И вот, прежде чем приступить к каким-то другим задачам, хотелось бы рассказать, ну, дать некую дополнительную информацию о Законе Джоуля-Ленца. Причем, сначала в дифференциальной, а потом уже и в интегральной форме. Итак, если у нас, вот просто, по проводнику течет электрический ток, обычно плотность тока обозначают буквой j, это значит, ток, единица тока на квадратный сантиметр. Имеется в виду плотность тока. Есть еще одна очень важная величина, это средняя скорость вот этого движения электронов, такого направленного движения. Эта средняя скорость называется дрейфовой, ну или её обозначают V дрейфа, дрейф, которая обозначается, чтоб меньше писать, буквой u обозначим это дело. Итак, дрейфовые, что это такое — дрейфовая скорость? Это такая скорость, в каком-то электронов, вот, в таком вот вправо, под воздействием электрического поля. Надо сказать, что эта скорость, как правило, очень маленькая по своей величине, но она накладывается на хаотическое движение, и скорость уже электронов, вот именно свободных электронов в металле, она соответствует температуре, температура обычно комнатная, и тогда оказывается, что вот эта хаотическая скорость достигает совершенно фантастических размеров. Ну, для сравнения скажу, допустим, 10⁸ см в секунду, это скорость хаотического движения, то есть шараханье этих электронов от удара к удару, вот они ударяются упруго об атомы кристаллической решетки. А вот скорость направленного движения их, как целого, составляет там миллиметры, сантиметры в секунду, то есть на много порядков ниже. И вот, когда течет ток под воздействием источника в таком проводнике, то можно написать так, что суммарная скорость дрейфа (u + V хаотическое), умноженное на F – это будет та мощность, F — это сила, под воздействием которой, электрон совершает свое направленное движение вдоль, против электрического поля, вот. Это, конечно, векторные величины. Это будет мощность, которую приобретает электрон под воздействием этой силы. Что это за сила? Сила электрического поля, мы сейчас напишем, чему она равна. Ну вот если сложить, электронов-то много, концентрация электронов n... Концентрация электронов n, то сложить все эти вот, сколько этих электронов, этих носителей в единице объема, сложить эти произведения, то сразу же окажется, что для единицы объема Q, значит, с размерностью ЭРГ / C * кубический см, умножаем на концентрацию, это будет nuF, вот что это такое. uF — это скалярное произведение вот этого на эту силу. Что же касается V хаотического, то, при сложении окажется, поскольку это хаотическая скорость, она направлена как угодно, в целом это будет 0. То есть никакая мощность от теплового движения не выделяется, остается только вот это. Ну достаточно, имеется в виду, конечно, скалярное произведение здесь, ну, можно даже скобочки поставить, ну не в этом дело, и расписать, что же это такое. Мы помним закон Ома в дифференциальной форме. Что такое j? j = neu, где u – это скорость дрейфа. Тогда можно просто вместо этого u подставить j и тут же окажется, что это есть (jF) 1 / e, это всё можно продолжить, тогда здесь окажется просто, поскольку F / e — это есть поле электрическое, jE. Это будет, по существу, Закон Джоуля‐Ленца в дифференциальной форме, для единицы объема вот с такой вот размерностью. Используя вообще закон Ома, j — это есть λE, где λ — проводимость, проводимость, величина, обратная удельному сопротивлению. λ = 1 / ро, ро – это удельное сопротивление. Ну это также удельная проводимость её, лучше так сказать. Тогда получится, ну, целая цепочка вот соответствующих равенств. Ну, можно написать, что это есть λE², например. Можно и так. Можно написать j² / λ, это будет также через проводимость. Можно через удельное сопротивление. В любом случае это, повторяю, мощность, выделяемая при прохождении электрического тока на вот таком проводнике, которую можно проинтегрировать и получить уже выражение в интегральной форме. Давайте его напишем. Интегрирование дает следующее: мощность, выделяемая уже в конкретном проводнике, это есть интеграл, ну, j² / λ, например, умножить на элемент объема. Элемент объема проводника Sdl / dv, этот объем. Ну понятно, что здесь, поскольку ток, вот на этой доске напишу, ток — это есть j умножить на s, это полный ток, то тогда можно через этот ток записать следующим образом: I², а здесь останется вот такой вот интеграл, dl / λs. Вот эта величина под знаком интеграла, надо интегрировать по объему этого проводничка, и является по существу сопротивлением, это будет I²R. Вот это и есть Закон Джоуля-Ленца уже в интегральной форме. Это в дифференциальной для единицы объема, через поле, через плотности тока, а здесь через конкретный ток. Вот интересно написать это следующим образом: если взять для замкнутой цепи. Для замкнутой цепи, [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] что получится? Q… в самой замкнутой цепи, сколько энергии выделяется? Надо просто ток умножить на ЭДС, действующbй в этой цепи, и на E. Ну, подстановка даст следующее. А что такое ЭДС источника? Это такой же интеграл, поле сторонних сил на dl вот по замкнутому контуру. Совершенно понятно отсюда следующий вывод, что кто, собственно, выделяет эту мощность в этой цепи? Источник. Сторонние силы. Значит, тепло производится, тепло производится сторонними силами. А уж как оно, в каких элементах этой конкретной цепи выделяется – в проволоке там какой-то, на резисторах, еще в каких-то местах, собственно в элементе – это уже дело самой цепи. Но, в любом случае? в замкнутой цепи тепло производится только сторонними силами, это вот совершенно очевидно здесь записано. И вот очень важно сейчас посмотреть вот такую задачу. Смотрите, вот у нас есть источник с ЭДС у него, и есть некая Нагрузка. Вот, сопротивление нагрузки R. У этого источника есть внутреннее сопротивление. Вопрос ставится так. Значит, при каком сопротивлении нагрузки источник отдает максимальную мощность в цепь? Кстати, такое сопротивление называется согласованным. Значит, при каком сопротивлении нагрузки, то есть, при каком R мощность, мощность, выделяемая [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] в цепь максимальна? [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну, когда? Давайте ответим на этот простой вопрос. Ну, мощность, выделяемая в цепь, обычно её обозначают буквой N, либо P, ну напишем N, это есть, как мы уже указали, I²R. Ну, ток, в данном случае, это есть E / (R + r) для вот этой полной цепи. Таким образом, мощность N = E²R / (R + r)². Вот. И требуется найти то R, при котором мощность максимальна. Очевидно, что это функция от R имеет экстремум максимум, и поэтому нужно просто взять N’, вот по R, взять эту производную по R и приравнять её нулю. Я не буду вас утруждать вот этим дифференцированием, я просто дам ответ. Вот отсюда следует, что при R = r, сопротивление источника, мощность будет максимальна. Вот. Это условие максимальности, вот я его подчеркну, очень важно. Условие максимальности. Чему оно равно? N максимальное, ну, просто прямой подстановкой получается E² / 4r. И можно начертить даже график, как выделяя... как бы выделяя вот эту мощность, как она зависит от внешнего сопротивления нагрузки. Эта мощность, выглядит примерно вот такая вот картинка. Здесь вот это сопротивление источника, значит, при R, равном сопротивлению источника, мощность максимальна, это и есть N максимальное. А дальше важнейшая штука такая, смотрите. Мощность, вот, если взять какую-то конкретную мощность, то она достигается при двух значениях сопротивления R₁ и R₂, два значения сопротивления для одной и той же мощности. И это очень важно понять. Для задач, решаемых при когда есть постоянных ток. Что есть реализуемое значение сопротивления нагрузки или нереализуемое. Вот тут, тут многочисленные задачи лежат в этой области. Давайте решим задачу 4.6. Вот, предложена такая схема, нарисована, состоящая из трех резисторов R₁ R₂ и R, вот тут как бы общее сопротивление, двух ЭДС, направленных вот таким образом, и найти такое сопротивление R, при котором мощность, рассеиваемая на этом сопротивлении, максимальна. Значит, при этом сопротивлении R, N = N max. Имеется в виду на... рассеянное на этом сопротивлении. Она максимальна. Вот. Еще один вопрос. При каком условии ток через вот этот резистор... Значит, при каком условии ток через вот этот резистор равен нулю? значит, вот первый вопрос, вот второй вопрос. Ну и так, можно еще раз повторить. Значит, при каком сопротивлении мощность, рассеиваемая на сопротивление R, вот это, максимальна? И при каком условии ток, вот, наоборот, равен нулю вот в этой цепи. Как поступаем? Ну, тут явно два таких внутренних контура. Поэтому надо задаться токами. Ну например, пусть у нас ток через ЭДС E₁, это ток I₁, и через ток I₂, вот он, это I₂. Ну, следовательно, сюда, ток через этот резистор пусть течет вот в этом направлении. То есть, я задался направлением токов в этой цепи. Ну, и теперь запишем следующее. Ну, Правило Кирхгофа, вот для этой точки можно написать соотношение токов, что ток I₁ = I + I₂. Это первое соотношение. И теперь для вот этих контуров. В первом контуре, в левом ЭДС E₁ = IR + I₁R₁, и, наконец, E₂, вот для правого контура, здесь I₂R₂ − IR. Значит, как я это написал? Ну, просто взял обход, и у меня оказался ток I направлен против обхода, поэтому я должен написать знак «−». Вот здесь он совпадает с обходом, который я выбрал, вот, против часовой стрелки. И здесь у меня против часовой стрелки, но здесь всё совпало, поэтому здесь стоят знаки «+». Вот эти три уравнения надо решить совместно, это довольно просто. Ну например, отсюда следует, что E₁ = IR + IR₁ + I₂R₁. Это с чего бы так? Ну, я просто вместо... подставил сюда значение для тока I₁, I₁ — это I + I₂. Вот оно здесь подставлено. Отсюда я найду, вот, а из этого соотношения я напишу, чему равен ток I₂, который, опять-таки, подставлю вот в это верхнее уравнение. Это будет (E₂ + IR) / R₂. Теперь я сделаю вот эту подстановку сюда, и тогда у меня получится вот такое выражение. E₁ = IR₁ + еще раз IR₁ + E₂ + IR, деленное на R₂ и умноженное на R₁. Ну, вот здесь вот простые преобразования. Значит, I общее вытащим за скобку, будет I. Так, у меня есть опечатка, вот здесь IR, IR будет правильно. Ну, да, конечно, IR, вон там написано. IR + IR₁, значит, вытаскиваю за скобку, это будет (R + R₁ + RR₁ / R₂) + E₂ * (R₁ / R₂). Вот оно, соотношение для ЭДС₁. Отсюда я нахожу ток. Ток равен, уже через данные задачи, E₁- E₂ * R₁ / R₂, делить на R + R₁ + RR₁/ R₂. Ну, это можно немножко преобразовать, умножив числитель и знаменатель на R. Получается E₁R₂ (E₁R₂- E₂R₁) / R. Получается (R1 + R2) за скобку вытащили + R1R2. Да, R1R2. Вот кстати говоря, глядя на это выражение, можно сразу ответить на второй вопрос. Ток равен 0, это прямо вот отсюда следует. Отсюда следует, что I = нулю, если... Если выполняется вот это условие, E1R2 = E2R1. То есть, это условие вот мы выполнили, и тогда ток будет равен нулю. Но однако у нас есть первый вопрос, который гораздо серьёзнее: как найти вот величину сопротивления R, с тем, чтобы мощность, выделяемая на нём, была максимальна. Ну как это сделать? Надо написать выражение для этой мощности, это есть I в квадрате R, конечно же, ну и вы видите, получается довольно сложное выражение. Вот этот ток, вот это, надо возвести в квадрат и ещё раз умножить на сопротивление. При этом, здесь очень много всевозможных коэффициентов. Ну, постоянных величин. Поэтому лучше всего записать так: A в квадрате / (R + B A в квадрате / (R + B в квадрате) * R. Ну то есть вот эти константы, которые не зависят от величины R, мы обозначим как A и B. Что здесь A, а что здесь B, ну совершенно понятно, мы вот... Ну, во всяком случае, вот отсюда видно. Вот отсюда видно, что величина B это есть не что иное, как R1R2 / R1 + R2. R1R2 / R1+R2. Константа А в числителе ну тоже как-то выглядит, но она нам в общем-то не понадобится, сейчас мы это увидим. Вот константа В здесь существенна. Итак, значит, надо исследовать на максимум вот это выражение. Что я и делаю. M' по R = 0. Ну то есть, надо взять вот эту производную, ну беру её. A квадрат / R + B в квадрате это вот первый член здесь в этой формуле, здесь будет «минус», и дальше дифференцирую, оставляя A квадрат R в покое, вот, я так и сделаю, A квадрат R, здесь будет R + B в четвёртой степени, теперь дифференцируем вот это: 2 (R + B), ну и всё, потому что коэффициента здесь больше нет. У нас происходят значительные сокращения, ну какие, вот это R + B останется вот здесь в кубе. Поскольку мы приравниваем к нулю, значит, и это уходит. Остаётся вот это R + B. A квадрат можно сократить, но отсюда следует простая вот достаточно вещь, что R + B = − … Точнее так вот, равно просто 2R. Ну R опять-таки одно уходит, и получается, что вот это B = R. Вот если эта константа равна вот этому сопротивлению, вот тому, без индекса, то достигается максимум. То есть, при каком значении R, вот можно написать ответ такой: R = R1R2 / R1 + R2. Вот здесь N в этом сопротивлении равно максимальному значению. Вот такой ответ в этой задаче.
