Задача 4.21. Рассматривается очень любопытный генератор Ван-де-Граафа. Ван-де-Грааф. Что это такое? Сейчас сначала нарисую, а потом и поясню. Вот это некая лента типа транспортера, вращающаяся. Вот она так движется какими-то вот такими двигателями вот здесь, движитель. Лента, конечно, диэлектрическая. И на эту ленту, ее вот здесь накрывает, вообще говоря, сфера, металлическая сфера радиусом достаточно большим. Вот это металлическая сфера, сквозь которую проходит эта транспортерная лента, которая сообщает заряд уже этой сфере. Сейчас все поясню. Вот здесь, на эту ленту все это присоединяется. Это земля. Так нарисуем. Здесь у нас отсюда снимается некий ток. И, на самом деле, здесь есть некий источник, который мы обозначим так, красненьким. Это от источника небольшого напряжения, который заряжает эту ленту этого транспортера, заряжает положительным зарядом. И вот тогда на этой ленте пошли вот эти плюсики вверх. А в этой области... И все эти плюсики, а это диэлектрическая лента, она здесь заряжается зарядом. Этот заряд в этой точке каким-то образом сообщается этой ленте. Это же диэлектрик, никаких токов тут нет. Все электростатика как бы. Дальше эти заряды поднимаются сюда и снимаются неким токосъемником (вот его так обозначим), который переносит это все с этой ленты, переносит непосредственно на внутреннюю поверхность, на внутреннюю поверхность этой сферы. Сфера, конечно, металлическая. И по закону Фарадея, весь этот заряд, который снимается вот здесь токосъемником, съемником заряда, оказывается на этой поверхности. Вот он. Он оказывается здесь, но уже снаружи. И можно достаточно большие напряжения развить. То есть источник сам будет давать маленькие напряжения какие-то, допустим, 100 вольт, а здесь можно получать миллионы вольт, то есть вот такой транспортировкой заряда с помощью вот этой ленты. Такой генератор называется генератор Ван-де-Граафа. Используется закон Фарадея. На сфере металлической заряд размещается на внешней поверхности. Он там оказывается. А соединяется вот таким вот путем. Итак, читаю текст уже задачи: «В генераторе Ван-де-Граафа заряды переносятся диэлектрической лентой и заряжают высоковольтный сферический электрод. Поверхностные заряды передаются ленте от источника вблизи нижнего шкива». Вот я это показал. «Найти максимальный потенциал и максимальный ток, который можно получить, если радиус высоковольтного, сфера высоковольтного электрода R = = 1.5 м, то есть радиус этой сферы 1.5 метра. Вот она у нас, эта сфера с большим радиусом. Значит, скорость ленты составляет v = 20 м/с, ширина ленты составляет l = 100 см. Пробой воздуха Епр = 30 кВ / см. Надо найти максимальный потенциал, φmax, если угодно, максимальный потенциал, который здесь может быть развит. А также максимальный ток, который здесь может получиться, в этой цепи – Imax. Какой можно здесь приобрести ток? Еще раз повторяю, как это делается. Вот эта лента транспортера получает, а это диэлектрик, диэлектрическая лента, от источника, который ей сообщает этот заряд так же, как мы наносим заряд, допустим, способом, натирая диэлектрическую какую-нибудь стеклянную палочку кожей, там получается положительный заряд. Так же и здесь происходит сообщение этого положительного заряда от источника этой ленте. Лента тащит этот заряд, а дальше этот заряд снимается неким электродом (вот, я его желтеньким показал) и передается уже сфере. Сфера этот заряд воспринимает, и он размещается снаружи, тем самым, обеспечивая некую стационарную ситуацию, то есть некий стационарный ток, который здесь возникает. Достаточно просто все понять. Все определяется пробоем воздуха. Пробой воздуха наступает при напряженности электрического поля 30 кВ/см. Больше у нас ничего не получится. Больше мы не сможем создать. Вот отсюда можем написать такое равенство: E = = 2πσ. Что такое 2πσ? В электростатике это поле однородно заряженной поверхности. Вот эта лента заряжается по своей ширине практически однородно, и поэтому поле можно считать вблизи этой ленты 2πσ. Конечно, его нужно приравнять к пробойному максимальному значению Eпр. Выше уже быть не может. Отсюда мы найдем что σmax (максимальный заряд) = Eпр (пробойной напряженности поля) ÷ 2π. Максимальный ток в этой цепи, в этой системе, он здесь, но он и здесь. Он обеспечен, ведь тогда, когда наступает стационарное состояние, уже на грани пробоя, здесь вполне определенное напряжение, то есть потенциал этой сферы. И стационарно все время поступают какие-то заряды, которые стекают в виде тока вот сюда, по внешней цепи. Речь идет об этом токе. Таким образом, максимальный ток в этой цепи, Jmax, можно расписать следующим образом, достаточно просто: Imax = σmax lv. Причем σ в данном случае максимальная. σ это что такое? Это поверхностная плотность заряда. А l * v это скорость, с которой перемещается эта площадь, заряженная. Значит, я должен умножить на площадь этой ленты ширина ее, как вы видите. И в единицу времени у нас эта площадь будет l * v это скорость изменения площади в единицу времени. Таким образом, ток этих зарядов есть σ * lv. Все достаточно просто понимаемо и рассчитываемо. Подставляем сюда пробойное значение напряжение. Получается (Eпр * * lv) / 2π. Ну, давайте подставим числа, ибо это поучительно. 30кВ/см = 3 * 10 в 4. Ну, надо разделить сразу, с тем чтобы вольты перевести в гауссовые единицы. 3 * 10 в 4 / 300 Итак, на 300 делим, уже в гауссовых единицах. l у меня 10 в 2 (100 см), v 20 м/с, значит, 2 * 10 в 3, имеется в виду сантиметров в секунду. 2π внизу, ну и 3 * 10 в 9 с тем, чтобы ответ сразу был в амперах. 3 * 10 в 9 это переход от гауссовых единиц к амперам. Тут все благополучно и очень хорошо снимается, сокращается: и двоечки – вот эта 2 с этой 2. И троечки, например, вот эта 3 и эта 3. И порядки тут прекрасно убираются. Получается где-то так: 10 в −2 / / 3π. Что даст порядка, 3π ≈ 10, примерно около 10. То есть ответ 10 в−3 A – вот предельный ток, который может возникнуть в такой системе генератора Ван-де-Граафа. Что же касается максимального потенциала, который может быть развит, он, конечно, определяется радиусом этой сферы. Значит, здесь тоже пробойная, предельная напряженность электрического поля на поверхности сферы, в соответствии с законом Кулона, это есть q * R в 2. R нам задан. Осталось расписать, что такое отсюда q. q = Eпр * q = Eпр * R в 2. Ну, а потенциал, φmax φmax = q / R. И тогда все становится на свои места. Это будет Eпр * R. Это легко подсчитывается. 3 * 10 в 4 * 3 * 10 в 4 * 1.5 * 3 * 10 в 4 * 1.5 * 10 во 2 см. Получается ответ в вольтах: 4.5 * 4.5 * 10 в 6 В. Вот откуда эта высоковольтность. 4.5 миллиона вольт. Ну да, генератор Ван-де-Граафа позволяет накопить такой заряд. Выше этого не прыгнешь.
