Ну а теперь давайте-ка мы попробуем с вами пронаблюдать
вот всякие спектры с помощью компьютерной анимации.
Много лет назад, когда еще технологии компьютерные были,
может быть, не самые лучшие, вот это было сделано, и это,
кстати, группа преподавателей и группа студентов
вот сделали такую анимацию, и вот сейчас я вам покажу кое-что из этого.
Значит, вот сейчас вы видите такой экран,
где вот на экране есть четыре, четыре таких области,
и вот правые два квадратика — это спектр, спектры.
Вот сейчас здесь нарисован последовательность прямоугольных
импульсов, это периодический процесс, а внизу вот спектр.
Ну он изображен не очень хорошо, но вот мы тоже говорили о том,
что спектр такого процесса хотя он и дискретный, вот отдельные дискретные
составляющие, мы их выписывали, но огибающая этих спектральных компонентов,
она вот подчиняется такой закономерности — это функция типа sinx на x.
Ну вот, мы говорили о том,
что если эти вот… Может оказаться так,
что вот в то место, где функция, вот огибающая, обращается в ноль,
здесь, конечно, исчезает соответствующая гармоническая составляющая.
И, причем вот это происходит тогда,
когда соотношение между периодом этого
процесса и длительностью одиночного импульса как раз равняется,
если взять такое отношение, период к ширине во времени одного импульса.
Вот эта ситуация, которая изображена сейчас на экране,
соответствует такому отношению, равному четырем.
Так вот четвертая компонента, спектральная,
которая должна была бы быть, она обращается в ноль.
Вот потому что как раз в этом месте, первый ноль огибающей.
Ну вот если мы бы взяли, можем сделать,
изменить вот это соотношение, ну давайте, скажем, допустим,
взять один к двум, вот это интересный случай, я на это обращу ваше внимание.
Вот сейчас вот.
Вот сейчас соотношение такое,
что отношение периода к ширине отдельного импульса равно двум,
то есть пробелы и сами импульсы одинаковы по длительности.
Тогда посмотрите, что получится в спектре,
давайте посмотрим на спектр такого процесса.
Как вот, ну вот да, вот спектр здесь изображен такого процесса, и видите,
что вот вторая гармоническая составляющая как раз попала в ту точку,
где огибающая обращается в ноль, то есть её нет.
Вот такая периодическая последовательность имеет в пределах главного
этого максимума, имеет только одну спектральную компоненту.
Вот она здесь видна, да?
Ну тут можно всякие соотношения изменять и смотреть на это.
Ну давайте вернемся к предыдущей картинке, вот она.
А теперь вот мы с вами попробуем вот то,
чем мы занимались в прошлый раз, но в реальном эксперименте, да?
Мы попытались из гармонических процессов создать процесс,
который был бы периодическим,
но не описывался бы чисто гармоническим, чисто гармонической функцией.
Вот здесь сейчас, вот здесь нарисованы различные спектральные…
Это вот у нас очень слабо, очень бледно видна основная частота,
а это вот, наверное… Какая гармоника?
Это третья, да?
А наверху видно частичная сумма ряда Фурье,
то есть эта сумма ряда Фурье, который обрезан сверху.
Тут сейчас не указано сколько компонент,
сколько… На других картинках написано просто.
Давайте попробуем… Прямо здесь можно сделать, да?
Ну давайте перейдем.
Вот попробуем сейчас… Вот шесть гармонических компонент,
вот если сложить шесть синусоид,
тогда получится… Кратных частот, я должен это подчеркнуть.
Тогда получится вот такая вот картинка.
Ну а если мы увеличим число компонент?
На компьютере это сделать можно.
А в аналоговом эксперименте это было сделать, ну в нашем случае, невозможно,
вот мы постепенно, вот это вот основная частота, основная гармоника, как говорят.
Ну давайте будем две, вот две, три там и так, вот это всё постепенно.
Сумма увеличивается,
мы просто добавляем в эту сумму всё новые и новые члены,
а вот эта вот сумма… Ну давайте сразу там около, там около сотни мы можем.
Вот если сто, сложить сто гармонических...
сто членов ряда Фурье, то получается вот такая вот картинка.
Ну, естественно, тут фазы и амплитуды всех этих членов ряда Фурье, они подобраны.
Вот такая картинка.
А спектр — вот здесь он нарисован для этого случая.
Вот видите, здесь вот первая, это вот первая гармоническая, основная частота,
вторая компонента попадает на ноль, её не видно, а вот третья.
Ну здесь очень реденькие, спектр очень сильно… спектральные
компоненты удалены друг от друга довольно далеко, ну и, кроме всего прочего, то,
что они попадают еще в нули функции sinx на x, это еще более усложняет картинку.
Ну давайте может быть еще раз покажем им картинку для, когда импульсы поуже.
Вот более узкие.
Давайте сузим эти импульсы, вот так их сделаем.
Вот так вот, да?
И еще раз покажем эту картинку.
Ну вот.
Ну вот тут видите, здесь четвертая компонента попадает на ноль, да?
Вот она здесь должна бы вроде быть, но огибающая её обращает в ноль.
Вот здесь она должна быть.
Ну давайте еще сделайте и для этого случая сумму длинную очень,
ну вот около сотни членов.
Давайте перейдите, пожалуйста, к этому случаю.
Ну вот тут 99,
у нас почему-то здесь всё было оборвано на 99-м члене.
Вот так получается, такая сумма.
Но я думаю, что некоторые мелкие детали уже
возникают из-за того, что это дискретный счет на компьютере...
может быть, возникают, это никто не анализировал.
Но вот такие-то вот детали вот, скажем, на первом вот этом импульсе,
который находится в центре, там возникают какие-то мелкие детали у вершины.
Я думаю, что это возможно еще даже не из-за самого преобразования Фурье,
а из-за, просто из-за дискретного счета, который здесь применен.
Ну вот, давайте посмотрим теперь на… Ну вот,
теперь я хочу вам показать спектр отдельных импульсов.
Вот верхний ряд — это ну те импульсы, которые, спектр которых можно посмотреть.
Ну тут можно с ними разные манипуляции выполнять,
например, увеличивать ширину импульсов, уменьшать, а внизу,
ну вот нас будет интересовать вот такая вот, ну вот этот случай и этот.
Если то, что нарисовано в верхнем ряду,
умножается на то, что нарисовано в нижнем ряду, поэтому, если умножим на константу,
то получится вот такой прямоугольник.
Вот сейчас мы это и сделаем.
А если мы умножим на синусоиду, то получится обрывок синусоида очевидно.
Ну давайте пока для отдельного прямоугольного импульса, да?
Вот отдельный прямоугольный импульс, вот это вот, видите,
вот как раз та точка, которая нас заинтересовала 2π / t по частоте,
это как раз вот точка, для которой мы записываем соотношение неопределенности.
Ну вот, вот такой спектр.
Ну, наверное, вы поняли, что это спектр по положительным и отрицательным частотам.
Это, когда ряд Фурье… Это — не ряд, а интеграл Фурье.
Выполняется вот ну в такой комплексной записи.
Вот этот интеграл сейчас изображен на рисунке.
Ну вот давайте теперь… Ну что еще можно?
А? Давайте мы увеличим длительность импульса.
Что тут должно получиться со спектром, шириной спектра?
А ширина спектра должна уменьшиться.
Вот мы и посмотрим сейчас на это.
Вот. Ну еще можно увеличить немножко?
Ну давайте еще немножко увеличим в длительности.
Вот он во времени увеличивается,
а спектр сужается в соответствии вот с этим соотношением неопределенности.
Ну вот такая очень интересная вещь.
Ну что еще?
Теперь давайте попробуем, мы об этом ничего не говорили, ну давайте,
прежде чем это делать, давайте-ка сообразим.
А что если мы выберем не просто прямоугольный импульс,
а обрывок синусоиды?
То есть умножим этот прямоугольник на синусоиду?
Тогда он выберет кусок этой синусоиды и принято такие обрывки называть цугами.
Вот как, по вашему, какой будет спектр цуга?
Спектр самого прямоугольника мы знаем,
мы умножаем на гармоническую функцию.
Спектр, то есть мы сам прямоугольник этот умножаем на
гармоническую функцию и выбираем обрывок этой синусоиды.
Что будет со спектром получившегося процесса?
Вот посмотрите, пожалуйста, вот какой будет процесс.
Вот получается вот каждая из этих частей, вот то, что здесь нарисовано,
это было в районе нуля, нуля по частоте.
А когда мы умножаем прямоугольник, отдельный импульс умножаем на
гармоническую функцию, то центр тяжести, ну я так,
образно вам скажу, он смещается на ту частоту,
на частоту того гармонического колебания, на который умножен прямоугольник.
Ну вот если мы, допустим, частоту вот этого обрывка
синусоиды увеличим, частоту несущего колебания, да?
Давайте сделаем это, да?
Сделаем вот сейчас вот.
Вот внизу эта синусоида, вот мы их перемножаем,
получается обрывок синусоиды, да?
Вот, а куда переходит, переходят максимумы?
Они, естественно, уходят в область более высоких частот,
вот куда переехал максимум.
Ну симметрично и в область отрицательных частот тоже такой максимум уехал влево.
Станислав КозелПрофессор, доктор физико-математических наук
Владимир ОвчинкинДоцент, кандидат технических наук
Андрей ГавриковДоцент, кандидат физико-математических наук
