы, да?
Ну и вот давайте напишем эту формулу, давайте я её напишу.
+ Am / 2,
ну а здесь будет что у нас,
если возьмём мы… Ну будет разность будет вот такая.
Это будет косинус (ω₀ +
Ωt) да?
Я неправильно написал, ребята.
Давайте-ка мы… косинус (ω₀ + Ω)… Сейчас, одну секундочку.
Это вот будет + Ω,
Ω π + π / 2.
Ω)t + π / 2.
Вот такой получится аргумент этого косинуса.
А точно такой же член возникнет только вот с
минусом здесь, в этом месте формулы, да?
+ Am / 2, а здесь будет косинус,
ну вот я напишу этот аргумент, (ω₀ − Ω) * t + π / 2.
Вот такое получилось выражение.
Ну если мы с вами посмотрим на то, что мы уже имели, вот на выражение,
которое написано здесь, вот оно это выражение для амплитудной модуляции,
а вот выражение для фазовой модуляции.
В чём же разница?
Здесь колебания частоты ω₀,
колебание частоты (ω₀ + Ω) и колебание частоты (ω₀ − Ω).
И там то же самое.
Если мы бы изображали спектр вот, как я это делал,
вот в виде таких палочек, то в обоих случаях получилось бы одно и то же.
Вот это спектр вот такого вида в обоих случаях.
Чем же отличаются эти два процесса?
Отличаются вот тем, что во втором случае,
вот здесь находится постоянный фазовый сдвиг в π / 2.
К чему это приводит?
Оказывается, это очень существенно, если мы будем рисовать вот такую же картинку,
векторную диаграмму для этого случая, то мы должны учесть этот π / 2.
Значит уже в начальный момент, при t = 0, нужно эти вектора
изображать повёрнутыми на π / 2 против часовой стрелки.
Поэтому вот та картинка, которая вот здесь нарисована,
она должна быть вся повёрнута на π / 2, и получается вот такая векторная диаграмма.
Вот у вас есть этот вектор, большой вектор, амплитуда которого равняется A₀.
Вот это вот есть ну перпендикулярное направление,
и относительно этого направления, в разные стороны вращаются два вектора.
Вот один вращается в эту сторону, другой вращается в эту сторону.
Амплитуда каждого из них Am / 2.
Ну и вот суммы всех трёх векторов… Заметьте,
пожалуйста, что m в нашем приближении — эта величина гораздо меньше единицы,
поэтому это очень коротенькие векторочки.
А сумма получается… Ну давайте я нарисую, сложу эти два вектора.
Вот получается вот такой вектор, вектор вот такой.
А теперь нужно ещё прибавить к этому длинному вектору с амплитудой A₀.
Вот результирующий вектор получается.
Поскольку m маленькое… А это вот угол φ,
угол, который равен фазе колебания этого вектора.
Так вот при вращении двух маленьких векторов в разные стороны,
результирующий вектор начинает немножко покачиваться,
то есть фаза его периодически меняется вот по такому закону.
Ну а длина его в первом приближении остаётся неизменной.
В нашем приближении длина его практически постоянна, а наклон его,
по отношению к горизонтальной оси,
меняется, что и описывает вот такой процесс фазовой модуляции.
Вот этот член ответственен за изменения угла
во времени, угла, под которым ориентирован вектор,
результирующий вектор на этой векторной диаграмме.
Вот это векторная диаграмма для амплитудной модуляции,
а эта векторная диаграмма для колебания, модулированного по фазе.
И ещё раз повторяю, что мы здесь расширили понятие векторной диаграммы и
изображаем на этой диаграмме не только колебания
одной и той же частоты, но колебания близких частот.
Тогда некоторые вектора, оказывается, начинают двигаться,
то есть диаграмма оживает как бы во времени.
Ну и вот мы… Очень удобно наглядно представить себе тот процесс,
который эта диаграмма описывает.
Ну вот это я бы хотел сказать.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
